mathematica学生知识题.docx
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mathematica学生知识题
实习一函数图形画法2
实习二极限和连续18
实习三导数及应用23
实习四多远函数的微分学27
实习五一元函数积分学30
实习六代数综合37
实习一函数图形画法
实习目的:
图过图形加深对函数性质的认识与了解,通过函数图形的变化趋势理解函数的极限,
掌握用MATLAB做平面曲线以及空间曲面曲线的方法与技巧。
实习作业
1.把正切函数tanx和反正切函数arctanx的图形及其水平渐近线y,y和直线
22
yx面的同一坐标系内;
输入:
>>x=0:
0.1:
2*pi;
>>y1=tan(x);
>>y2=atan(x);
>>y3=-pi/2;
>>y4=pi/2;
>>y5=x;
>>plot(x,y1,':
',x,y2,':
',x,y3,':
',x,y4,':
',x,y5,T)
输出:
xx
ee
2.把双曲正弦函数sinhx和函数,用不同的线型面在同一坐标系内;
22
输入:
>>x=-3:
0.1:
3;
>>y1=sinh(x);
>>y2=exp(x)/2;
>>y3=-exp(x)/2;
>>plot(x,y1,'k',x,y2,'g',x,y3,T)
输出:
3.做出极坐标方程e10的曲线(对数螺线)的图像;
输入:
>>theta=0:
0.1:
2*pi;
>>rho=(exp(theta/10));
>>polar(theta,rho)
输出:
输入:
>>theta=0:
0.1:
2*pi;
>>rho=(4*sin(5*(theta)));
>>polar(theta,rho)
输出:
2222
的图
5.用隐函数命令做出椭圆方程x2+y2=xy+3的图形和双曲线x2+y2=3xy+3形
输入:
>>ezplot('xA2+yA2-x*y-3',[-3,3,-4,4])
输出:
输入:
>>ezplot('xA2+yA2-3*x*y-3',[-3,3,-4,4])
输出:
0
00的图形;
x,x
6.在区间[-4,4]上做分段函数w(x)2
x2,x
输入:
y=[];
forx=-4:
0.1:
4
ifx<0y=[y,-x];
end
ifx>=0y=[y,xA2];
end
end
x=-4:
0.1:
4;
plot(x,y)
输出:
7.绘制f(X)
2x2(2
2,
sin丄),X
X
X
0
的图形,观察其特点;
0
输入:
ezplot('2+(xA2)*(2+sin(1/x))',[-10,10])
输出:
8.画出函数zcos2xsin3y(3x3,3y3)的图形
输入:
>>x=-3:
0.1:
3;
>>y=-3:
0.1:
3;
>>[x,y]=meshgrid(x,y);
输出:
>>z=-cos(2*x)*sin(3*y);
>>surf(x,y,z)
22
(x2y2)/822
ze(cosxsiny)在x
>>x=-pi:
0.1:
pi;
>>y=-pi:
0.1:
pi;
>>[x,y]=meshgrid(x,y);
>>z=exp(-(xA2+yA2)/8)*((cos(x))A2+(sin(y))^2);
>>surf(x,y,z)
输出:
的图形。
10.一个称作正螺面的曲面的参数方程如下,作出它
xucosv,yusinv,zv/3(1u1,0v8);
输入:
>>t=-1:
0.1:
1;r=0:
0.1:
8;
>>[t,r]=meshgrid(t,r);
>>x=(t).*cos(r);
>>y=(t).*sin(r);
>>z=(r)./3;
>>surf(x,y,z)
输出:
11.作出锥面x2y2z2和柱面(x1)2y21相交的图形;
输入:
>>t=-2:
0.1:
2;
r=-2:
0.1:
2;
[r,t]=meshgrid(r,t);
x=t;
y=r;
z=(t.A2+r.A2).A(1/2);
u=-2:
0.1:
2;
v=-2:
0.1:
2;
[v,u]=meshgrid(v,u);
x1=u;
y1=v;
z1=-(u.A2+v.A2).A(1/2);
w=0:
0.1:
2*pi;
s=0:
0.1:
2*pi;
[w,s]=meshgrid(w,s);x2=1+cos(w);
y2=sin(w);
z2=s;
mesh(x,y,z)
holdonmesh(x1,y1,z1)holdonmesh(x2,y2,z2)
输出:
x2
12•作双曲抛物面z一
1
输入:
>>x=-6:
0.2:
6;
y=-14:
0.2:
14;
[x,y]=meshgrid(x,y);
z1=x.A2-(y.A2)/4;
mesh(x,y,z1)
输出:
FigureNol1
-IBxj
FileEditVie^AJInsertTooleWindowHelp
2222
13.作出圆柱面xy1和圆柱面xz1相交的图形;
输入:
>>u=-pi/2:
0.1:
pi/2;
v=-3:
0.1:
3;
[u,v]=meshgrid(u,v);
x=2*cos(u).A2;
y=sin(2*u);
z=v;
r=-pi/2:
0.1:
pi/2;
t=-3:
0.1:
3;
[t,r]=meshgrid(t,r);
x=2*cos(t)92;
z=sin(2*t);
y=r;
mesh(x,y,z)
holdon
mesh(x1,y1,z1)
z1相交的图形;
输出:
x1=-5:
0.1:
5;
y1=-5:
0.1:
5;
[x1,y1]=meshgrid(x1,y1);z1=1-x1;
mesh(x1,y1,z1)
holdon
mesh(x,y)
输出:
15.做出球面x2y2z24和圆柱面x2z21的相交所成的空间曲线的图形;
输入:
>>t=0:
0.1:
pi;
r=0:
0.1:
pi;
[r,t]=meshgrid(r,t);
x=2*sin(t).*cos(r);
y=2*sin(t).*sin(r);
z=2*cos(t);
u=-2*pi:
0.1:
2*pi;
v=-2:
0.1:
2;
[u,v]=meshgrid(u,v);
x1=sin(u);
y1=v;
z1=cos(u);
mesh(x,y,z)
holdon
mesh(x1,y1,z1)
输出:
2222
16.做出圆柱面x2y21和圆柱面x2z21相交所成空间曲线的图形。
输入:
u=-2*pi:
0.1:
2*pi;
v=-2:
0.1:
2;
[u,v]=meshgrid(u,v);
x=sin(u);
y=cos(u);
z=v;
m=-2*pi:
0.1:
2*pi;
n=-2:
0.1:
2;
[m,n]=meshgrid(m,n);
x1=sin(m);
y1=n;
z1=cos(m);
mesh(x,y,z)
输出:
holdon
mesh(x1,y1,z1)
实习二极限和连续
实验目的
通过计算与作图,加深对数列极限及函数极限概念的理解。
掌握用
MATLAB计算极限的方法。
深入理解函数的连续和间断。
实习作业
111
1.设数列Xn身当...,计算这个数列的前30项的近似值
12n
输入:
sum(1./(1:
30A3))
输出:
ans=10.7808
2.计算下列极限
11
(1)
(1)lim(xsinsinx)
x0xx
输入:
>>symsx
>>limit(x*sin(1/x)+(1/x)*sin(x))
输出:
ans=1
2
x
⑵lim-x
xe
输入:
>>symsx
>>limit((xA2)/exp(x),x,+inf输出:
ans=0
tgxsinx
(3)lim2——
x0x2
输入:
>>symsx
>>limit((tan(x)-sin(x))/xA2)
输出:
ans=0
输入:
>>symsx
>>limit(xAx,x,0,'right')
>>limit((log(cot(x))/log(x)),x,0,'right')
2
(6)limxlnx
x0
输入:
>>symsx
>>limit((xA2)*log(x))
输出:
ans=0
sinxxcosx
⑺xm0x2sinx
输入:
>>symsx
>>limit(sin(x)-x*cos(x))/(xA2*sin(x))
输出:
ans=0
输入:
>>symsx
>>limit((sin(x)/x)A(l/(l-cos(x))))
输出:
ans=exp(-1⑶
输入:
>>symsx
>>limit(exp(x)-exp(-x)-2*x)/(x-sin(x))
输出:
ans=0
(10)lim(1tg2x)ctg'
x0
输入:
>>symsx
>>limit((1+(tan(x))A2)A(cot(x)F2)
输出:
ans=1
2x3x1
(11)lim()x1
x2x1
输入:
>>symsx
>>limit(((2*x+3)/(2*x+1))A(x+1),x,inf
输出:
ans=exp
(1)
1
(12)l叫中
x0x
输入:
>>symsx
>>limit((1/x)Atan(x),x,0,'right')
输出:
ans=1
输入:
>>symsx
>>limit((log(sin(x))/(pi-2*x)A2),x,pi/2)
输出:
ans=-1/8
sinxlim
xa
输入:
>>symsx
>>symsa
>>limit((sin(xx)-sin(a))/(x-a),a)
输出:
ans=cos(a)
i
(15)limx2e采
x0
输入:
>>symsx
>>limit((xA2)*exp(1/xA2))
输出:
ans=inf
(16)limarctgx
X_0
2
输入:
>>symsx
>>limit(atan(x),x,pi/2+0)
输出:
ans=atan(1/2*pi)
x3
(17)lim—
x1x1
输入:
>>symsx
>>limit(xA3/(x+1),x,-1,'left')
输出:
ans=inf
3.讨论极限limcosnx,观察cosnx的图形,判断cosnx在n趋于无穷时的极限,x
并对具体的x值,用limit命令验证。
输入:
>>symsx
>>symsn
>>ezplot((cos(x))An),[_pi,pi]
输入:
>>symsx
ezplot((cos(x))A2),[-pi,pi]
输出:
ans=-3.14163.1416
输入:
>>symsx
>>limit((cos(x))A2,x,inf)
输出:
ans=0..1
11
4.在同一坐标系中,画出下面三个函数的图形:
y
(1)x,y
(1)x1,ye
xx
观测当x增大时图形的走向。
输入:
x=0:
0.1:
2;
y1=(1+1/x)Ax;
y2=(1+1/x)A(x+1);
y3=e;
plot=(x,y1,'-,'x,y2,'-',x,y3,'r')
输出:
实习三导数及应用
实验目的
1.深入理解导数及微分的概念,导数的几何意义。
掌握MATLAB求导数与高阶导数的方法。
深入理解和掌握求隐函数的导数及由参数方程定义
的函数的导数的方法。
2.掌握用函数的导数确定韩式的单调区间、凹凸区间和函数的极值的方法。
掌握用MATLAB求方程的根和求函数的极值的方法。
实习作业
5
1.验证罗尔定理对函数y=Insinx在区间[一,]上的正确性。
66
2.验证拉格朗日中值定理对函数y4x35x2x2在区间[0,1]上的正确性。
3.验证柯西中值定理对函数f(x)sinx及F(x)xcosx在区间[0,]上的正
2
确性。
4.求下列函数的1、2阶导数
2
3y二x)
鸯>-vvsymsx
vvdiff3x>2y)
鸯圧-ansH2*D(D(X>2)*X
鸯丫vvsymsx
vvd=Kf3x>2)「><2)
鸯圧-ansH4文◎◎■(p2)(fxx>2)*x>2+2*D(f}(x>2)
(2)yf2(x)
鸯>-vvsymsx
vv
鸯圧-ansU2*f(x)*diff(f(x)><)鸯>-vvsymsx
vvd=h5f(x))>2-x2)
鸯圧-ansU2*d=hf(f(x)><)>2+24;(x)*d=hf(f(x)「y(x2))
(3)y_n二(x=鸯>-vvsymsx
vvd=hr(-og『(x)T)鸯圧-ansHo
、:
h、X/f(X)(4)y二e)e
输入:
>>symsx
>>diff('x*sin(x)',x,100)
输出:
ans=-100*cos(x)+x*sin(x)
(2)yx2cosx,求y(10)
输入:
>>symsx
>>diff('(xA2)*cos(x)',x,10)
输出:
ans=90*cos(x)-20*x*sin(x)-xA2*cos(x)
⑶yx2sin2x,求y(50)
输入:
>>symsx
>>diff('(xA2)*sin(2*x)',x,50)
输出:
ans=
689613692941107200*sin(2*x)+56294995342131200*x*cos(2*x)-112
5899906842624*xA2*sin(2*x)
6.求下列方程所确定的隐函数的导数。
(1)lnxey/2e
(2)arctan,Inx2y2(3)2xyxy22
x
7.求下列参数方程确定的函数的导数
(1)
3.
cost
sint
8.在同一个坐标系作出函数yx36x3及其导函数y,
3x26的图形。
观察
图形的性质说明凹凸性和单调性。
9.作出函数y
x2
4
-及其导函数的图形,并求函数的单调区间和极值。
10.作出函数yX42x372x270x24及其二阶导函数在区间[-8,7]上的图
形,并求函数的凹凸区间和拐点。
11
11.设h(x)x33x219x12,k(x)x2x-。
求方程的近似值。
28
12.作出f(x)x5x44x32x23x7的图形,用命令fzero和命令roots求
方程f(x)0的近似值。
1
13.证明不等式ex,当x<1,且x工0时。
1x
2
证明不等式sinxx,当0 实习四多远函数的微分学 掌握用MATLAB计算多远函数偏导数和全微分的方法,并掌握计算二元函数极值和条件极值的方法。 理解和掌握曲面的切平面作法。 通过作图和观察,理解方向导数、梯度和等高线的概念。 实习作业 1.设z(1xy)y,求丄,二o xy 输入: symsxy z=(1+x*y)Ay; diff(z,x) diff(z,y) 输出: ans=(1+x*y)Ay*yA2/(1+x*y) ans=(1+x*y)Ay*(log(1+x*y)+y*x/(1+x*y)) 2.设z(axy)y,其中是常数,求二,二。 xy 输入: symsxya z=(a+x*yFy; diff(z,x) diff(z,y) 输出: ans=(a+x*y)Ay*yA2/(a+x*y) ans=(a+x*y)Ay*(log(a+x*y)+y*x/(a+x*y)) y 3.设zex,求—,—。 xy 输入: symsxy z=(exp(y/x)Fy; diff(z,x) diff(z,y) 输出: ans=-exp(y/x)Ay*yA2/xA2 ans=exp(y/x)Ay*(log(exp(y/x))+y/x) 222 4.设zf(xy,y),求韦,z,- xyxy 输入: symsxy z='f(x*y,y)'; diff(z,x,2) diff(z,y,2) diff(diff(z,x),y) 输出: ans= D[1,1]⑴(x*y,y)*yT ans= (D[1,1](f)(x*y,y)*x+D[1,2](f)(x*y,y))*x+D[1,2](f)(x*y,y)*x+D[2,2](f)(x*y,y) ans= (D[1,1](f)(x*y,y)*x+D[1,2](f)(x*y,y))*y+D[1](f)(x*y,y) 222(x2y2)/8#2・2ZZ 5.设ze(cosxsinx),求一2,2,— 输入: xyxy z='exp(-(xA2+yA2)/8)*((cos(x))A2+(sin(x))A2)'; clear 输出: symsxy z='exp[-(xA2+yA2)/8]*((cos(x))A2+(sin(x))A2)';diff(z,x,2) diff(z,y,2) diff(diff(z,x),y) ans= diff(exp[-1/8*xA2-1/8*yA2],'$'(x,2))*(cos(x)A2+sin(x)A2) ans= diff(exp[-1/8*xA2-1/8*yA2],'$'(y,2))*(cos(x)A2+sin(x)A2) ans= diff(exp[-1/8*xA2-1/8*yA2],x,y)*(cos(x)A2+sin(x)A2) 6.求f(x,y)120x330x418x55x630xy2的极值。 输入: 输出: 7.求zx24y3在x24y210条件下的极值。 8.求zx4y44xy1的极值,并对图形进行观察。 9.求函数f(x,y)x22y2在圆周x2y21的最大值和最小值。 实习五一元函数积分学 : 掌握用MATLAB计算不定积分与定积分的方法。 通过作图和观察,深入理解定积分的概念和几何意义。 理解变上限积分概念。 提高应用定积分解决各种问题的能力。 实习作业: x24x 1.f(x)==,求f(x)dx x2x3 输入: >>symsx >>int('(xA2-4*x)/(xA2-2*x-3)',x) 输出: ans=x-5/4*log(x+1)-3/4*log(x-3) 2.设f(x)=x3In2x,求f(x)dx 输入: >>symsx >>int('xA3*(Iogx)A2',x) 输出: ans=1/4*xA4*IogxA2 1 3.求2dx sinx2 输入: >>symsx >>int('1/(sin(x)A2+2)',x) 输出: ans =1/(6A(1/2)+2A(1/2))*atan(2*ta门(1/2*灭)/(6人(1/2)+2人(1/2)))+1/3/(6人(1/2)+2人(1/2)广atan(2*tan(1/2*x)/(6A(1/2)+2A(1/2)))*3A(1/2)-1/3/(6A(1/2)-2A(1/2))*atan(2*tan(1/2*x)/(6A(1/2)-2A(1/2)))*3A(1/2)+1/(6A(1/2)-2A(1/2))*atan(2*tan(1/2*x)/(6A(1/2)-2A(1/2))) 输入: >>symsx >>jf=int('exp(2*x)*(sin(2*x))A2',x,-pi,2*pi) 输出: jf=1/5*exp(4*pi)-1/5*exp(-2*pi) 2x.2 esin 104x29, 5.求43dx 4x 输入: >>symsx >>jf=int('sqrt(4*xA2-9)/xA3',x,4,10) 输出: jf= -1/200*391A(1/2)-2/3*atan(3/391*391A(1/2))+1/32*55A(1/2)+2/3*atan( 3/55*55八(1/2)) 2 6.求oe%cos(x3)dx的近似值 输入: >>n=120; >>x=0: 1/n: pi; >>left_sum=0; >>right_sum=0; >>fori=1: n; left_sum=left_sum+exp(-x(i)A2)*cos(x(i)A3)*(1/n); right_sum=right_sum+exp(-x(i+1)A2)*cos(x(i+1)A3)*(1/n); end >>left_sum >>right_sum 输出: left_sum=0.7181 right_sum=0.7114 7.计算0602(ysinxxsiny)dydx 输入: >>symsxy; >>int(int(y*sin(x)-x*sin(y),y,0,pi/2),x,0,pi/6) 输出: ans=-1/16*piA2*3A(1/2)+1/9*piA2 8.求积分的近似值: (1)00cos(x2y2)dydx; (1)输入: >>symsxy >>int(int(cos(xA2-yA2),y,0,sqrt(pi)),x,0,sqrt(pi)) 输出: ans= 3991211251234741/4503599627370496*pW(1/2)*FresnelC(3991211251 234741/2251799813685248*2A(1/2)/piA(1/2))*2A(1/2)*hypergeom([1/4 ],[1/2, 5/4],-253757484702343228289939819055386793974493023201999131 393600561/1028440348325753776346855739098344065614209916020 987414592880
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