第3节 全称量词与存在量词逻辑联结词且或非.docx
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第3节全称量词与存在量词逻辑联结词且或非
第3节 全称量词与存在量词、
逻辑联结词“且”“或”“非”
考试要求 1.了解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义;2.理解全称量词与存在量词的意义;3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
知识梳理
1.简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫作逻辑联结词.
(2)命题p且q,p或q,綈p的真假判断
p
q
p且q
p或q
綈p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称量词与存在量词
(1)常见的全称量词有:
“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.
(2)常见的存在量词有:
“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等.
3.全称命题和特称命题
名称
全称命题
特称命题
结构
对M中的任意一个x,有p(x)成立
存在M中的一个x0,使p(x0)成立
简记
任意x∈M,p(x)
存在x0∈M,p(x0)
否定
存在x0∈M,綈p(x0)
任意x∈M,綈p(x)
[常用结论与微点提醒]
1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀:
p或q→见真即真,p且q→见假即假,p与綈p→真假相反.
2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”.
3.“p或q”的否定是“(綈p)且(綈q)”,“p且q”的否定是“(綈p)或(綈q)”.
4.逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”,可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题.
诊断自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)命题“5>6或5>2”是假命题.( )
(2)命题綈(p且q)是假命题,则命题p,q中至少有一个是真命题.( )
(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.( )
(4)存在x0∈M,p(x0)与任意x∈M,綈p(x)的真假性相反.( )
解析
(1)错误.命题p或q中,p,q有一真则真.
(2)错误.p且q是真命题,则p,q都是真命题.
(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.
答案
(1)×
(2)× (3)× (4)√
2.(老教材选修2-1P19习题1-4T2(4)改编)已知p:
2是偶数,q:
2是质数,则命题綈p,綈q,p或q,p且q中真命题的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
解析 p和q显然都是真命题,所以綈p,綈q都是假命题,p或q,p且q都是真命题.
答案 B
3.(新教材必修第一册P23A3改编)命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是________________________.
答案 有些表面积相等的三棱锥体积不相等
4.(2020·渭南调研)已知命题p:
存在x0∈R,x
+4x0+6<0,则綈p为( )
A.任意x∈R,x2+4x+6≥0B.存在x∈R,x2+4x+6>0
C.任意x∈R,x2+4x+6>0D.存在x∈R,x2+4x+6≥0
解析 依据特称命题的否定是全称命题,由此知答案A是正确的.
答案 A
5.(2020·唐山模拟)已知命题p:
f(x)=x3-ax的图像关于原点对称;命题q:
g(x)=xcosx的图像关于y轴对称.则下列命题为真命题的是( )
A.綈pB.q
C.p且qD.p且(綈q)
解析 根据题意,对于f(x)=x3-ax,有f(-x)=(-x)3-a(-x)=-(x3-ax)=
-f(x),为奇函数,其图像关于原点对称,p为真命题;对于g(x)=xcosx,有
g(-x)=(-x)cos(-x)=-xcosx,为奇函数,其图像关于原点对称,q为假命题,则綈p为假命题,q为假命题,p且q为假命题,p且(綈q)为真命题.
答案 D
6.(2019·豫南五校联考)若“任意x∈
,m≤tanx+2”为真命题,则实数m的最大值为________.
解析 由x∈
,∴1≤tanx+2≤2+
.
∵“任意x∈
,m≤tanx+2”为真命题,则m≤1.
∴实数m的最大值为1.
答案 1
考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
【例1】
(1)设a,b,c是非零向量.已知命题p:
若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:
若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是( )
A.p或qB.p且q
C.(綈p)且(綈q)D.p且(綈q)
(2)(2020·济南调研)已知命题p:
若a>|b|,则a2>b2;命题q:
m,n是直线,α为平面,若m∥α,n⊂α,则m∥n.下列命题为真命题的是( )
A.p且qB.p且(綈q)
C.(綈p)且qD.(綈p)且(綈q)
解析
(1)取a=c=(1,0),b=(0,1),显然a·b=0,b·c=0,但a·c=1≠0,∴p是假命题.
又a,b,c是非零向量,
由a∥b知a=xb(x∈R),由b∥c知b=yc(y∈R),
∴a=xyc,∴a∥c,∴q是真命题.
综上知p或q是真命题,p且q是假命题.
綈p为真命题,綈q为假命题.
∴(綈p)且(綈q),p且(綈q)都是假命题.
(2)对于命题p,由a>|b|两边平方,可得到a2>b2,故命题p为真命题.对于命题q,直线m∥α,但是m,n有可能是异面直线,故命题q为假命题,綈q为真命题.所以p且(綈q)为真命题.
答案
(1)A
(2)B
规律方法 1.“p或q”、“p且q”、“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解,其操作步骤是:
(1)明确其构成形式;
(2)判断其中命题p,q的真假;(3)确定“p或q”“p且q”“綈p”形式命题的真假.
2.p且q形式是“一假必假,全真才真”,p或q形式是“一真必真,全假才假”,綈p则是“与p的真假相反”.
【训练1】
(1)若命题“p或q”与命题“綈p”都是真命题,则( )
A.命题p与命题q都是真命题
B.命题p与命题q都是假命题
C.命题p是真命题,命题q是假命题
D.命题p是假命题,命题q是真命题
(2)(2020·衡水中学检测)命题p:
若向量a·b<0,则a与b的夹角为钝角;命题q:
若cosα·cosβ=1,则sin(α+β)=0.下列命题为真命题的是( )
A.pB.綈qC.p且qD.p或q
解析
(1)因为綈p为真命题,所以p为假命题,又p或q为真命题,所以q为真命题.
(2)当a,b方向相反时,a·b<0,但夹角是180°,不是钝角,命题p是假命题;
若cosαcosβ=1,则cosα=cosβ=1或cosα=cosβ=-1,
所以sinα=sinβ=0,从而sin(α+β)=0,命题q是真命题,
所以p或q是真命题.
答案
(1)D
(2)D
考点二 全称量词与存在量词
多维探究
角度1 含有量词命题的否定
【例2-1】(2020·河南八所重点高中联考)已知集合A是奇函数集,B是偶函数集.若命题p:
任意f(x)∈A,|f(x)|∈B,则綈p为( )
A.任意f(x)∈A,|f(x)|∉BB.任意f(x)∉A,|f(x)|∉B
C.存在f(x)∈A,|f(x)|∉BD.存在f(x)∉A,|f(x)|∉B
解析 全称命题的否定为特称命题:
改写量词,否定结论.
∴綈p:
存在f(x)∈A,|f(x)|∉B.
答案 C
角度2 全称(特称)命题的真假判断
【例2-2】
(1)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是( )
A.任意x∈R,f(-x)≠f(x)
B.任意x∈R,f(-x)≠-f(x)
C.存在x0∈R,f(-x0)≠f(x0)
D.存在x0∈R,f(-x0)≠-f(x0)
(2)(2020·九江检测)已知命题p:
任意x∈N+,
≥
,命题q:
存在x∈R,2x+21-x=2
,则下列命题中是真命题的是( )
A.p且qB.(綈p)且q
C.p且(綈q)D.(綈p)且(綈q)
解析
(1)∵定义域为R的函数f(x)不是偶函数,∴任意x∈R,f(-x)=f(x)为假命题,∴存在x0∈R,f(-x0)≠f(x0)为真命题.
(2)因为y=xn(n∈N+)在(0,+∞)上递增.
∴任意x∈N+,
≥
成立,p为真命题.
又2x+21-x≥2
=2
,
当且仅当2x=21-x,即x=
时,上式取等号,
则q为真命题.因此p且q为真命题.
答案
(1)C
(2)A
规律方法 1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别,否定全称命题和特称命题时,一是要改写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;二是要否定结论,而一般命题的否定只需直接否定结论.
2.判定全称命题“任意x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内找到一个x=x0,使p(x0)成立即可.
【训练2】
(1)(角度1)命题“存在x0∈R,1 A.任意x∈R,1 B.存在x0∈R,1 C.存在x0∈R,f(x0)≤1或f(x0)>2 D.任意x∈R,f(x)≤1或f(x)>2 (2)(角度2)(2020·合肥模拟)已知命题p: 任意x>0,ex>x+1,命题q: 存在x∈(0,+∞),lnx≥x,则下列命题正确的是( ) A.p且qB.(綈p)且q C.p且(綈q)D.(綈p)且(綈q) 解析 (1)特称命题的否定是全称命题,原命题的否定形式为“任意x∈R,f(x)≤1或f(x)>2”. (2)令f(x)=ex-x-1,则f′(x)=ex-1,当x>0时, f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴f(x)>f(0)=0,即ex>x+1,命题p真; 令g(x)=lnx-x,x>0,则g′(x)= -1= , 当x∈(0,1)时,g′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g′(x)<0, 即当x=1时,g(x)取得极大值,也是最大值, 所以g(x)max=g (1)=-1<0, ∴g(x)<0在(0,+∞)上恒成立,则命题q假, 因此綈q为真,故p且(綈q)为真. 答案 (1)D (2)C 考点三 由命题的真假求参数 典例迁移 【例3】 (1)已知命题p: “任意x∈[0,1],a≥ex”;命题q: “存在x0∈R,使得x +4x0+a=0”.若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围为________________. (2)(经典母题)已知f(x)=ln(x2+1),g(x)= -m,若对任意x1∈[0,3],存在x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是________________. 解析 (1)若命题“p且q”是真命题,那么命题p,q都是真命题.由任意x∈[0,1],a≥ex,得a≥e;由存在x0∈R,使x +4x0+a=0,得Δ=16-4a≥0,则a≤4,因此e≤a≤4.则实数a的取值范围为[e,4]. (2)当x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)=0, 当x∈[1,2]时,g(x)min=g (2)= -m, 由f(x)min≥g(x)min, 得0≥ -m,所以m≥ . 答案 (1)[e,4] (2) 【迁移】本例 (2)中,若将“存在x2∈[1,2]”改为“任意x2∈[1,2]”,其他条件不变,则实数m的取值范围是______________________________________. 解析 当x∈[1,2]时,g(x)max=g (1)= -m, 对任意x1∈[0,3],任意x2∈[1,2]使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)min≥g(x)max,得0≥ -m,∴m≥ . 答案 规律方法 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤: (1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围; (2)根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围. 2.全称命题可转化为恒成立问题. 3.含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,利用函数的最值解决. 【训练3】已知命题p: 任意x∈R,2x<3x,命题q: 存在x∈R,x2=2-x,若命题(綈p)且q为真命题,则x的值为( ) A.1B.-1C.2D.-2 解析 因为綈p: 存在x∈R,2x≥3x,要使(綈p)且q为真,所以綈p与q同时为真. 由2x≥3x,得 ≥1,所以x≤0.① 由x2=2-x,得x=1或x=-2.② 由①②知x=-2. 答案 D 逻辑推理——突破双变量“存在性或任意性”问题 逻辑推理的关键要素是: 逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系),目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质. 类型1 形如“对任意x1∈A,都存在x2∈B,使得g(x2)=f(x1)成立”的问题 【例1】已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x,g(x)= x- ,若对任意x1∈ [-1,1],总存在x2∈[0,2],使得f′(x1)+2ax1=g(x2)成立,求实数a的取值范围. 解 由题意知,g(x)在[0,2]上的值域为 . 令h(x)=f′(x)+2ax=3x2+2x-a(a+2), 则h′(x)=6x+2,由h′(x)=0得x=- . 当x∈ 时,h′(x)<0;当x∈ 时,h′(x)>0,所以[h(x)]min=h =-a2-2a- . 又由题意可知,h(x)的值域是 的子集, 所以 解得实数a的取值范围是[-2,0]. 思维升华 理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键,此类问题求解的策略是“等价转化”,即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”,从而利用包含关系构建关于a的不等式组,求得参数的取值范围. 类型2 形如“存在x1∈A及x2∈B,使得f(x1)=g(x2)成立”的问题 【例2】已知函数f(x)= 函数g(x)=ksin -2k+2(k>0),若存在x1∈[0,1]及x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,求实数k的取值范围. 解 由题意,易得函数f(x)的值域为[0,1],g(x)的值域为 ,并且两个值域有公共部分. 先求没有公共部分的情况,即2-2k>1或2- k<0,解得k< 或k> ,所以,要使两个值域有公共部分,k的取值范围是 . 思维升华 本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”,上述解法的关键是利用了补集思想.另外,若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”,则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围. 类型3 形如“对任意x1∈A,都存在x2∈B,使得f(x1) 【例3】已知函数f(x)=x+ ,g(x)=2x+a,若任意x1∈ ,存在x2∈[2,3],使得f(x1)≤g(x2),则实数a的取值范围是________. 解析 依题意知f(x)max≤g(x)max. ∵f(x)=x+ 在 上是减函数, ∴f(x)max=f = . 又g(x)=2x+a在[2,3]上是增函数,∴g(x)max=8+a, 因此 ≤8+a,则a≥ . 答案 思维升华 理解量词的含义,将原不等式转化为[f(x)]max≤[g(x)]max;利用函数的单调性,求f(x)与g(x)的最大值,得关于a的不等式,求得a的取值范围. 思考1: 在[例3]中,若把“存在x2∈[2,3]”变为“任意x2∈[2,3]”时,其它条件不变,则a的取值范围是________. 问题“等价转化”为[f(x)]max≤[g(x)]min,请读者完成. 思考2: 在[例3]中,若将“任意x1∈ ”改为“存在x1∈ ”,其它条件不变,则a的取值范围是______. 问题“等价转化”为f(x)min≤g(x)max,请读者自行求解. A级 基础巩固 一、选择题 1.(2020·咸阳调研)命题p: “任意x>1,x2-1>0”,则綈p为( ) A.任意x>1,x2-1≤0B.任意x≤1,x2-1≤0 C.存在x0>1,x -1≤0D.存在x0≤1,x -1≤0 解析 命题p: “任意x>1,x2-1>0”,则綈p为: 存在x0>1,x -1≤0. 答案 C 2.第32届夏季奥林匹克运动会将于2020年7月24日在日本东京隆重开幕.在体操预赛中,有甲、乙两位队员参加.设命题p是“甲落地站稳”,q是“乙落地站稳”,则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为( ) A.(綈p)或(綈q)B.p或(綈q) C.(綈p)且(綈q)D.p或q 解析 命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况: “甲、乙落地均没有站稳”、“甲落地没站稳,乙落地站稳”、“乙落地没有站稳,甲落地站稳”,故可表示为(綈p)或(綈q).或者,命题“至少有一位队员落地没有站稳”等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定,即“p且q”的否定,选A. 答案 A 3.命题“任意n∈N+,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( ) A.任意n∈N+,f(n)∉N+且f(n)>n B.任意n∈N+,f(n)∉N+或f(n)>n C.存在n0∈N+,f(n0)∉N+且f(n0)>n0 D.存在n0∈N+,f(n0)∉N+或f(n0)>n0 解析 ∵全称命题的否定为特称命题, ∴该命题的否定是: 存在n0∈N+,f(n0)∉N+或f(n0)>n0. 答案 D 4.已知命题p: 存在x∈R,x2-x+1≥0;命题q: 若a2 A.p且qB.p且綈q C.綈p且qD.綈p且綈q 解析 因为x2-x+1= + >0恒成立,所以p为真命题,则綈p为假命题;当a=1,b=-2时,满足a2 答案 B 5.(2020·河南六校联考)已知命题p: 对任意x∈R,总有2x>x2,q: “ab>4”是“a>2,b>2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( ) A.p且qB.(綈p)且q C.p且(綈q)D.(綈p)且(綈q) 解析 当x=2时,2x=x2,所以p是假命题;由a>2,b>2可以推出ab>4;反之不成立,例如a=2,b=4,所以“ab>4”是“a>2,b>2”的必要不充分条件,故q是假命题;所以(綈p)且(綈q)是真命题. 答案 D 6.已知命题“存在x∈R,4x2+(a-2)x+ ≤0”是假命题,则实数a的取值范围为( ) A.(-∞,0)B.[0,4] C.[4,+∞)D.(0,4) 解析 因为命题“存在x∈R,4x2+(a-2)x+ ≤0”是假命题,所以其否定命题“任意x∈R,4x2+(a-2)x+ >0”是真命题. 则Δ=(a-2)2-4×4×
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