第34全国中学生物理竞赛模拟试题及详细解答.docx
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第34全国中学生物理竞赛模拟试题及详细解答
第34届全国中学生物理竞赛试题模拟
★理论部分一、
A,B,C三个刚性小球静止在光滑的水平面上.它们的质量皆为m,用不可伸长的长度皆为l的柔软轻线相连,AB的延长线与BC的夹角α=π/
3,如图所示.在此平面内取正交坐标系Oxy,原点O与B球所在处重合,x轴正方向和y轴正方向如图.另一质量也是m的刚性小球D位于y轴
上,沿y轴负方向以速度v0(如图)与B球发生弹性正碰,碰撞时间极短.设刚碰完后,连接A,B,C的连线都立即断了.求碰后经多少时间,D球距A,B,C三球组成的系统的质心最近.
二、
为了近距离探测太阳并让探测器能回到地球附近,可发射一艘以椭圆轨道绕太阳运行的携带探测器的宇宙飞船,要求其轨道与地球绕太阳的运动轨道在同一平面内,轨道的近日点到太阳的距离为0.01AU(AU为距离的天文单位,表示太阳和地球之间的平均距离:
1AU=
1.495×1011m),并与地球具有相同的绕日运行周期(为简单计,设地球以圆轨道绕太阳运
动).试问从地球表面应以多大的相对于地球的发射速度u0(发射速度是指在关闭火箭发动机,停止对飞船加速时飞船的速度)发射此飞船,才能使飞船在克服地球引力作用后仍在地
球绕太阳运行轨道附近(也就是说克服了地球引力作用的飞船仍可看做在地球轨道上)进入
符合要求的椭圆轨道绕日运行?
已知地球半径Re=6.37×106
m,地面处的重力加速度g=
9.80m/s2,不考虑空气的阻力.
三、
如图所示,在一个竖直放置的封闭的高为H、内壁横截面积为S的绝热气缸内,有一质量为m的绝热活塞A把缸内分成上、下两部分.活塞可在缸内贴缸壁无摩擦地上下滑动.缸内顶部与A之间串联着两个劲度系数分别为k1和k2(k1≠k2)的轻质弹簧.A的上方为真空;A的下方盛有一定质量的理想气体.已知系统处于平衡状态,A所在处的高度(其下表面与
缸内底部的距离)与两弹簧总共的压缩量相等皆为h1=
H/4.现给电炉丝R通电流对气体加热,使A从高度
h1开始上升,停止加热后系统达到平衡时活塞的高度为
H
h2=3H/4.求此过程中气体吸收的热量△Q.已知当体积不变时,每摩尔该气体温度每升高1K吸收的热量为3R/2,R为普适气体恒量.在整个过程中假设弹簧始终遵从胡克定律.
四、
为了减少线路的输电损耗,电力的远距离输送一般采用高电压的交流电传输方式.在传输线路上建造一系列接地的铁塔,把若干绝缘子连成串(称为绝缘子串,见图甲),其上端A挂在铁塔的横臂上,高压输电线悬挂在其下端B.绝缘子的结构如图乙所示:
在半径为R1的导体球外紧包一层耐高压的半球形陶瓷绝缘介质,介质外是一内半径为R2的半球形导体球壳.已知当导体球与导体球壳间的电压为U时,介质中离球心O的距离为r处的场强
为E=R1R2
R2-R1
U
r2,场强方向沿径向.
A
半球形导体球壳
绝缘层
导体球
B
图甲图乙
1.已知绝缘子导体球壳的内半径R2=4.6cm,陶瓷介质的击穿强度Ek=135kV/cm.当介质中任一点的场强E>Ek时,介质即被击穿,失去绝缘性能.为使绝缘子所能承受的电压(即加在绝缘子的导体球和导体球壳间的电压)为最大,导体球的半径R1应取什么数值?
此时,对应的交流电压的有效值是多少?
2.一个铁塔下挂有由四个绝缘子组成的绝缘子串(如图甲),每个绝缘子的两导体间有电容C0.每个绝缘子的下部导体(即导体球)对于铁塔(即对地)有分布电容C1(导体球与铁塔相当于电容器的两个导体极板,它们之间有一定的电容,这种电容称为分布电容);每个绝缘子的上部导体(即导体球壳)对高压输电线有分布电容C2.若高压输电线对地电压的有效值为U0.试画出该系统等效电路图.
3.若C0=70pF=7
-11
10×
F,C1=5pF,C2=1pF,试计算该系统所能承受的最大
电压(指有效值).
五、
y
如图所示,G为一竖直放置的细长玻璃管,以其底
端O为原点,建立一直角坐标系Oxy,y轴与玻璃管的G
轴线重合.在x轴上与原点O的距离为d处固定放置一
电荷量为Q的正点电荷A,一个电荷量为q(q>0)的P
粒子P位于管内,可沿y轴无摩擦地运动.设两电荷之
间的库仑相互作用力不受玻璃管的影响.A
d
Ox
1.求放在管内的带电粒子P的质量m满足什么条
件时,可以在y>0的区域内存在平衡位置.
2.上述平衡状态可以是稳定的,也可能是不稳定的;它依赖于粒子的质量m.以y(m)表示质量为m的粒子P处于平衡位置时的y坐标.当粒子P处于稳定平衡状态时,y(m)的取值区间是;当粒子P处于不稳定平衡状态时,y(m)的取值区间是
(请将填空答案写在答题纸上).
3.已知质量为m1的粒子P处于稳定平衡位置,其y坐标为y1.现给P沿y轴一微小扰动.试证明以后的运动为简谐运动,并求此简谐运动的周期.
4.已知质量为m2的粒子P的不稳定平衡位置的y坐标为y2,现设想把P放在坐标y3处,然后从静止开始释放P.求释放后P能到达玻璃管底部的所有可能的y3(只要列出y3满足的关系式,不必求解).
六、
PO1O2
3
s
如图所示,一半径为R、折射率为ng的透明球体置于折射率n0=1的空气中,其球心位于图中光轴的O处,左、右球面与光轴的交点为O1与O2.球体右半球面为一球面反射镜,组成球形反射器.光轴上O1点左侧有一发光物点P,P点到球面顶点O1的距离为s.由
P点发出的光线满足傍轴条件,不考虑在折射面上发生的反射.
1.问发光物点P经此反射器,最后的像点位于何处?
2.当P点沿光轴以大小为v的速度由左向右匀速运动时,试问最后的像点将以怎样的速度运动?
并说明当球体的折射率ng取何值时像点亦做匀速运动.
七、
已知钠原子从激发态(记做P3/2)跃迁到基态(记做S1/2)所发出的光谱线波长λ0
=588.9965nm.现有一团钠原子气,其中的钠原子做无规的热运动(钠原子的运动不必考
虑相对论效应),被一束沿z轴负方向传播的波长为λ=589.0080nm的激光照射.以θ表示钠原子运动方向与z轴正方向之间的夹角(如图所示).问在30°<θ<45°角度区间内的钠原子中速率u在什么范围内能产生共振吸收,从S1/2态激发到P3/2态?
并求共振吸
收前后钠原子速度(矢量)变化的大小.已知钠原子质量为M=3.79×10-26kg,普朗克常
量h=6.626069×10-34J?
s,真空中的光速c=2.997925×108
-1
m?
s.
u
钠原子z
θ
激光束
第34届全国中学生物理竞赛参考解答
一、
1.分析刚碰后各球速度的方向.由于D
与B球发生弹性正碰,所以碰后D球的速度
4
方向仍在y轴上;设其方向沿y轴正方向,大小为v.由于线不可伸长,所以在D,B两球相碰的过程中,A,C两球都将受到线给它们的冲量;又由于线是柔软的,线对A,C两球均无垂直于线方向的作用力,因此刚碰后,A球的速度沿AB方向,C球的速度沿CB方向.用θ表示B球的速度方向与x轴的夹角,则各球速度方向将如图所示.因为此时连接A,B,C三球的两根线立即断了,所以此后各球将做匀速直线运动.
2.研究碰撞后各球速度的大小.以v1,v2,v3分别表示刚碰后A,B,C三球速度的大小,如图所示.因为碰撞过程中动量守恒,所以沿x方向有
沿y方向有
mv1-mv3cosα+mv2cosθ=0;
(1)
-mv0=mv-mv2sinθ-mv3sinα.
(2)
根据能量守恒有
12
1212
121
2.(3)
2mv0=
2mv1+
2mv2+
2mv3+
2mv
因为碰撞过程中线不可伸长,B,C两球沿BC方向的速度分量相等,A,B两球沿
AB方向的速度分量相等,有
v2cosθ=v1,(4)
v2cos[π-(α+θ)]=v3.(5)将α=π/3代入,由以上各式可解得
12
v1=3
21
v0,(6)
v2=
v3=
6v0,(7)
3
3v0,(8)
v=1v0.(9)
4
3.确定刚碰完后,A,B,C三球组成的系统质心的位置和速度.由于碰撞时间极短,
刚碰后A,B,C三球组成的系统,其质心位置就是碰撞前质心的位置,以(xc,yc)表示此时质心的坐标,根据质心的定义,有
mlcosα-ml
xc=3m,(10)
代入数据,得
yc=mlsinα.(11)
3m
5
xc=-
3
1
6l,(12)
yc=
6l.(13)
根据质心速度的定义,可求得碰后质心速度vc的分量为
mv1+mv2cosθ-mv3cosα
vcx=
3m,(14)
vcy
=-mv2sinθ-mv3sinα.(15)
3m
由(4)~(7)和(14),(15)各式及α值可得
vcx=0,(16)
5
vcy=-12v0.(17)
4.讨论碰后A,B,C三球组成的系统的质心和D球的运动.刚碰后A,B,C三球组成的系统的质心将从坐标(xc=-l/6,yc=3l/6)处出发,沿y轴负方向以大小为5v0/12的速度做匀速直线运动;而D球则从坐标原点O出发,沿y轴正方向以大小为v0/4的速度做匀速直线运动.A,B,C三球组成系统的质心与D球是平行反向运动,只要D球与C球不发生碰撞,则vC,vD不变,质心与D球之间的距离逐渐减少.到y坐标相同处时,它们相距最近.用t表示所求的时间,则有
vt=yc+vcyt(18)
将vcy,v,yc的值代入,得
3l
t=4v0.(19)
此时,D球与A,B,C三球组成系统的质心两者相距l/6.在求出(19)式的过程中,假设了在t=3l/4v0时间内C球未与D球发生碰撞.下面说明此假设是正确的;
因为v3=3v0/3,它在x方向分量的大小为3v0/6.经过t时间,它沿x轴负方向经过的距离为l/8.而C球的起始位置的x坐标为l/2.经t时间后,C球尚未到达y轴,
不会与D球相碰.
二、
从地球表面发射宇宙飞船时,必须给飞船A
以足够大的动能,使它在克服地球引力作用后,
仍具有合适的速度进入绕太阳运行的椭圆轨道.此时,飞船离地球已足够远,但到太阳的
rse
P
v
6
ve
B
图1
距离可视为不变,仍为日地距离.飞船在地球绕太阳运动的轨道上进入它的椭圆轨道,用E表示两轨道的交点,如图1所示.图中半径为rse的圆A是地球绕太阳运行的轨道,太阳S位于圆心.设椭圆B是飞船绕日运行的轨道,P为椭圆轨道的近日点.
由于飞船绕日运行的周期与地球绕日运行的周期相等,根据开普勒第三定律,椭圆的半长轴a应与日地距离rse相等,即有
a=rse
(1)
根据椭圆的性质,轨道上任一点到椭圆两焦点的距离之和为2a,由此可以断定,两轨道的交点E必为椭圆短轴的一个顶点,E与椭圆长轴和短轴的交点Q(即椭圆的中心)的连线垂直于椭圆的长轴.由△ESQ,可以求出半短轴
b=r2se-(a-SP)2.
(2)由
(1),
(2)两式,并将a=rse=1AU,SP=0.01AU代入,得
b=0.141AU.(3)
在飞船以椭圆轨道绕太阳运行过程中,若以太阳为参考系,飞船的角动量和机械能是守恒
的.设飞船在E点的速度为v,在近日点的速度为vp,飞船的质量为m,太阳的质量为
Ms,则有
mvasinθ=mvpSP,(4)式中θ为速度v的方向与E,S两点连线间的夹角:
由机械能守恒,得
sinθ=b
a
.(5)
1mv2-GMsm12
GmMs
2
2a=
mvp-
.(6)
SP
因地球绕太阳运行的周期T是已知的(T=365d),若地球的质量为Me,则有
MsMe
Ga2=Me(
2π)2T
a.(7)
解(3)~(7)式,并代入有关数据,得
v=29.8km/s.(8)
(8)式给出的v是飞船在E点相对于太阳的速度的大小,即飞船在克服地球引力作用后从
E点进入椭圆轨道时所必须具有的相对于太阳的速度.若在E点飞船相对地球的速度为u,因地球相对于太阳的公转速度为
ve=
2πa
T=29.8km/s,(9)
方向如图1所示.由速度合成公式,可知
v=u+ve,(10)
速度合成的矢量图如图2所示,注意到ve与ES垂直,有
u=2
图2
2-2vv
π),(11)
代入数据,得
v+ve
ecos(
2-θ
u=39.1km/s.(12)
u是飞船在E点相对于地球的速度,但不是所要求的发射速度u0.为了求得u0,可以从与地心固定连接在一起的参考系来考察飞船的运动.因飞船相对于地球的发射速度为u0时,飞船离地心的距离等于地球半径Re.当飞船相对于地球的速度为u时,地球引力作用可以
忽略.由能量守恒,有
12-GMem
12.(13)
2mu0
地面处的重力加速度为
Re=
2mu
2
g=GMe
Re
,(14)
解(13),(14)两式,得
u0=u2+2gRe.(15)
由(15)式及有关数据,得
u0=40.7km/s.(16)
如果飞船在E点处以与图示相反的方向进入椭圆轨道,则(11)式要做相应的改变.此时,它应为
u=22-2vvπ
相应计算,可得另一解
v+veecos(2+θ),(17)
u=45.0km/s,u0=46.4km/s.(18)
如果飞船进入椭圆轨道的地点改在E点的对称点处(即地球绕日轨道与飞船绕日轨道的另一个交点上),则计算过程相同,结果不变.
三、
两个弹簧串联时,作为一个弹簧来看,其劲度系数
k1k2
k=k1+k2.
(1)
设活塞A下面有νmol气体.当A的高度为h1时,气体的压强为p1,温度为T1.由理想气体状态方程和平衡条件,可知
p1Sh1=vRT1,
(2)
p1S=kh1+mg.
对气体加热后,当A的高度为h2时,设气体压强为
p2
,温度为
(3)
T2.由理想气体状态
方程和平衡条件,可知
p2Sh2=vRT2,(4)
p2S=kh2+mg.(5)
在A从高度h1上升到h2的过程中,气体内能的增量
2
△U=v3
R(T2-T1).(6)
气体对弹簧、活塞系统做的功W等于弹簧弹性势能的增加和活塞重力势能的增加,即
W=12-h2-h
2k(h21)+mg(h2
根据热力学第一定律,有
1).(7)
△Q=△U+W.(8)
由以上各式及已知数据可求得
△Qk1k22
k1+k2
四、
5
4mgH.(9)
1.根据题意,当导体球与导体球壳间的电压为U时,在距球心r(R1<r<R2)处,电场强度的大小为
R1R2U
E=R
2-R1
r2.
(1)
在r=R1,即导体球表面处,电场强度最大.以E(R1)表示此场强,有
E(R
)=R2U
.
(2)
1(R2-R1)R1
因为根据题意,E(R1)的最大值不得超过Ek,R2为已知,故
(2)式可写为
E=
R2U
k(R2-R1)R1
或
(R2-R1)R1
(3)
U=Ek
R2.(4)
由此可知,选择适当的R1值,使(R2-R1)R1最大,就可使绝缘子的耐压U为最大.不
难看出,当
2
R1=R2
(5)
时,U便是绝缘子能承受的电压的最大值Uk.由(4),(5)两式得
EkR2
Uk=4,(6)
代入有关数据,得
Uk=155kV.(7)
当交流电压的峰值等于Uk时,绝缘介质即被击穿.这时,对应的交流电压的有效值
Uk
Ue=
110kV.(8)
2
2.系统的等效电路如图所示.
C1C1C1C0
C0
C1C0
C0
C2
C2C2C2
U0
3.设绝缘子串中间三点的电势分别为U1,U2,U3,如图所示.由等效电路可知,与每个中间点相连的四块电容极板上的电荷量代数和都应为零,即有
0;
解(12)式,可得
△U1=0.298U0,△U2=0.252U0,△U3=0.228U0.(13)
由(10)~(12)式可得
△U4=U3=0.222U0.(14)
以上结果表明,各个绝缘子承受的电压不是均匀的;最靠近输电线的绝缘子承受的电压最大,此绝缘子最容易被击穿.当最靠近输电线的绝缘子承受的电压有效值
△U1=Ue(15)
时,此绝缘子被击穿,整个绝缘子串损坏.由(8),(13)和(15)三式可知,绝缘子串承受的最大电压
U0max=
五、
Ue
0.298=369kV.(16)
y
1.如图所示,位于坐标y处的带电粒子P受到库
仑力FE为斥力,其y分量为G
FEy=k
r2sinθ=k
Qqy
(d2+y2)3/2,
(1)
式中r为P到A的距离,θ为r与x轴的夹角.可以看出,FEy与y有关:
当y较小时,
(1)式分子中的y起主要作用,FEy随y的增大而增大;当y较大时,
(1)式分母中的y起主要作用,FEy随y的增大而减小.可见,
PFEy
mgr
A
Odx
FEy在随y由小变大的过程中会出现一个极大值.通过数值计算法,可求得FEy随y变化的情况.令=y/d,得
FEy=k
d2(1+2)3/2.
(2)
当取不同数值时,对应的(1+2)-3/2的值不同.经数值计算,整理出的数据如表
1所示.
表1
0.100
0.500
0.600
0.650
0.700
0.707
0.710
0.750
0.800
0.0985
0.356
0.378
0.382
0.385
0.385
0.385
0.384
0.381
2-3/2
(1+)
由表中的数据可知,当=0.707,即
y=y0=0.707d(3)
时,库仑力的y分量有极大值,此极大值为
FEymax=0.385k
d
2.(4)
由于带电粒子P在竖直方向除了受到竖直向上的FEy作用外,还受到竖直向下的重力mg作用.只有当重力的大小mg与库仑力的y分量相等时,P才能平衡.当P所受的重力mg大于FEymax时,P不可能达到平衡.故质量为m的粒子存在平衡位置的条件是
mg≤FEymax.
由(4)式得
2
m≤0.385kqQ
.(5)
gd
2.y(m)>0.707d;0<y(m)≤0.707d.
3.根据题意,当粒子P静止在y=y1处时,处于稳定平衡位置,故有
Qqy1
k3
(d2
22
y1)
-m1g=0.(6)
设想给粒子P沿y轴的一小扰动△y,则P在y方向所受的合力为
F=F
-mg=k
Qq(y1+△y)
2
-mg.(7)
yEy1
[d+(y1+△y)2]3/21
由于△y为一小量,可进行近似处理,忽略高阶小量,有
Qq(y1+△y)
Fy=k22△y3/2-m1g
[d+y1+2y1]
Qq(y1+△y)
3y1△y
1
1
=k(d2+y2
)3/2(1-
d2+y2
)-m1g
3qQy2△y
=kQqy1
+kQq△y-k
1
-mg.
(d2
2
+y1)
3/2
(d2
2
+y1)
3/2
(d2
2
+y1)
5/21
注意到(6)式,得
1
Fy=-
m1g(2y2-d2)
△y.(8)
(d2+y2)y1
1
1
因y=y1是粒子P的稳定平衡位置,故y1>0.707d,2y2-d2>0.由(8)式可知,粒
子P在y方向受到合力具有恢复力的性质,故在其稳定平衡位置附近的微小振动是简谐运动;
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