北师版九年级下册第三章圆知识点及习题Word文档格式.docx
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3、点与圆的位置关系及其数量特征:
如果圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则
①点在圆上<
===>
d=r;
②点在圆内<
d<
r;
③点在圆外<
d>
r.
其中点在圆上的数量特征是重点,它可用来证明若干个点共圆,方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。
二.圆的对称性:
1、圆是轴对称图形,直径所在的直线是它的对称轴,圆有无数条对称轴。
2、圆是中心对称图形,对称中心为圆心
3、定理:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。
推论:
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
2.垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。
推论:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
说明:
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说,如果具备:
①过圆心;
②垂直于弦;
③平分弦;
④平分弦所对的优弧;
⑤平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
三.圆周角和圆心角的关系:
1.1°
的弧的概念:
把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的角都是1°
的圆心角,相应的整个圆也被等分成360份,每一份同样的弧叫1°
弧.
2.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.
这里指的是角度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等.即不能写成
∠AOB=,这是错误的.
3.圆周角的定义:
顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.
4.圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论1:
同弧或等弧所对的圆周角相等;
反之,在同圆或等圆中,相等圆周角所对的弧也相等;
推论2:
半圆或直径所对的圆周角是直角;
90°
的圆周角所对的弦是直径;
推论3:
圆内接四边形的对角互补。
圆周角的三种情况:
四.确定圆的条件:
1.理解确定一个圆必须的具备两个条件:
圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.
经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.
2.经过三点作圆要分两种情况:
(1)经过同一直线上的三点不能作圆.
(2)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.
定理:
不在同一直线上的三个点确定一个圆.
3.三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:
(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形:
经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.
(2)三角形的外心:
三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.
(3)三角形的外心的性质:
三角形外心到三顶点的距离相等.
外接圆
五.直线与圆的位置关系
1.直线和圆相交、相切相离
设⊙O的半径为r,圆心O到直线的距离为d;
①d<
r<
直线L和⊙O相交.——两个公共点
②d=r<
直线L和⊙O相切.——惟一公共点,惟一的公共点做切点.
③d>
直线L和⊙O相离.——没有公共点
相离相切相交
2.切线的总判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.
3.切线的性质定理:
圆的切线垂直于过切点的半径.
※推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
※推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
※分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:
如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.
①垂直于切线;
②过切点;
③过圆心.
切线长定理:
过圆外一点所画的圆的两切线长相等
即:
∵
、
是的两条切线∴
平分
4.三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.
内切圆
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.
三角形内心的性质:
(1)三角形的内心到三边的距离相等.
(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.
由此性质引出一条重要的辅助线:
连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角.
六.圆和圆的位置关系.
1.外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)
外离(图1)
无交点
;
外切(图2)
有一个交点
相交(图3)
有两个交点
(R≥r)
内切(图4)
(R>
r)
内含(图5)
2.相切两圆的性质:
如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.
3.相交两圆的性质:
相交两圆的连心线垂直平分公共弦.
七.弧长及扇形的面积
1.圆周长公式:
圆周长C=2
R(R表示圆的半径)
2.弧长公式:
弧长
(R表示圆的半径,n表示弧所对的圆心角的度数)
3.扇形定义:
一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.
4.弓形定义:
由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.
弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高.
5.圆的面积公式:
圆的面积
(R表示圆的半径)
6.扇形的面积公式:
扇形的面积
=
(R表示圆的半径,n表示弧所对的圆心角的度数,
表示弧长)
弓形的面积公式:
(1)当弓形所含的弧是劣弧时,
(2)当弓形所含的弧是优弧时,
(3)当弓形所含的弧是半圆时,
八.圆锥的有关概念:
1.圆锥可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形,另一条直角边旋转而成
的面叫做圆锥的底面,斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面.
2.圆锥的侧面展开图与侧面积计算:
圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点.
如果设圆锥底面半径为r,侧面母线长(扇形半径)是l,底面圆周长(扇形弧长)为c,那么它的侧面积是:
圆锥的体积:
圆柱:
(1)圆柱侧面展开图
=
(2)圆柱的体积:
*九.与圆有关的辅助线
1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.
2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.
3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)为辅助线.
4.若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.
*十.圆内接四边形
若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.
圆内接四边形的特征:
①圆内接四边形的对角互补;
②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.
十一.北师版数学未出现的有关圆的性质定理
1.切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
如图6,∵PA,PB分别切⊙O于A、B
∴PA=PB,PO平分∠APB
2.弦切角定理:
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
推论:
如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等。
如图7,CD切⊙O于C,则,∠ACD=∠B
3.和圆有关的比例线段:
①相交弦定理:
圆内的两条弦相交,被交点分成的两条线段长的积相等;
②推论:
如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
如图8,AP•PB=CP•PD
如图9,若CD⊥AB于P,AB为⊙O直径,则CP2=AP•PB
4.切割线定理
①切割线定理,从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项;
从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
如图10,①PT切⊙O于T,PA是割线,点A、B是它与⊙O的交点,则PT2=PA•PB
②PA、PC是⊙O的两条割线,则PD•PC=PB•PA
5.两圆连心线的性质
①如果两圆相切,那么切点一定在连心线上,或者说,连心线过切点。
②如果两圆相交,那么连心线垂直平分两圆的公共弦。
如图11,⊙O1与⊙O2交于A、B两点,则连心线O1O2⊥AB且AC=BC。
6.两圆的公切线
两圆的两条外公切线的长及两条内公切线的长相等。
如图12,AB分别切⊙O1与⊙O2于A、B,连结O1A,O2B,过O2作O2C⊥O1A于C,公切线长为l,两圆的圆心距为d,半径分别为R,r则外公切线长:
如图13,AB分别切⊙O1与⊙O2于A、B,O2C∥AB,O2C⊥O1C于C,⊙O1半径为R,⊙O2半径为r,则内公切线长:
3.1圆的认识
1、
(1)下列命题:
①直径是弦;
②半径确定了,圆就确定了;
③半圆是弧,弧不一定是半圆;
④长度相等的弧是等弧;
⑤弦是直径。
其中错误的说法有________个。
(2)如何在操场上画一个半径是5m的圆?
说出你的理由。
(3)如图,在⊙O中,直径是______,弦有__________,
劣弧有_________,优弧有_____
2、判断:
①直径是弦,弦是直径()②半圆是弧,弧是半圆()
③优弧一定大于劣弧()④半径相等的圆是等圆()
3、⊙O的半径为5,圆心O的坐标为O(0,0),点A的坐标为A(4,2)则点A与⊙O的位置关系是()
A.点A在⊙O内B.点A在⊙O上
C.点A在⊙O外D.点A在⊙O内或在⊙O上
4、如图,一根绳子长4m,一端拴着一只羊,另一端拴在
墙BC边A处的柱子上,请画出羊的活动区域.
5、如图,已知在同心圆O中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证:
∠AOC=∠BOD.
3.2圆的对称性
(一)
过圆内一点(非圆心),最长弦为直径,最短弦是和这条直径垂直且过该点的弦
1.若⊙O的直径为10厘米,弦AB的弦心距为3厘米,则弦AB的长为________.
2.已知⊙O的半径为8cm,OP=5cm,则在过点P的所有弦中,最短的弦长为______
最长的弦长为___________
3.已知⊙O的半径为5cm,则垂直平分半径的弦长为__________.
4.已知圆的两弦AB、CD的长分别是18和24,且AB∥CD,又两弦之间的距离为3,则圆的半径长是()A.12B.15C.12或15D.21
5.如图,直径为1000mm的圆柱形水管有积水(阴影部分),水面的宽度AB为800mm,求水的最大深度CD.
3.2圆的对称性
(二)
1.在⊙O中,60°
的圆心角所对的弦长为5cm,则这个圆的半径为_________.
2.若⊙O的弦AB的长为8cm,O到AB的距离为
cm,弦AB所对的圆心角为__________.
3.下列结论中正确的是()
A.长度相等的两条弧相等B.相等的圆心角所对的弧相等
C.圆是轴对称图形D.平分弦的直径垂直于弦
4.如图,三点A、B、C在⊙O上.
(1)已知:
∠ABC=∠ACB,求证:
AB=AC;
(2)已知:
AB=AC,求证:
∠ABC=∠ACB
圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
3.3圆周角和圆心角的关系
(一)
1.如图,点A、B、C在⊙O上.
(1)若∠AOB=70°
,则∠ACB=_____°
(2)若∠ACB=40°
,则∠AOB=________°
.
2.如图,⊙O的直径AB和弦CD的延长线相交于点P,∠AOC=64°
,∠BOD=16°
,
则∠APC的度数为______°
3.如图,⊙O的直径AD=6,∠BAC=30°
,则弦BC的长为()
A.3B.
C.6D.
(第1题)(第2题)(第3题)
4.在同圆或等圆中,同一弦所对的两个圆周角()
A.相等B.互补C.互余D.相等或互补
3.3圆周角和圆心角的关系
(二)
1.如图,⊙O的弦AB,CD相交于点E,
所对的圆心角是100°
,弧BD所对的圆心角是50°
.则∠AEC=_______.
推论2:
2.下列命题中,①顶点在圆上的角是圆周角;
②圆周角的度数等于圆心角度数的一半;
③90°
④直径所对的角是直角;
⑤同弧或等弧所对的圆周角相等.正确的个数为()
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.4确定圆的条件
1.____________________的三个点确定一个圆.
2.锐角三角形的外心位于三角形的_______,直角三角形的外心在_________,钝角三角形的外心位于三角形
的__________.
3.等腰直角三角形外接圆半径为3,则这个三角形三边的长为____________.
4.直角三角形两条直角边长为6和8,则外接圆面积为________.
5.下列四个命题中,①直径是弦;
②经过三点可以作圆;
③三角形的外心到各顶点的距离都相等;
④钝角三角形的外心在三角形的外部.正确的有()
A.个B.2个C.3个D.4个
6.如图,以⊙O的半径OA为直径作⊙D,⊙O的弦AB与⊙D
相交于点C,已知AB=20,求AC的长.
3.5直线和圆的位置关系
(一)
1.在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,AB=5cm,BC=3cm,以A为圆心,4cm为半径作圆,则:
(1)直线BC与⊙A的
位置关系是_________;
(2)直线AC与⊙A的位置关系是_________.(3)以C为圆心,半径为________的
圆与直线AB相切.
2.半径等于3的⊙P与x轴相切,且OP与x轴正半轴的夹角为30°
,则点P的坐标为_______.
3.如果直线l与⊙O有公共点,那么直线l与⊙O的位置关系是()
A.相交B.相切C.相离D.相切或相交
切线的性质定理:
3.5直线和圆的位置关系
(二)
1.如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,D、E、F分别是切点,∠ACB=90°
,∠BOC=115°
,则∠A=______,∠ABC=_______.
2.如图,⊙I是Rt△ABC的内切圆,D、E、F分别是切点,∠ACB=90°
,AB=5cm,BC=4cm,则⊙I的半径IE的长为_______.
3.如图,直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路,现在要建一个货物中转站,要求它到三条公路距离相等,则可选择的地址有()
A.一处B.两处C.三处D.四处
4.如图,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC
平行于弦AD.求证:
DC是⊙O的切线.
3.6圆和圆的位置关系
1.奥运五环图中,红环与绿环的位置关系是______,红环与黑环的位置关系是____.
2.已知两圆的半径分别是2,3,圆心距是d,若两圆有公共点,则下列结论正确的是()
A.d=1 B.d=5C.1≤d≤5 D.1<d<5
3.半径分别为1和2的两个圆外切,那么与这两个圆都相切,且半径为3的圆的个数有()
A.1个B.3个C.5个D.6个
4.两圆相切,圆心距为9cm,已知其中一圆半径为5cm,另一圆半径为_____.
5.两个同心圆,小圆的切线被大圆截得的部分为6,则两圆围成的环形面积为_________。
6.如图,⊙O1和⊙O内切于点A,AB为⊙O的直径,点O1在OA上,
⊙O的弦BC切⊙O1于点D,两圆的半径R=4,r=3.
(1)求BD的长
(2)求CD的长
3.7切线长定理:
1.如图,⊙I是△ABC的内切圆,切点分别为点D、E、F,若∠DEF=52o,则∠A的度为________.
1题图2题图3题图
2.如图,一圆内切于四边形ABCD,且AB=16,CD=10,则四边形ABCD的周长为________.
3.如图,已知⊙O是△ABC的内切圆,∠BAC=50o,则∠BOC为____________度.
4.如图,AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F,若AD=20,求△ABC的周长.
5.已知:
如图,⊙O内切于△ABC,∠BOC=105°
,∠ACB=90°
,AB=20cm.求BC、AC的长.
6.已知:
如图,△ABC三边BC=a,CA=b,AB=c,它的内切圆O的半径长为r.求△ABC的面积S.
3.8圆内接正多边形
1、
(1)都在同一个圆上的正多边形叫做,这个圆叫做该正多边形的。
(2)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的,外接圆的半径叫做正多边形的,正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的,正n边形的中心角是,中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的。
2、正六边形的边心距为2,则该正六边形的边长是。
3、中心角为30度的圆内接正n边形的n为。
6、如图,正五边形ABCDE内接于☉O,点F在劣弧AB上,求∠CFD的大小
弧长公式:
弧长=
3.9弧长及扇形的面积
1.如图,当半径为30cm的转动轮转过120︒的角时,传送带上的物体A平移的距离为________cm.
2.水平放置的一个水管的截面半径为10厘米,其中有水部分的水面宽
厘米.求截面上有水部分的面积.
3.如图,AB是半⊙O的直径,C、D是半圆的三等分点,半圆的半径为R.
(1)CD与AB平行吗?
为什么?
(2)求阴影部分的面积.
4.如图,⊙O1和⊙O2外切于点C,并且分别与⊙O内切于A、B,若⊙O的半径为3,⊙O1和⊙O2的半径都为1.求阴影部分的面积和周界长.
3.8圆锥的侧面积
1.粮仓的顶部是一个底面直径为4m,母线长为3m的圆锥,为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡,那么这块油毡的面积至少为()
A.6m2B.6πm2C.12m2D.12πm2
2.用铁皮做一个圆锥形的烟囱帽(图中上部),它的底面直径是80cm,高是30cm,不计加工余料,求需用
铁皮的面积.
3.如图,在半径为40米的圆形广场中央点O的上空安装了一个照明光源S,S射向地面的光束呈圆锥形,其轴截面(经过圆锥的轴的截面)ASB的顶角为60°
,求光源离地面的高度SO(精确到0.1米).
4.如图,这是一个滚珠轴承的平面示意图,若滚珠轴承的内外半径
分别为6cm和8cm,那么该轴承内最多能放________颗半径为1cm的滚珠.
5.如图,在正方形纸板上剪下一个扇形和圆,围成一个圆锥模型,设围成的圆锥底
面半径为r,母线长为R,则r与R之间的关系为()
A.
B.
C.
D.
6.如图,A、B、C在直角坐标系中的坐标分别为A(1,0),B(3,0),C(0,1).求△ABC绕y轴旋转一周所得几何体的表面积.
7.如图,⊙P与扇形OAB的半径OA、OB分别相切于点C、D,与弧AB相切于点E,已知OA=15cm,∠AOB=60°
,求图中阴影部分的面积.
8.如图,一根木棒(AB)的长为2米,斜靠在与地面(OM)垂直的墙壁(ON)上,与地面的倾角为60°
,若木棒A端沿NO下滑,B端沿OM向右滑行,于是木棒的中点P也随之运动,已知A端下滑到A′时,AA′=
.求中点P随之运动的路线有多长
综合练习
1、选择题
1.在△ABC中,∠C=90°
,AB=3cm,BC=2cm,以点A为圆心,以2.5cm为半径作圆,则点C和⊙A的位置关系是()。
A.C在⊙A上B.C在⊙A外
C.C在⊙A内D.C在⊙A位置不能确定。
2.一个点到圆的最大距离为11cm,最小距离为5cm,则圆的半径为()。
A.16cm或6cmB.3cm或8cm C.3cm D.8cm
3.AB是⊙O的弦,∠AOB=80°
则弦AB所对的圆周角是()。
A.40°
B.140°
或40°
C.20°
D.20°
或160°
4.O是△ABC的内心,∠BOC为130°
,则∠A的度数为()。
A.130°
B.60°
C.70°
D.80°
5.如图1,⊙O是△ABC的内切圆,切点分别是D、E、F,已知∠A=100°
,∠C=30°
,则∠DFE的度数是()。
A.55°
C.65°
D.70°
6.如图2,边长为12米的正方形池塘的周围是草地,池塘边A、B、C、D处各有一棵树,且AB=BC=CD=3米.现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上.为了使羊在草地上活动区域的面积最大,应将绳子拴在()。
A.A处B.B处C.C处D.D处
图1图2
7.已知两圆的半径分别是2和4,圆心距是3,那么这两圆的位置是()。
A.内含B.内切C.相交D.外切
8.已知半径为R和r的两个圆相外切。
则它的外公切线长为()。
A.R+rB.
C.
D.2
9.已知圆锥的底面半径为3,高为4,则圆锥的侧面积为()。
A.10πB.12πC.15πD.20π
10.如果在一个顶点周围用两个正方形和n个正三角形恰好可以进行平面镶嵌,则n的值是()。
A.3B.4C.5D.6
11.下列语句中不正确的有()。
①相等的圆心角所对的弧相等
②平分弦的直径垂直于弦
③圆是轴对称图形,任何一条直径都是它的对称轴
④长度相等的两条弧是等弧
A.3个B.2个C.1个D.4个
12.先作半径为
的第一个圆的外切正六边形,接着作上述外切正六边形的外接圆,再作上述外接圆的外切正六边形,…,则按以上规律作出的第8个外切正六边形的边长为()。
A.
B.
D.
13.如图3,⊿ABC中,∠C=90°
,BC=4,AC=3,⊙O内切于⊿ABC,则阴影部分面积为()
A.12-πB.12-2πC.14-4πD.6-
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