全国硕士研究生入学统一考试参考答案.docx
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全国硕士研究生入学统一考试参考答案
2021年全国硕士研究生入学统一考试参考答案
数学
(二)
一、选择题(本题共10小题,每小题5分,共50分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的,把所选选项前的字母填在答题卡制定的位置上•)
(1)当XTO时,[(/—1W是/的()
(A)低阶无穷小(B)等价无穷小
(C)高阶无穷小(D)同阶但非等价无穷小
【答案】C
【解析】因为当JVTO时,
=2x(ex"—1)~2x7,所以(/-1⑷是x7的
阶无穷小,正确答案为C.
八1
(2)函数f(x)=
19x=0
【解析】因为Um/(x)=lim=1=f(0),故/(x)在兀=0处连续:
Q-11v
因为lim"门二/⑴)=hm」——=lim~\~x=1,故正确答案为D.
1X-0v-M)x-0gof2
(3)有一圆柱底面半径与髙随时间变化的速率分别为2cm/s.-3cm/s,当底而半径为
10(7”,高为5c也时,圆柱体的体积与表而积随时间的变化率分別为()
(A)125加〃*/s>40亦〃FIs(B)125加"F/s,一40/zr〃F/s
(C)-100加"厂/s,40加" 【答案】C 【解析】由题意知,—=2,-=-3,又V=m-h,S=2勿力+2加 dtdt miczdr2dhdSdrdh.dr 则—=2tz? 7? —+7cr—9—=2/th—+—+4/zr—, dtdtdtdtdtdtdt 当r=10,/z=5时,—=-100^,—=40^,故正确答案为C. dtdt (4)设函数J\x)=ax-b]nx(«>0)有两个零点,则? 的取值范围是() a (A)(匕+s)(B)(0®(C)(0丄)(D)(1,+s) ee 【答案】A 【解析】令f(x)=ax-bhyx=0,f\x)=a--,令/,(x)=0,有驻点x=-.xa (5)设函数f(x)=secx^x=0处的2次泰勒多项式为\+ax+hx2.则() (A)a=\,b=(B)a=\,b=— 22 (C)a=0.b=-—(D)a=0.b=— 22 【答案】D 【解析】由/(x)=/(0)+广(0)兀+雪少疋+。 (,),知当y(A-)=seCx时, 2 /(0)=secO=1,/•(O)=secOtanO=O,f'(0)=(secxtan2x+sec3x)|A^=1,则/(x)=secx=l+-x2+o(F),故正确答案为D. 2 (6)设函数f(x9y)可微,且f(x+ltex)=x(x+l)2ff(xtx2)=2x2lnx,则0(1,1)= () (A)clx+dy(B)dx-dy(C)dy(D)-dy 【答案】c 【解析】/「d+l,K)+e/©+l,e「)=(x+l)2+2x(x+l)□ 1 (x,x2)+2xf2*(x,x2)=4xInx+2x 斤(1,1)+方(1,1)=1,/1i(U)+2AU1)=2, 联立可得斤(1,1)=0,/2I(1J)=1,于是#(1J)=f;(lA)dx+f2\\A)dy=dy,故正确答案 为C. (7) 设函数/(X)在区间[0,1]上连续,则p(x>/A=() 【答案】B 【解析】由泄积分的上义知,将(0J)分成〃份•取中间点的函数值,则 ]n{2^—111 £f(x)dx=JiniX! -,故正确答案为B. (8)二次型/(x1,x2,x3)=(xI+x2)2+(x2+x3)2-(x3-x,)2的正惯性指数与负惯性指数依 次为() (A)2,0(B)1,1(C)2,1(D)1,2 【答案】B 【解析】/(xPx2,x3)=a+x2)2+(x2+x3)2-(x3-xl)2=2x;+2xfx2+2x2x3+2x,x3 oir 所以二次型矩阵人=121,故特征多项式为 、110丿 A—1—1 |xf—A]=—1/I—2—1=(A+1)(几一3)A9 —1—1A 令上式等于零,故特征值为-1,3,0,故该二次型的正惯性指数为1,负惯性指数为1,故答案应选B. (9)设3阶矩阵人=(? 02,巾),B=(Q,02,03),若向量组可以由向捲组久02,03线性表示,则() (A)Av=0的解均是3x=0的解 (B)=0的解均是Brx=0的解 (C)3工=0的解均是Ax=0的解 (D)B'x=0的解均是A'x=0的解 【答案】D 【解析】令心(4,巾心),〃=(01,02,民),由题向量组4,色,巾可以由向量组 0「02,03线性表示,即r(B)=r(BM)=>r(Br)=r卩, 、A; nT\ 所怦=。 %卜。 同解,即小。 昨是心。 的解,故选项D正龜 PA0为对角矩阵,则P0可以分别取( 【答案】C '1 0-1 100) q 0 -1 1 0 0] 【解析】(AE) = 2 -11 0 0 0 -1 3 -2 1 0 -3 2-5 0 01 0 2 -6 1 0 1 / \ / <1 0-1 10 0、 '1 0 0、 0 一3 -2-1 0 则卩= 2 -1 0 • • <0 00 -32 1—3 2 1; "10-1、 "100、 01-3 010 仃01、 000 000 A — = 则0= 013 E 100 101 0 ‘°01, 010 013 <001> <001, •故正确答案为C. "1 0 -1「 <1 0 -1「 0 -1) 或者: A= 2 -1 1 々-2斤K 0 -1 3 0 -1 3 <-1 2 —5丿 2 —5丿 2 2 -6丿 "1 0 -1] <1 0 0] <1 0 0] n+2r? 、 0 1 0 1 0 1 n 7 V 1 ・» 1 1 2 0 0丿 <0 0 oj 0 0丿 二填空题(本题共6小题,每小题5分,共30分•请将答案写在答题纸指定位置上) (11)j^|x|3-v2dx=. 【答案】丄 In3 【解析】匚卜|3“厶=2[】34心=_了3』〃(—/)=一占.3$障=占 (12)设函数y=y(x)由参数方程|A=2 +'+[确込则=. b=4(f_l)N+/2dx」 //v2 将20代入得制七. (13)设函数z=Z(a\y)由方程(x+l)z+ylnz-arctan(2Ay)=l确定,则 dz_ 才<0.2)=・ OX 【答案】1 【解析】方程两边对兀求导,W^+(x+D—+yl—-—=0,将x=0,y=2代 dxzdxl+4ry 入原方程,得z=L再将x=0,y=2,z=l代入,得$(o.2)=l・ 【答案】 【解析】交换积分次序,有/(/)=—「〃)[sin*仪,从而 =『ycos—dy-『ycosydy=尸j*厂cos二t/y—[、)'cosydy, nJ; (15)微分方程y,M-y=0的通解为歹=. 【解析】由特征方程""解得心,“*导,故方程的通解为 三.解答题(本题共6小题,共70分•请将解答写在答题纸指定位置上,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程・) (17)(本题满分10分) .・ex「sinx-e'+l...sinx-e'+l,vcosx-ev =lim——+lini=1+lim=1+lim go1“a(o'-l)sinx*3fa®2x =1+lim (18)(本题满分12分) 已知,求/(x)的凹凸性及渐近线. 1+x 【答案】凹区间(—s,—l),(0,+s),凸区间(一1,0),斜渐近线是y=x-l9y=-x-l. 所以 -1 (-1,0) 0 (0,4-00) 厂(X) + — + /(X) 凹函数 拐点 凸函数 拐点 凹函数 故f(x)=iL凹区间(_s,—l),(O,+s),凸区间(-1,0). 1+x 因为lim处L=s,所以x=—1是垂直渐近线: "11+X (19)(本题满分12分) 为s,厶绕x轴旋转一周所形成的而积为A,求$和人. 【解析】[1^7a=1x2-x+C两边求导,得d=1x—l,所以f(X)=LX2^x29 Jyjx6yjx33 曲面的侧而积为A=2兀「yjl+y%=2龙『(|x7-严)十+丄+2dx=弓彳 (20)(本题满分12分) 函数y=y(x)的微分方程Q‘-6y=-6,满足y(V3)=10, (1)求y(x)的表达式: (2)P为曲线y=y(x)上的一点,曲线y=y(x)在点P的法线在y轴上的就截距为人, 为使人最小,求P的坐标. 【答案】 (1) 【解析】 (1) 由xy'-6y=-6,得y‘一9歹=一9,所以 xx =1+Cv\ (•6卜9加 J(—Xrdx+C 1丫6 将y(V3)=10代入,得C=-,所以y(x)=l+—. 33 (2)设P(x,y),则过P点的切线方程为Y—y=2F(X—x), 令x=o,得y=zv=i+—+-L-,为偶函数,故只需要考虑(0,+8)即可. 32x4 2 令/;=2x5-—=0,解得兀=1, x 所以当xe(0,1)时,/v'<0: 当xe(l,+s)时,/;>0;故当JV=1时Y=IV=\+—+ 3 取得极小值,也是最小值,且最小值为人.(±i)=¥,且卩点坐标为”±1冷) (21)(本题满分12分) 曲线(x2+y2)2=x2-y2(x>0,y>0)与x轴圉成的区域为D,求JJxydxdy.D 【答案】— 48 【解析】使用极坐标讣算 代I r'sin^cos^/r =P—cos22^sinOcqsOcIOJo4 F丄COS? 2&/COS2&=-丄cos'28H=丄. 1648o48 (22)(本题满分12分) 设阴“相似皿"沁并 \1ab 求可逆矩阵使P'XAP为对角矩阵. A-2-10 【解】由|"—4|=-1A-20=(A-0(A-3)(A-1),故6=3或1. -1-aX—b (1)当b=3时,由于貳相似于对角矩阵,二重特征根入=&=3有两个线性无关的特 (1-10\ 征向量,从而r(3E-A)=r\-110=1,故a=-l. \-1-a0/ 此时,入]=&=3的两个线性无关的特征向量为6=(1,1,0)丁,a2=(0,0,l)T, 入3=1的一个特征向量为«3=(-1,1,1): 令P=(a】©,5),则P'1AP=diag(3,3,1)为对角矩阵. (2)当b=l时,类似的讨论可知a=l.此时,入=&=1的两个线性无关的特征向量 为0】=(-l,l,O)T,02=(0,0,1)丁,入3=3的一个特征向量为03=(1,1,1)厂 令P=6,02,03),则P1AP=diag(l,l,3)为对角矩阵. 3
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