高等数学习题及解答极限连续与导数Word文档格式.docx
- 文档编号:3284034
- 上传时间:2023-05-01
- 格式:DOCX
- 页数:42
- 大小:27.27KB
高等数学习题及解答极限连续与导数Word文档格式.docx
《高等数学习题及解答极限连续与导数Word文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高等数学习题及解答极限连续与导数Word文档格式.docx(42页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
⎨⎬
⎩1,
<
0
⎭
4:
用极限定义证明:
lim
n→∞
n
1
n
1
(不作要求)
1111
因为
∀ω有
|-
1|
=<
ω
成立,只要
>
取
N=[],则当
n>
N
时,就有
nnωω
11n
有定义变知
lim=
成立
nnn→∞
5:
求下列数列的极限
n→∞
3n
12
22
+
n3
n2
(3)
(4)
lim
(1)
2n
3n
又
x→∞
2n
所以
≤
故:
=0
(2)由于
n(n
1)(2n
1)
)
n3
6
又因为:
lim(1+
)(2n
)
=,所以:
6nn3n→∞
(3)因为:
所以:
n2
3
因为:
,并且
lim(1+
故由夹逼原理得
6:
由于
7:
8:
9:
习题三无穷小与无穷大、极限运算法则及两个重要极限
基本理论层次
同理:
(3),(4)
习题四
无穷小的比较、函数的连续及性质
(1)
(2)
第二章一元微分学及应用
习题一导数及求导法则、反函数及复合函数的导数
.
1.设f(x)=
⎨
试求常数a,
b,
使f(x)在x=1处可导。
⎧⎪ax
1,
⎪⎩-
x2
bx,
首先必须f(x)在x=1处连续,f(1-0)=limf(x)=lim(-x
+bx)=b-1
f(1+0)=limf(x)=lim(ax2
+1)=a+1,由f(1-0)=f(1+0)f
(1)得b-1=a+1,即b=a+2
x)
(1)-x2
bx
(a
1)-(
1){x
1)}
-
(1)ax2
1)
由f
'
(1)得a
0,
从而b=2。
+-
2.
求函数y=x+x
x
0)
设x
e
ln
所以
⎛1
⎫
⎝x
((x
)'
ln
(ln
⎛
3.
3x
2
求f
(n)
(x
111
1)(x
2)x
2x
⎝
⎫(n)
-1
-1
⎪
2)2
1)2
⎛1-1⎫⎛
(-1)2
2(-1)2
⎝
1⎝⎭⎝⎭
由数学归纳法可得出:
⎡
(-1)n
⋅
n!
n!
⎤
-⎥
⎛
4.求下面的参数方程所确定的函数的导数。
x=
⎨
3at
⎪⎩1+t2
求
dy
dt
t
=2
==又因为
1+t2
(t
==
6at
3
6a2t
6at
(1
)(1
2a
)-
2at
2t
dy
(6a
6a233
3t
==.
dx2a
21
习题二
导数的运算、高阶导数、隐函数及参数方程确定的
函数的导数、函数的微分
略
习题三中值定理罗必达法则
泰勒公式
2.
3.
4
5.]
6.
7.
习题四导数的应用
1.
综合练习题
一、填空题
x→0x
2、设
(3)
,则
h→0
h)
2h
______________
。
(2
(2)
h
_____________
4、已知
cos
π
_______________________
5、已知
,则当经
=1、
=1
时,
dx
_______________
6、
xe
2)
7、如果
ax(a
0)
是
的切线,则
a
=。
__________
8、若
为奇函数,
且,则
(-
00
9、
x(
2)(
n)
(0)
_________________
x→0
10、
ln(1+
3-
y'
11、设
____________________
___________
12、设
tan
13、设
_________________________
14、设函数
由方程
xy
2ln
4
所确定,则曲线
在点(1,1)
处的切线方程是
______________________
cos
⎪⎩0
≠
,其导数在
处连续,则
λ
的取值范围是
16、知曲线
x3
3a
与
轴相切,则
可以通过
表示为
____________
二、选择题。
17、设
可导,
F
x)(1+
sin
在
处可导的()。
A充分了必要条件,B充分但非必要条件,
C必要条件但非充分条件,D既非充分条件又非必要条件。
⎪⎩
处
A左右导数均存在,B左导数存在,右导数不存在,
C左导数不存在,右导数存在,D左右导数均不存在。
(1)-
(1-
x→02
在点
(5,
(5))
处的切线斜率为()
A1
,B0,C–10,D–2。
20、设函数
1)a
⎧1
⎪
⎩
则实常数
当
处可导时必满足(
Aa
;
B-1
C0
1;
Da
⎧
1x
21、已知
ϕ
⎨,且
存在,则常数
a,
的值为()
⎩ax
bx
2,
1;
Ba
-1,b
5;
Ca
4,
-5;
3,b
-3.
22、函数
(-∞,
+∞)
上处处可导,且有
,此外,对任何的实数
x,
恒有
y)
,那么
()
Ae
;
Bx;
C2
Dx
1。
23、已知函数
具有任何阶导数,且
x)]2
,则当
为大于
的正整数时,
的
阶导数
是()
An!
x)]n+1
Bn[
C[
x)]2n
Dn!
24、若函数
有
∆x
→
时,该函数在
处的微分
的(
A等价无穷小;
B同阶但不等价的无穷小;
C低阶无穷小;
D高阶无穷小。
25、设曲线
和
在它们交点处两切线的夹角为
=()
A-1;
B1;
C2;
D3。
⎩te
⎧x
2t
1d
y
26、设由方程组
⎨确定了
的函数,则
dx2
=0
A
D
e2
2e2
2e
一、
填空题的答案
1、2
(a)2、-1
3、
4、35、-1
21
6、6+2ln27、
8、
9、n!
11、112、
sec
13、
15、
216、
4a
6
二、选择题答案:
17、A18、B19、D20、A
21、C22、C23、A24、B
25、D26、B
三、综合题:
27、求曲线
cux
上与直线
垂直的切线方程。
剖析:
求曲线的切线议程关键有垂点,一是求切点,二是求
切线斜线。
设切点为
k
|
则点
.
处的切线斜度为
依题意知所求切线()坐
垂直,从而
利
切点为
(1、0)
切线()为
1.
故所求切线方程为
1即:
设
则
→0
tc
9、如果
为偶函数,且
存在证明
因为
为偶函数,所以
从而
(0)
∴
:
28、讨函数
⎪x
sin
处方程连续性与可得
y(0)
,所以函数
处连续
x→0x→0x
又
x→0x
0x→0
故函数
处可导、值
|
x
29、已知
⎩-
x=0
(0).及f
(0)是否存在
解:
x→0+
x→0-
(0)不存在
⎩
x求f
当x
0时.
x→0+x→0+
s
⎧c
o
31、证明:
双曲线
上往一点处切线与两坐标轴构成的
三角形的面积都等于
为双曲线
上的一点,则该点处切线的斜
率为
=-
令
轴上的截距为
令
s
=|
|=|
.2|=
32、设
求
(e
(sin
xx
11
(sec
2)(-)
sin+
cos(-
xx
2xxx
33、设
(求
2dx
(u),
u
(u)()'
(u)
dx3x
2(3x
(arcsin
u)12
(3x
212
arcsin()
⋅
23x
从而
|=
3arcsin1
dxx=02
34、设
arctan
,讨论
x)在点x
处连续性
本题需先求
的表达式,再讨论
处的
连续性
0时f
arctan
12
(
从而:
由于
lim⎡arctan
x→0x→0
⎣
∴
0处连续
⎤
35、
设f
x)可导,
求下列函数y的导数
(cos
xf
x)(sin
x)'
x)(cos
x)2
x[f
)]
37、设
2tx
x→∞x
提示:
te
答案:
)e
38、求
arcsin2t
导数
=1
(2t
2(1
=12(1
⎧2
⎪-
39、
x),
f二阶可导,
求y
解
(u)u
5
40、设
=1
(n)
此类函数直接求导,很难找出规律,先对
5
6分解因式,
再将又拆项,
而后求导
2)(
3)
-+
2(
22
=-
3(
3.23.2
4(
(-1)
n+1(
n+1
41、求下列函数的
阶导数的一般表达式
(1)、
sin(2
cos(2
2π
⎡(n
1)π
⎣⎥
(2)、
y(4)
x3
y(5)
x4
(n
2)!
2,3
xn-1
(3)、
x)e
==
44、求曲线
⎧x
cos3
t
dy3sin
dx3cos
上对应于
π
点处的法线方程
K
切
则K
法
=-
当t
8
3(
8
2dx
+cos
yy
dy2
dx2
d
y-
2(2
y)'
2sin
4sin
==-=
dx(2
2(2
2(cos
46、求
l
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高等数学 习题 解答 极限 连续 导数