淮阴中学高三数学测试教师版.docx
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淮阴中学高三数学测试教师版
高三数学测试
命题人:
审核人:
时间:
2020年8月
注意事项:
1.本试卷满分为150分,考试时间为120分钟。
2.答题前,请务必将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题纸上。
3.请用0.5毫米黑色签字笔按题号在答题纸指定区域作答,在其他位置作答一律无效。
一、单项选择题:
(每题5分,共40分)
1.函数y=xcosx+sinx在区间[-π,π]的图像大致为()
【答案】A
解:
y=xcosx+sinx为奇函数,且关于原点对称,∴排除选项C、D;当0
2
2.若把单词“error”的字母顺序写错了,则可能出现的错误写法的种类为()
A.17B.18C.19D.20
【答案】C
5
解:
A2-1=19.
⎛y2⎫533
3.çx+
⎝
⎪(x+y)的展开式中xyx⎭
的系数为()
A.5B.10C.15D.20
【答案】C
5
5
∴⋅
2
解:
(x+y)5展开式中含x2y3的项为C3x2y3=10x2y3,x⋅10x2y3=10x3y3;
(x+
y)5
展开式中含x4
y的项为C1x4y
=5x4
y,y5x4yx
=5x3y3
10x3y3+5x3y3=15x3y3,所以x3y3的系数为15.选C
4.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:
︒C)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,,20)得到下面的散点图:
由此散点图,在10︒C至40︒C之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()
A.y=a+bx
B.
y=a+bx2
C.
y=a+bex
D.
y=a+blnx
【答案】D
解:
观察所给散点图的走向,故本题选D.
5.设函数f(x)为R上的增函数,a、b∈R,则a+b≥0是f(a)+f(b)≥
f(-a)+f(-b)的()
A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.充分不必要条件
【答案】C
解:
先判断充分性:
当
a+b≥0时,a≥-b由
f(x)为R上单调递增,
f(a)≥f(-b),
-a≤b∴f(b)≥
f(-a),∴f(a)+f(b)≥
f(-a)+f(-b),∴a+b≥0是f(a)+f(b)≥
f(-a)+f(-b)
的充分条件;
在判断必要性:
f(a)+f(b)≥
f(-a)+f(-b),当a+b<0时,a<-b,b<-a,则f(a) f(b) 综上: a+b≥0是f(a)+f(b)≥ f(-a)+f(-b)矛盾,∴a+b≥0,∴必要条件; f(-a)+f(-b)的充要条件,选C. 6.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游,没人只去一个景点,设事件A为“4个人去的景点不完全相同”,事件B为“小赵独自去一个景点”,则P(BA)=() A.3B.4C.5D.6 7 【答案】A 解: P(BA)= C1⋅33 4= 44-4 777 3,故本题选A. 7 7.已知函数 f(x)是定义在R上的奇函数,且 f(x+4)=-f(x),当x∈[-2,0)时, f(x)=ex,则 f(2018)+f(2021)+f(2022)等于() A.1B.-1 C.-e D.e ee 【答案】A 解: f(x+4)=-f(x),f(x)的周期为8,2016可以被8整除,f(2018)=f (2)=-f(-2)=-e-2; f(2021)= f(5)= f(1+4)=-f (1)= f(-1)=e-1;f(2022)= f(6)= f(-2)=e-2, ∴f(2018)+f(2021)+f(2022)=e-1.故本题选A. 8.已知定义在R上的函数y= f(x)>2ex的解集为() f(x)的导函数为 f'(x),满足 f(x)> f'(x),且 f(0)=2,则不等式 A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,2) D.(2,+∞) 【答案】A解: f(x)> f'(x),∴f(x)-f'(x)>0 令g(x)= f(x) ex ,g'(x)= f'(x)ex-f(x)ex (ex)2= f'(x)-f(x)<0 ex ∴g(x)在R上单调递减 g(0)= f(0)=2,g(x)>2,则g(x)>g (2),则x<0,故本题选A. e0 二、多选题: (选错不得分,漏选得3分,每题5分,共20分) 9. 1+x 对于函数f(x)= x (x∈R),下列判断正确的是() A.f(-x+1)+f(x-1)=0 B.当m∈(0,1)时,方程f(x)=m有唯一实数解 f(x1)+f(-x2) C.函数f(x)的值域为(-∞,+∞) D.∀x1≠x2, >0 x1-x2 1+x 【答案】ABD解: f(x)=x ,f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数,A正确; ⎧x,x≥0 f(x)=⎪x+1,作出f(x)的草图: ⎨x ⎪,x<0 ⎩1-x ∴f(x)=m(m∈(0,1))有唯一根,故B正确; f(x)的值域为(-1,1),从错误, f(x)在R上单调递增,则 f(x1)-f(x2)>0,即 x1-x2 f(x1)+f(-x2)>0,故D正确; x1-x2 故本题选ABD. 10.设f(x)=x2+ax+b,a,b∈R,若f(x)=x无实根,则下列结论成立的有() A.当x>0时,f(x)>0 C.∀x∈R,f(f(x))>x B.∀x∈R,f(x)>x D.∃x∈R,使得f(f(x))=x成立 【答案】ABC 解: f(x)=x无实根,即x2+(a-1)x+b=0无实根 y=x2+(a-1)x+b开口向上无零点 ∴y>0在R上恒成立,即x2+ax+b>x,∴B正确; x>0时,x2+ax+b>x>0,即f(x)>0,∴A正确; f(x)>x,则f(f(x))>f(x)>x,∴C正确;D错误 故本题选ABC. 11.如图,已知直线y=kx+m与曲线y= f(x)相切于两点,则F(x)= f(x)-kx有 () A.1个极大值点,2个极小值点B.2个零点 C.0个零点D.2个极小值点,无极大值点 【答案】AC 解: 直线y=kx+m与曲线y= f(x)相切于两点, ∴kx+m= f(x)有两根,且f(x)≥kx+m,由图像可知m>0 ∴f(x)>kx,即F(x)=f(x)-kx>0,则函数F(x)无零点,∴C正确; 函数f(x)有1个极大值点,2个极小值点,则F'(x)= f'(x)-k,结合图像F(x)= f(x)-kx有1个极大 值点,2个极小值点,∴A正确;故本题选AC. 12.已知函数f(x)=xlnx,若0 A.x2f(x1) f(x1)-f(x2) B.x1+f(x1) 1 C.<0 x1-x2 D.当x>时,x1f(x1)+x2f(x2)>2x2f(x1) e 【答案】AD 解: f'(x)=lnx+1,令f'(x)=0,x=1,f(x)在⎛0,1⎫上单调递减,在⎛1,+∞⎫上单调递增 ç⎪ç⎪ e e e⎝⎭⎝⎭ A选项: x f(x) f(x)⇔ f(x1)< f(x2)⇔lnx ⇔0 2112 x1x2 1212 B选项: 令g(x)=x+f(x)=x+xlnx,g'(x)=lnx+2,令g'(x)=0,x=1 e2 ,g(x)在⎛0, ç ⎝ 1⎫上单 e2⎪ ⎭ çe2 调递减,在⎛1 ⎝ +∞⎫上单调递增,∴g(x)在(0,+∞)无单调性,错误; ⎪ ⎭ C选项: f(x)在(0,+∞)无单调性,错误; D选项: x>1时,f'(x)=lnx+1>0,f(x)单调递增 e ∴(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]=x1f(x1)+x2f(x2)-x2f(x1)-x1f(x2)>0 ∴x1f(x1)+x2f(x2)>x2f(x1)+x1f(x2) x2f(x1) 三、填空题: (每题5分,共20分) 13.曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为. 【答案】y=2x 解: 设切点为(x0 lnx0 +x0 +1),y'=1+1,k= x 1+1=2⇒xx0 =1,∴切点为(1,2) 0 切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x. 14.已知A为抛物线C: y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则 p=. 【答案】6 解: 点A到C的焦点的距离为12,则点A到C的准线的距离为12,又点A到y轴的距离为9,∴y轴与准线的距离为3,∴p=3,∴p=6. 2 15.某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正工作,则部件正常工 作,设三个电子元件的使用寿命(单位: 小时)均服从正态分布N(1000,502),且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为. 【答案】3 8 解: 三个电子元件的使用寿命(单位: 小时)均服从正态分布N(1000,502), ∴三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为P=1 2 记“超过1000小时元件1、元件2至少有一个正常”的事件为A;“超过1000小时元件3正常”的事件为B; “该部件的使用寿命超过1000小时”的事件为C. P(A)=1-(1-P2)=3;P(B)=1;P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=3⨯1=3. 42428 16.一个盒子里有2个红1个绿2个黄球,从盒子中随机取球,每次拿一个,不放回,拿出红球即停,设取 球停止时拿出黄球的个数为随机变量ξ,则P(ξ=0)=;E(ξ)=. 【答案】1;2 23 解: P(ξ=0)=2+1⨯2=1;P(ξ=1)=2⨯2+2⨯1⨯2+1⨯2⨯2=1;P(ξ=2)=1-1-1=1 5542 54543 5433 236 E(ξ)=0⨯1+1⨯1+2⨯1=2. 2363 四、解答题: 本大题共6小题.请在答题卡指定的区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 17.(本题满分10分)记函数f(x)=lg(1-ax2)的定义域、值域分别为集合A,B. (1)当a=1时,求AB; (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,求实数a的取值范围. 解: (1)当a=1时, f(x)=lg(1-x2),由1-x2>0,得A=(-1,1). 又0<1-x2≤1,所以B=(-∞,0].故AB=(-1,0] (2)“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件⇔B⊂A ①当a=0时,A=R, B={0},适合题意; ②当a<0时,A=R,B=[0,+∞),适合题意; ⎛11⎫ ③当a>0时,A=ç-,⎪,B=(-∞,0]不适合题意. ⎝aa⎭ 综上所述,实数a的取值范围是(-∞,0]. x2+y2=(>>) 18.(本题满分12分)设椭圆C: a2 1ab b2 0的左、右焦点分别为F1,F2,下顶点为A,O为 坐标原点,点O到直线AF的距离为2,∆AFF 为等腰直角三角形. 2212 (1)求椭圆C的标准方程; (2)若倾斜角为45︒的直线经过椭圆C的右焦点F2,且与椭圆C交于M,N两点(M点在N点的上方), 求线段MF2与NF2的长度之比. 解: (1)由题意可知;直线AF的方程为x+ y=1,即-bx+cy+bc=0,则bc =bc=2, b2+c2 2c-ba2 因为∆AF1F2为等腰直角三角形,所以b=c, 又a2=b2+c2,可解得a= 2,b=1, c=1, 所以椭圆C的标准方程为 ⎪⎧y=x-1 x2+2 y 2 =1. 1MF1 (2)联立⎨ ⎪⎩x2+2y2=2 得3y2+2y-1=0,所y=-1或 3 所以2=. NF23 19.(本题满分12分)班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决定从本班24名女同学,18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析. (1)如果按照性别比列分层抽样,可以得到多少个不同的样本? (写出算式即可,不必计算出结果) (2)如果随机抽取7名同学的数学,物理成立(单位: 分)对应如下表: 学生序号i 1 2 3 4 5 6 7 数学成绩xi 60 65 70 75 85 87 90 物理成绩yi 70 77 80 85 90 86 93 ①若规定85分以上(包括85分)为优秀,从这7名同学中抽取3名同学,记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望; ②根据上表数据,求梳理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程(系数精确到0.01);若班上某位同学的数学成绩为96分,预测该同学的物理成绩为多少分? n ∑(x-x)(y -y) 附: 线性回归方程yˆ=bx+a,其中b ii =i=1,a n =y-bx,263≈ 0.65 ∑(xi i=1 -x)2 406 x y ∑()2 7 xi-x i=1 ∑(x-x)(y-y) 7 ii i=1 76 83 812 526 解: (1)按照性别比列分层抽样,可以得到女同学7⨯4=4人,男同学3人,可以得到C4C3个不同的样 72418 本. (2)①7名同学中数学,物理成绩均为优秀的人数为3个 1 34;P 2 34;P 3 3. ξ的取值可以为0,1,2,3 P 7 7 7 (ξ= )=C3=4 (ξ= )=C1⋅C3=18 (ξ= )=C2⋅C1=12 (ξ= )=C13=1 C 0 4;P 7 335 335 335 335 C C C 故ξ的分布列如下: ξ 0 1 2 3 P 4 35 18 35 12 35 1 35 ξ的数学期望E(ξ)=0⨯4+1⨯18+2⨯12+3⨯1 =45=9. 3535 3535 357 ②b=526=263≈0.65,a=y-bx=83-0.65⨯76=33.6,∴yˆ=0.65x+33.6 812406 当x=96时,yˆ=96,预测该同学的物理成绩为96分. 20.(本题满分12分)已知函数y= 函数f(x)的局部对称点. f(x),若在定义域内存在x0,使得f(-x0)=-f(x0)成立,则称x0为 (1)证明: 函数f(x)=2x-1在区间[-1,2]内必有局部对称点; 2-x⋅2x (2)若函数f(x)=4x-m⋅2x+1+m2-3在R上有局部对称点,求实数m的取值范围.解: (1)证明: 由f(-x)=-f(x)得2-x-1=-(2x-1)⇒2-x+2x=2,而2-x+2x≥2且仅当2-x=2x即x=0时取“=” ∴存在x0=0∈[-1,2]使f(-x0)=-f(x0) 故函数f(x)=2x-1在区间[-1,2]内必有局部对称点. (2)f(x)=4x-m⋅2x+1+m2-3在R上有局部对称点, ∴存在x使得f(-x)=-f(x)⇒4-x-m⋅2-x+1+m2-3=-(4x-m⋅2x+1+m2-3) ⇒4x+4-x-2m(2-x+2x)+2m2-6=0 令2-x+2x=t≥2,∴t2-2-2mt+2m3-6=0⇒t2-2mt+2m3-8=0在t∈[2,+∞)上有解令g(t)=t2-2mt+2m3-8 =2,当 2 3 若m≥2,则∆=4m2-8m2+32≥0即可⇒2≤m≤2; 若m<2,则只需g (2)≤0即可⇒1- 3 ≤m≤1+ ,∴1- 3 ≤m<2 3 综上: m的取值范围为[1-,22]. x 21.(本题满分12分)已知函数f(x)=(x-k)2ek. (1)求f(x)的单调区间; (2)若对∀x∈(0,+∞),都有f(x)≤1,求k的取值范围. e x )() 1()2 ()x⎛ x-k⎫ ()x⎛x⎫ 解: (1)f x=2x-kek+ek x k x-k =x-kekç2+ ⎝ ⎪=x-kekç k⎭⎝k +1⎪ ⎭ ①当k>0时,令f'(x)=0,得x1=k,x2=-k,f(x)在(-∞,-k)上单调递增;在(-k,k)上单调递减;在(k,+∞)上单调递增; ②当k<0时,得f(x)在(-∞,k)上单调递减;在(k,-k)上单调递增;在(-k,+∞)上单调递减. 1 (2)由题意知f(x)max≤ e 当k=0时,由 (1)知,f(x)在(0,k)上单调递减;在(k,+∞)上单调递增 k+1 () 1+11 此时注意到f k+1 =ek =ek>e> 这与题设矛盾,故舍去 e 当k<0时,由 (1)知f(x)在(0,-k)上单调递增;在(-k,+∞)上单调递减,∴f(x)max= 故只需f(-k)=4k2⋅e-1≤1⇒-1≤k<0. f(-k) e2 ⎭ 综上: k的取值范围为⎡-1,0⎫. ⎣⎢2⎪ 22.(本题满分12分)设函数f(x)=lnx-a(x-1)ex,其中0 e (1)证明: f(x)恰有两个零点; (2)设x0为f(x)的极值点,x1为f(x)的零点,且x1>x0,证明3x0-x1>2. 解: (1)f'(x)=1-aex-a(x-1)ex=1-axex x 令g(x)=1-axex,g'(x)=-1 xx2 x -a(x+1)ex<0 ()() ()⎛1⎫ ∴gx在0,+∞ 上单调递减,注意到
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