凸函数的性质及其应用.pdf
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第13卷1993年第3期南都学坛(自然科学版)A以川emieForulnofNanDu(naturlacsience川ition)Vol.13.No.3,1993凸函数的性质及其应用宁新民摘要凸函数走一类应用范日很广的函数.本文书给出凸函数的一些运葬性质和分析性质.并由J不子式导出了分析中一些t要的不等式。
l凸函数的定义设函数f(幼定义在区间I上,对V:
:
el,及久e(0,l)有:
l)若J(肠,+(l一久)介)蕊灯(:
)+(l一人)f(:
),则称f(:
)为I上的凸函数.2)若f(七,+(l一久):
)灯(:
)+(l一久)f(x:
),则称f(:
)为,上的凹函数。
注:
若将式中的不等号“(,(“)”)换成严格的不等号“”),则称f(z)为I上的严格凸(凹)函数。
特别:
当、一告时,有,切”2一J”J如果f(三专至)、如果,户告些)、f(:
)+f(x:
)2则称了(:
)为I上的凸函数。
f(公,)+f(劣2)2,则称f(幻为I上的凹函数。
又特别取人=久,1一久=花,故久,十久:
=1,有10如果f。
:
+凡:
)镇久,f(:
)+瓜f(:
2),则称f(:
)为I上的凸函数。
20如果f。
:
+入x:
)久,f(x,)+瓜f(:
2),则称f(:
)为I上的凹函数。
2凸函数的一些运算性质l)若f(幻是I上的凸函数,对任意常数。
笋0,l。
如果。
0,则cf(x)也是I上的凸函数。
2。
如果co,用。
乘上不等式得:
cj(又,:
.十久2x2)镇e久,f(:
)十凡f(:
2)=久.ef(x:
)+凡cf(:
)故。
fx()是I上的凸函数。
若。
0(=1,2,的则,
(二)艺舫(:
)证明:
由于了(:
)是I也是I上的凸函数,上的凸函数,有f(久,:
+凡:
)(人,f(二.)+祝f(22)由于价O,两边同乘以伪相加得:
艺舫(;:
+凡z,)(万。
久:
r(:
)+灰了(:
)=、.艺c了(:
)+凡叉c了(:
)即:
F(久.:
.+花:
)蕊久,尸(:
)+久:
F(二:
)所以,双:
)=艺。
了(:
)也是上的凸函数。
3)若f(z)与夕
(二)都是I上非负,递增(递减)的凸函数,则F(,)=f(:
)夕(x)也是I上的非负、递增(递减)的凸函数。
证明:
由于了(:
)与叮(z)非负,显然F(幼也非负,再由了(幻与夕(劝的递增(递减)性,也易证F(幻的递增(递减)性。
下证尸(幻也是I上的凸函数。
设V二:
:
任了,和久,从O,且久,+人二l,因为尸(儿二:
+入勿)=f(久,:
.+花:
)g(久.劣:
+花劣:
)蕊久,f(:
)+久:
f(二:
)以,叮(:
)十花夕(劣:
)”对f(劣.)g(公,)+久,祝叮(:
)夕(:
)+f(介)g(公:
)+滩f(才,),(介)又由叮(:
2)一f(二,)g(:
)一g(二,)0得f(x.)夕(劣2)十f(:
2)夕(二,)(f(z:
)夕(公,)+f(劣2)夕(:
)所以.F以,:
+戈:
2)成对f(:
1为(:
)十人丙叮(二:
)夕(:
2)+f(:
2为(:
)+久盖f(二:
)夕(:
)一久,(久:
+久2)f(x,)g(:
)十灰(久:
+戈)了(公:
)g(:
2)久:
F(x:
)十瓜尸(劣:
)所以尸(幻也是I上的凸函数。
将性质3推广,有若关(:
)(落=负、递增凸函数。
4)若f(:
)数。
l,2,一,:
)是上的非负,递增凸函数,则(F:
)二n了(:
)也是上的非是常增的凸函数,。
甲(幻也是凸函数,则复合函数f中(:
)亦是凸函证明:
由于甲(:
)是凸函数,有尹以,:
+凡:
)(久.尹(:
)+祝甲(:
2),又f(:
)是常增的凸函数。
所以,f,(久:
+祝:
)(f以:
中(z,)+人呻(:
)(人:
f帅(:
.)+久:
f甲(:
)即:
了,(:
)亦是凸函数。
注:
对于凹函数也有类似于上面的四个运算性质,为简便起见,下面我们仍然只对凸函数进行讨论。
3凸函擞的几个分析性质l)若f(约是I上的凸函数,则f(:
)在I内的任意闭子区间上有界.证明:
设。
刃为I内的任意闭子区间,则对任意:
ea,刃,存在O人l,使得:
=肠+l(一幻夕,由凸函数的定义知:
j(:
),f(加+(l一久冲)叮(a)+(l一久)f切)镇amxf(a),f印)因此,f(:
)在.20。
声j上有上界,设其上界为M。
再证对任意fx()在a,那上有界:
x:
声令t:
一弄(。
二刀),则f碑冬尸)一f冬(、旦契+)乙乙乙la十刀八、/1,a十刀、.1,a十j/、_,1,产,、十下,气一茸犷一一夕J尧之下户J气一一不一寸习十,育J气一万一一勺之泛二下目气J以少十胜,乙乙乙乙乙乙乙=ro.、:
、。
a+刀、沙!
以小不夕少乙J、一了一一性经“综上所述,二(j(幻镇M,xea,那cl2)若f(:
)为I上的凸函数,则对任意x:
:
x:
任I,且为x,:
有f(公:
)一f(么,)/f(x3)一f(:
.)/f(:
)一f(恋2一下荞不不一、一万=万一、一不不不尸一证明:
令“,一器全,凡二1一为芝-一二互,故众23不l凡为+札跳,由凸函数的定义,有f(x:
)(又:
f(x,)+几Zf(:
3)故f(x:
)一f(x,)(久:
一l)f(:
)+抽f(:
3)f(劣3)一f(xZ)(l一抽)f(x3)一久If(x,)久:
(f(艺3)一f(:
)久:
(f(:
)一f(公:
)Z丁艺劣一一些,灰艺l一l一击代入上面两式得一一一久以f(劣:
)一f(劣:
)/f(:
3)一f(劣1)/f(:
)一f(:
2)一不二不一溉一又二不一、一万二不厂一3)若了(幼是I上的凸函数,则f(幼在I上连续。
证明:
对任意:
任1.存在闭区间。
刃Cl,使得:
任a,刃,令l:
l0时,有fx()一了(a),/_,_、,/_、,人_已不一丁二石一一、J气万丫已封一J、封诀口二f(刀)一f(x)刀一x当:
0时,有zf(夕)一f(z)刀一公镇f(x十幻一f(幻簇:
f(:
)一f(a)Z一a。
u,*.,.人、,、,/.人,_,f(x)一f(a),.f(刀)一f(幼,因此,有fx(+x)一f(劝!
镇:
!
max川一,去一一牛二二,.J.J、-一一、一,一一一一”x一a”方一劣根据分析性质,不等式右端“。
ax”下是有界变量。
因此,当:
一0时,有f(x+:
)一f(:
)!
一0所以,f(x)在点劣连续,由于x是I上任意一点,从而f(:
)在I上连续。
注:
当f(:
)是闭区间。
的上的凸函数时,只能得到在开区间a(,b)内连续,而不能得出fx()在x二。
处右连续,在x=b处左连续的结论。
例如:
定义在一l,l上的凸函数:
f(幼一_气2在(一!
)I内连续,但在两端点劣二士l4J。
招”不等式及其应用一lx0,(落=1,2,。
)万入二,则有j(艺入z)簇艺盯
(二)
(1)若f是,上的凹函数,对v:
.任及入“,(一,“,的,且习入一,则有二(冬杯,)互“艺户
(2)不等式
(1)和
(2)中,若令入=二:
扒勿+护:
十+外(i=l,2,n)其中户O,(1,2,。
)则eJ,8e。
不等式(l)和
(2)分别变为:
f全;,价宝,镇艺;f(“)(3)艺,.艺;:
xE,(x)七书、一、)匕气一一一艺扒艺扒(4).2)邵撇不等式的应用将J四se:
不等式(3)或臼)应用于一些凸函数或凹函数,很容易得到分析中常用的一些重要不等式,现举例如下:
(l)由函数f(x)一Ixnx(0)导出的不等式由于f即(:
)一告0,(落=1,2,。
)万入二,则有j(艺入z)簇艺盯
(二)
(1)若f是,上的凹函数,对v:
.任及入“,(一,“,的,且习入一,则有二(冬杯,)互“艺户
(2)不等式
(1)和
(2)中,若令入=二:
扒勿+护:
十+外(i=l,2,n)其中户O,(1,2,。
)则eJ,8e。
不等式(l)和
(2)分别变为:
f全;,价宝,镇艺;f(“)(3)艺,.艺;:
xE,(x)七书、一、)匕气一一一艺扒艺扒(4).2)邵撇不等式的应用将J四se:
不等式(3)或臼)应用于一些凸函数或凹函数,很容易得到分析中常用的一些重要不等式,现举例如下:
(l)由函数f(x)一Ixnx(0)导出的不等式由于f即(:
)一告。
镇兴二2(a)+:
、2(。
)+粤l了灰面不丽丽牙了万、:
。
乙忍“君一山证:
(j)有a.t。
1一1im尸x(t)。
又。
、.二(.)!
、奋:
二(。
:
)至sup召x(t)!
2=a6摹sup犬2(t),对此式,令。
得证。
a成亡(乙l一产成(11)由l第127页定理3知(X(t),t任a,b均方连续,所以由l第119页定理彝、一二1,_,.、_、r。
、二_,X(t+h)一X(O、,.有lim今fEXZ(t+h)一EXZ(云)=limE二二二二二二乙一-二二二X(乙+左)+X(t)J石6人、一一“一一一一、一“飞二二石一一h2忍x,(t)x(z)。
同理,由。
第118页定理7知E毛X(t)X(t)是t的连续函数。
所以有:
2()一。
2()一上2:
*,()*()一XEZ(“)一。
2()一fZ“X,()X()一移项得证。
(115),(iv),(v)可由(i),(51)容易推出,不赘述。
参考文献幻复旦大学.概率论第三册随机过程,231.I.G迈rnan,A.V.kSorob司,The公naldL。
(又,hn。
MeasuerTheory,高等教育出版社.1987Th印ryofSrocbst二eProc已尧es1.SPrin罗r,1974】、万ron,!
980
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- 函数 性质 及其 应用
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