三年级奥数-等差数列.docx
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小学三年级奥数专项练题《等差数列
(一)》
【课前】(★)
请观察下面的数列,找规律填数字。
①5,9,13,17,21,_____;
②7,11,15,19,_____,27,_____,35;
③200,180,160,140,_____;
④102,92,82,72,____,52。
【知识要点屋】
1.定义:
如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个数,这个数列就叫做等差数列。
2.特点:
①相邻两项差值相等;②要么递增,要么递减。
3.名词:
公差,首项,末项,项数
5 ,9,13,17,21,25
(★★★)
⑴一个等差数列共有15项,每一项都比它的前一项大3,它的首项是4,那么末项是
______;
⑵一个等差数列共有13项,每一项都比它的前一项小5,它的第1项是121,那么它的末项是_______。
(★★★)
一个等差数列的首项是12,第20项等于392,那么这个等差数列的公差=_____;第
19项=______,212是这个数列的第_____项。
【铺垫】
(★★)
计算下面的数列和:
3+7+11+15+19+23+27+31=_____。
(★★★)
计算下列各题
⑴1+2+3+4+„+23+24+25=_____;
⑵1+5+9+13+„+33+37+41=_____。
1、在10和40之间插入四个数,使得这六个数构成一个等差数列。
那么应插入哪些数?
2、一个等差数列的首项是6,第8项是55,公差是( )。
1、在10和40之间插入四个数,使得这六个数构成一个等差数列。
那么应插入哪些数?
解答:
d=(40-10)÷(4+1)=6,插入的数是:
16、22、28、34。
2、一个等差数列的首项是6,第8项是55,公差是( )。
解答:
d=(55-6)÷(8-1)=7
(1)2、4、6、8、……、28、30这个等差数列有( )项。
(2)2、8、14、20、……62这个数列共有( )项。
(1)2、4、6、8、……、28、30这个等差数列有( )项。
解答:
(30-2)÷2+1=15
(2)2、8、14、20、……62这个数列共有( )项。
解答:
(62-2)÷6+1=11
(1)11、14、17、20、……、95、98这个等差数列的项数是( )。
(2)今天是周日,再过78天是周几?
(1)11、14、17、20、……、95、98这个等差数列的项数是( )。
解答:
(98-11)÷3+1=30
(2)今天是周日,再过78天是周几?
解答:
(78+1)÷7=11……2,所以是周一。
在小学数学竞赛中,常出现一类有规律的数列求和问题。
在三年级我们已经介绍过高斯的故事,他之所以算得快,算得准确,就在于他善于观察,发现了等差数列求和的规律。
1+2+3+?
+98+99+100=(1+100)+(2+99)+?
+(50+51)=101×50,即(100+1)×(100÷2)=101×50=5050
按一定次序排列的一列数叫做数列。
数列中的数称为项,第一个数叫第一项,又叫首项;第二个数叫第二项;最后一个数叫末项。
如果一个数列从第二项开始,每一项与它前一项的差都相等,就称这个数列为等差数列。
后项与前项的差就叫做这个数列的公差。
如:
1,2,3,4,?
是等差数列,公差是1;
1,3,5,7,?
是等差数列,公差是2;
5,10,15,20,?
是等差数列,公差是5.
由高斯的巧算可知,在等差数列中,由如下规律:
项数=(末项-首项)÷公差+1;
第几项=首项+(项数-1)×公差;
总和=(首项+末项)×项数÷2.
本讲用各种实例展示了等差数列的广泛应用价值。
我们要求同学们注意灵活应用这三个公式。
【例题精讲】例1
计算下面各题:
(1)2+5+8+?
+23+26+29;
(2)(2+4+6+?
+100)-(1+3+5+?
+99)。
解
(1)这是一个公差为3,首项为2,末项为29,项数为(29-2)÷3+1=10的等差数列求和。
原式=(2+29)×10÷2=31×10÷2=155
(2)解法一:
原式=(2+100)×50÷2-(1+99)×50÷2=2550-2500=50;解法二:
原式=(2-1)+(4-3)+(6-5)+?
+(100-99)=1×50=50.
说明两种解法相比较,解法一直套着公式,平平淡淡;
解法二从整体上把握了题目的运算结构和数字特点,运用交换律和结合律把原式转化成了整齐的结构“1+1+?
+1”,从而解得更巧、更好。
例2计算:
1÷2003+2÷2003+3÷2003+?
+2001÷2003+2002÷2003+2003÷2003.分析:
如果按照原式的顺序,先算各个商,再求和,既繁又难。
由于除数都相同,被除数组成一个等差数列:
1,2,3,4,?
,2001,2002,2003.所以可根据除法的运算性质,先求全部被除数的和,再求商。
解原式=(1+2+3+?
+2002+2003)÷2003=(1+2003)×2003÷2÷2003=1002.说明此题解法巧在根据题目特点,运用除法性质进行转化。
计算中又应用乘除混合运算的简化运算,使整个解答显得简捷明快。
例3
某小学举办“迎春杯”数学竞赛,规定前十五名可以获奖。
比赛结果第一名1人,第二名并列2人,第三名并列3人?
?
第十五名并列15人。
用最简便方法计算出得奖的一共又多少人?
分析:
通过审题可知,各个名次的获奖人数正好组成一个等差数列:
1,2,3,?
,15.因此,根据求和公式可以求出获奖总人数。
解:
(1+15)×15÷2=16×15÷2=120(人)
例4某体育馆西侧看台上有30排座位,后面一排都比前面一排多2个座位,最后一排有132个座位。
体育馆西侧看台共有多少个座位?
分析:
要求这30个数的和,必须知道第一排的座位数,而最后一排的座位数是由第一排座位数加上(30-1)×2得出来的,这样就可以求出第一排的座位数。
解:
第一排的座位数为:
132-2×(30-1)=132-58=74(个)所以(74+132)×30÷2=206×30÷2=3090(个)
例5学校进行乒乓球比赛,每个参赛选手都要和其他所有选手赛1场。
(1)
(2)若有20人比赛,那么一共要进行多少场选拔赛?
若一共进行了78场比赛,有多少人参加了选拔赛?
分析设20个选手分别是A1,A2,A2,?
A20,我们从选手A1,开始按顺序分析比赛场次:
A1必须和A2,A3,A4,?
,A20这19人各赛一场,共计19场;A2已和A1赛过,他只需和A3,A4,A5,?
,A20这18名选手各赛一场,共计18场;A3已和A1,A2赛过,他只需与A4,A5,A6,?
,A20这17名选手各赛一场,共计17场;依次类推,最后,A19只能和A20赛一场。
然后对各参赛选手的场次求和即可。
解
(1)这20名选手一共需赛19+18+17+?
+2+1=(19+1)×19÷2=190(场)。
(2)设参赛选手有n人,则比赛场次是1+2+3+?
+(n-1),根据题意,有1+2+3+?
+(n-1)=78,经过试验可知,1+2+3+?
+12=78,于是n-1=12,n=13,所以,一共有13人参赛。
说明,
(1)也可这样想,20人每人都要赛19场,但“甲与乙”“乙与甲”只能算一场,因此,共进行20、×19÷2=190(场)比赛。
(2)采用了试验法,这是一种很实用的方法,希望同学们能熟练掌握。
作业:
1,等差数列求和公式(首项,末项,公差已经知道)和=
2、等差数列求末项公式(首项,公差,相数已经知道)末项=
3、等差数列项数公式:
(首相,公差,末项已知)项数=
4、求和:
100+102+104+106+108+110+112+114
995+996+997+998+999
1+3+5+7+…+37+39
(1+3+5+…+1999)-(2+4+6+8+…+1998)
5、应用题
a.自1开始,每隔两个数写出一个数来,得到的数列为1,4,7,10,13,,,,求出这个数列前100项的和
b.影剧院有座位若干排,第一排座位25个,以后每排比第一排多3个位置,最后一排有94个座位,请问,这个影剧院共有多少个座位?
c.小红读一本书,第一天读了30页,从第二天起,每天读的页数都比前一天多4页,最后一天读了70页,刚好读完,请问这本小说多少页?
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