《函数单调性》的教学案例Word文档下载推荐.doc
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用价值,培养善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。
二、教学重点、难点
教学重点:
在图象中发现函数的单调性并形成概念;
教学难点:
将函数单调性的图形语言或直观语言转化为数学
语言,用定义证明函数的
单调性。
三、《函数单调性》教学过程:
在下一页用图表说明。
《函数单调性》教学过程
教学
环节
教学活动
设计意图
课堂
导入
教师引导,学生探究:
教师引导学生某地区2006年元旦这一天24小时内的气温变化图。
教师提问:
(1)气温在哪些时间段内是升高的,在哪些时间段内是下降的?
(2)气温升高时图象有什么特征?
(图象是上升的还是下降的?
),气温下降呢?
教师小结:
气温升高时图象是上升,气温下降时图象是下降的
教师:
在我们熟悉的函数中,有哪些函数的图象有相似的特征?
(让学生回顾,举例)
问题2观察y=2x+1,y=x2的函数图象回答下面问题:
分别指出上面两个函数的图象在哪个区间是上升的,在哪个区间是下降的?
同学们能用数学语言把上面俩个函数图象“上升”或“下降”的特征描述出来?
创设这样的问题情境,既能激发学生的兴趣又符合“数学教学应从学生生活经验出发”和“关注概念的实际背景”这一新课程标准的要求。
教师和学生共同探究图象上升(下降)时,函数值的变化情况
教师引导,学生探究:
教师通过多媒体图象演示,引导学生观看图像的变换过程,学生从函数值与自变量的依赖关系入手,描述增、减函数的直观定义;
结论:
当自变量增大时,函数值增大的函数称为增函数;
当自变量增大时,函数值减小的函数称为减函数。
教师引导学生把描述出来的函数的单调性用数学语言刻画。
恰当地运用多媒体,使得这个抽象的问题变得非常直观,获得对函数单调性由“形”到“数”认识,让学生从“数”上体会函数的增、减变化情况。
函数单调性概念
师生共同探讨新概念:
x
y
O
(一)、函数的单调性概念
设函数的定义域为A,区间IA,如果对于任意的x1、x2∈I,当x1<
x2时,都有f(x1)<
f(x2),则称函数f(x)在区间上严格递增的(或者说函数f(x)在区间上增函数),称区间I是f(x)的单调上升区间。
如果对于任意的x1、x2∈I,当x1<
x2时,都有f(x1)>f(x2),则称函数f(x)在区间上严格递减的(或者说函数f(x)在区间上是减函数,称区间I是f(x)的单调下降区间。
如果f(x)在定义域上是严格递增的(或严格递减的),则称f(x)是严格单调函数。
函数在某个区间上递增或递减的性质统称为函数的单调性。
(二)说明:
1、在单调区间上增函数的图像是上升的,减函数的图像是下降的
2、函数的单调性只是针对某个区间而言,有些函数在整个定义域上不是单调的,但是在定义域的某些区间上却存在单调性。
即:
函数的单调性是一个局部的性质。
3、函数的单调区间之间不能写成并集
4、函数单调性的定义中,实际上含有两层意思:
①对于任意的x1,x2∈I,若x1<x2,有f(x1)<
f(x2),则称f(x)在I上是增函数;
②若f(x)在I上是增函数,则当x1<x2时,就有f(x1)<
f(x2).
这是增函数定义的逆用,作用判定函数值的大小,这个性质在指数函数、对数函数、三角函数中经常用到。
教师指出:
1)函数的单调性只是针对某个区间而言,有些函数在整个定义域上不是单调的,但是在定义域的某些区间上却存在单调性。
2)函数单调性的定义中,实际上含有两层意思:
培养学生从图象中发现函数的单调性,并用数学语言加以刻画的能力;
领会数形结合的数学思想方法
函数单调性的应用
例1下图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每一单调区间上,函数y=f(x)是增函数还是减函数
学生解答,集体订正。
例2证明函数f(x)=2x+1在(-∞,+∞)是增函数
教师要求学生用不同的方法解答本题;
然后集体订正。
用定义判定或证明函数单调性的一般步骤:
(略)
进一步培养学生深刻理解概念及利用数学概念进行判断推理的能力。
师生
总结
教师引导学生总结:
1、函数单调性的概念,增(减)函数的概念,注意关键词
2.判断函数单调性的方法:
(1)图像法(从“形”的角度)
(2)定义法(从“数”的角度)
3、函数单调性的证明步骤:
取值——作差——变形——判断符号——下结论。
4、数学思想方法:
数形结合思想。
使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法,从而实现对函数单调性认识的再次深化。
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