三角形及竞赛.docx
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三角形及竞赛.docx
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三角形及竞赛
第一部分
1.
2.若一个三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一条边,则此三角形肯定是()
A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形
3.一个凸多边形的某一个内角的外角与其余内角的和恰为500°,那么这个多边形的边数
是_______或______.
4.一个凸多边形截去一个角后形成的多边形的内角和是2520°,则原多边形的边数是()
A.14B.15C.15或16D.15或16或17
5.若三角形的三个内角A、B、C的关系满足A>3B,C<2B,那么这个三角形是()
A.钝角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.不等边的锐角三角形
6.△ABC的三个内角A、B、C,满足3A>5B,3C≤B,则这个三角形是()
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角戏
7.如图,直线AB∥CD,∠EFA=30°,∠FGH=90°,∠HMN=30°,∠CNP=50°,则∠GHM的大小
是_____________.
8.IntheRt△ABC,∠ACB=90°,∠A=30°,CDisthebisectorto∠ACB,MDistheperpendiculartoBAandMDthroughthemidpointofsegmentAB,then∠CDM=____________.
9.已知正△ABC的面积是1,P是平面上一点,并且△PAB、△PBC、△PCA的面积相等,那么满足
条件的点P共有________个;△PAB的面积是___________.
第二部分
1.已知a、b都是正整数,那么以a、b和8为边组成的三角形有( )
A.3个
B.4个C.5个D.无数个
2.已知
,则
的值为()
A.10B.8C.20D.4
3.如图所示,C在线段AB上,在AB的同侧作等边△ACM和△BC
N,连接AN,BM.若∠MBN=38°,
则∠AMB=_____________度,∠ANC=_____________度.
4.如图所示,两个边长都为2的正方形ABCD和OPQR,O点是正方形ABCD的对角线交点,而正方形OPQR可以绕O点旋转,那么它们重叠部分的面积为()
A.4B.2C.1D.
5.已知等腰△ABC中,AD⊥BC于点D,且AD=BC,则△ABC底角的度数为( )
A.45°B.75°C.45°或75°D.60°
6.在数学活动中,小明为了求
的值(结果用含n的代数式表示),设计如图1所示的图形。
(1)请你利用这个几何图形求
的值为 _______.
(2)请你利用图2,再设计一个能求
的值的几何图形.
7.如图,已知点D为等腰直角
内一点,
,E为AD延长线上的一点,且CE=CA.
(1)求证:
DE平分
;
(2)若点M在DE上,且DC=DM,求证:
ME=BD.
8.已知:
如图所示,以
的两边AB、AC为边向外作等边
和
,DC、BE相交于点O.
(1)求证:
DC=BE;
(2)求
的度数;
(3)
的度数发生变化时,
是否变化?
若不变化,请求出
的大小;若发生变化,请说明理由.
9.如图1,P是△ABC所在平面上一点.如果∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P就叫做△ABC费马点.
(1)如图2,当△ABC是等边三角形时,用尺规法作出△ABC费马点.(不要求写出作法,只要保留作图痕迹)
(2)如图3,已知:
△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,AC=BC=
.四边形CDPE是正方形,CD在AC上,CE在BC上,P是△ABC的费马点.求:
P点到AB的距离.
(3)如图4,已知:
锐角△ABC,分别以AB,AC为边向外作正△ABE和正△ACD,CE和BD相交于P点.
①求∠CPD的度数;
②求证:
P点为△ABC的费马点.
10.如图①,
和
是两个大小不等的等边三角形,且有一个公共顶点C,连接AF和BE.
(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?
请证明你的结论;
(2)将
(1)中的
绕点C旋转一定的高度,得到图②,
(1)中的结论还成立吗?
作出判断并说明理由.
图①图②
11.如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),以OA为边在第四象限内作等边
,点C为
轴的正半轴上一动点(OC>1),连接BC,以BC为边在第四象限内作等边
,直线DA交
轴于点E.
(1)试问
与
全等吗?
并证明你的结论;
(2)随着点C位置的变化,点E的位置是否会发生变化,若没有变化,求出点E的坐标;若有变化,请说明理由.
12.如图1,A(-2,0),B(0,4),以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC.
(1)求C点的坐标;
(2)在坐标平面内是否存在一点P,使△PAB与△ABC全等?
若存在,求出P点坐标,若不存在,请说明理由;
(3)如图2,点E为y轴正半轴上一动点,以E为直角顶点作等腰直角△AEM,过M作MN⊥x轴于N,求OE-MN的值.
13.某数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程:
(1)操作发现:
在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB、AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图1所示,其中DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,M是BC的中点,连结MD和ME,则下列结论正确的是__________(填序号即可).①AF=AG=
;②MD=ME;③整个图形是轴对称图形;④MD⊥ME.
(2)数学思考:
在任意△ABC中,分别以AB、AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图2所示,M是BC的中点,连结MD和ME,则MD与ME有怎样的数量关系?
请给出证明过程;
(3)类比探究:
在任意△ABC中,仍分别以AB、AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,如图3所示,M是BC的中点,连结MD和ME,试判断△MDE的形状.答:
_________.
图1
14.
5.解:
如图1:
AB=AC,
∵AD⊥BC,∴BD=CD=
BC,∠ADB=90°,∵AD=
BC,∴AD=BD,∴∠B=45°,
即此时△ABC底角的度数为45°;
如图2,AC=BC,∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∵AD=
BC,∴AD=
AC,
∴∠C=30°,∴∠CAB=∠B=
=75°,
即此时△ABC底角的度数为75°;综上,△ABC底角的度数为45°或75°.故选C.
9.解:
(1)作图略-
(2)连接AP,BP,CP并延长交AB于Q点.
∵P是△ABC费马点,∴∠APC=∠BPC=120°.
∵四边形CDPE是正方形,∴∠PCD=∠PCE=45°.
∵CP=CP,∴△ACP≌△BCP.∴AP=BP.又AC=BC
∴CQ⊥AB.且AQ=BQ=
∵∠APC=120°,
∴∠APQ=60°.∴PQ=
(3)①∵△ACE≌△ABD,∵∠1=∠2,
∵∠3=∠4,∴∠CPD=∠5=60°.
②在PD上取一点F,使PC=PD,连接AP,则-
△PCF是正三角形,
∴∠CPF=∠CFP=60°,CP=CF∴∠CFD=120°
又∠ACP=∠DCF=60°-∠ACF又∵AC=CD
∴△ACP≌△DCF∴∠APC=∠DFC=120°
又∠BPC=180°—∠DPC=120°
∴∠APB=360°-∠BPC-∠APC=120°.
∴P点为△ABC的费马点.-
12.解:
(1)作CE⊥y轴于E,如图1,
∵A(-2,0),B(0,4),∴OA=2,OB=4,
∵∠CBA=90°,∴∠CEB=∠AOB=∠CBA=90°,
∴∠ECB+∠EBC=90°,∠CBE+∠ABO=90°,∴∠ECB=∠ABO,
在△CBE和△BAO中
∴△CBE≌△BAO,
∴CE=BO=4,BE=AO=2,即OE=2+4=6,∴C(-4,6).
(2)存在一点P,使△PAB与△ABC全等,
分为四种情况:
①如图2,当P和C重合时,△PAB和△ABC全等,即此时P的坐标是(-4,6);
②如图3,过P作PE⊥x轴于E,
则∠PAB=∠AOB=∠PEA=90°,
∴∠EPA+∠PAE=90°,∠PAE+∠BAO=90°,∴∠EPA=∠BAO,
在△PEA和△AOB中
∴△PEA≌△AOB,∴PE=AO=2,EA=BO=4,
∴OE=2+4=6,即P的坐标是(-6,2);
③
如图4,过C作CM⊥x轴于M,过P作PE⊥x轴于E,
则∠CMA=∠PEA=90°,∵△CBA≌△PBA,
∴∠PAB=∠CAB=45°,AC=AP,∴∠CAP=90°,
∴∠MCA+∠CAM=90°,∠CAM+∠PAE=90°,
∴∠MCA=∠PAE,
在△CMA和△AEP中
∴△CMA≌△AEP,∴PE=AM,CM=AE,
∵C(-4,6),A(-2,0),∴PE=4-2=2,OE=AE-A0=6-2=4,
即P的坐标是(4,2);
④
如图5,过P作PE⊥x轴于E,
∵△CBA≌△PAB,∴AB=AP,∠CBA=∠BAP=90°,
则∠AEP=∠AOB=90°,∴∠BAO+∠PAE=90°,∠PAE+∠APE=90°,
∴∠BAO=∠APE,
在△AOB和△PEA中
∴△AOB≌△PEA,∴PE=AO=2,AE=OB=4,
∴0E=AE-AO=4-2=2,
即P的坐标是(2,-2),
综合上述:
符合条件的P的坐标是(-6,2)或(2,-2)或(4,2)或(-4,6).
(3)如图6,作MF⊥y轴于F,
则∠AEM=∠EFM=∠AOE=90°,∵∠AEO+∠MEF=90°,∠MEF+∠EMF=90°,∴∠AEO=∠EMF,
在△AOE和△EMF中
∴△AEO≌△EMF,∴EF=AO=2,MF=OE,
∵MN⊥x轴,MF⊥y轴,∴∠MFO=∠FON=∠MNO=90°,∴四边形FONM是矩形,
∴MN=OF,∴OE-MN=OE-OF=EF=OA=2.
14.感知:
∵AB⊥AD,BF⊥AF,DG⊥AF,
∴
.
.
∵AB=AD,∴△ADG≌△BAF.
拓展:
∵
,
又∵
∴
.
∵∠1=∠2,
,
∴
.
又∵AB=AC,
∴△ABE≌△CAF.
应用:
8
13.
(1)填写序号①②③④.
(2)如图4,作DF⊥AB,EG⊥AC,垂足分别为F、G.
因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜边上的高,
所以F、G分别是AB、AC的中点.
又已知M是BC的中点,所以MF、MG是△ABC的中位线.
所以
,
,MF//AC,MG//AB.
所以∠BFM=∠BAC,∠MGC=∠BAC.所以∠BFM=∠MGC.所以∠DFM=∠MGE.
因为DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线,所以
,
.
所以MF=EG,DF=NG.所以△DFM≌△MGE.所以DM=ME.
(3)△MDE是等腰直角三角形.
图4图5
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