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例2求函数y=+arcsin的定义域.
解:
要使函数有定义,即有:
于是,所求函数的定义域是:
[-3,-2][3,4].
小结:
函数有两要素:
定义域和对应法则,即只要这两样定了,函数就定了,所以我们判断两个函数是否是同一函数就有依据了。
例3判断以下函数是否是同一函数,为什么?
(1)y=lnx2与y=2lnx
(2)ω=与y=
解
(1)中两函数的定义域不同,因此不是相同的函数.
(2)中两函数的对应法则和定义域均相同,因此是同一函数.
函数的表示法:
(1)解析法(或分析法、公式法)。
如:
、,这样的表达式亦为函数的解析式,这种表示法的主要优点是严密;
(2)图示法:
如用直角坐标(或极坐标等)平面的一条曲线表示,这种表示法的主要优点是直观;
(3)表格法:
如三角函数表、对数表、正态分布表等,这种表示法的主要优点是能进行函数值的查询。
分段函数
若函数在定义域不同的区间上用不同解析式来表示,则称函数为分段函数.如
(二)函数的几种特性
要研究函数,首先函数必须要有意义,假设f(x)在区间上有定义。
1、有界性
若存在两个数A和B,对一切,则称为有界函数.例如:
,在全数轴上均有界,而在(0,1)内无界.
思考:
在定义域内,下列函数中哪些有界?
y=sinxy=cosxy=arcsinxy=arccosxy=arctanxy=arccotx
2、单调性
对,若对任意两点时有,则称函数在上单调增加,区间称为单调增区间;
反之,函数在上单减少,区间称为单调减区间.单调增区间或单调减区间统称为单调区间
例如在其定义域区间内均为单调函数。
3、奇偶性
对,若则称为奇函数;
若成立,则称为偶函数。
奇函数的几何图形关于原点对称,而偶函数的几何图形关于轴对称.例如:
函数是偶函数。
例如:
函数是奇函数。
函数既不是奇函数也不是偶函数。
4、周期性
对,若存在常数,对任何x,满足
则称为周期函数,的一个周期.?
例如,函数,的周期均为,的周期为。
而(是一个常数)是以任何正数为周期的周期函数,但它不存在基本周期,所以说,并不是所的周期函数都存在基本周期(最小周期)。
(三)反函数
定义函数y=f(x),若把y当作自变量,x当作函数,则由关系式y=f(x)所确定的函数x=φ(y)称为函数y=f(x)的反函数,记作y=f-1(x).
注:
求函数的反函数的一般方法是将关系式经过一系列的变换,变成的形式,最后再表示成的形式。
三、课堂练习
思考题1、3
四、小结
理解函数、分段函数的概念,会求函数的定义域、表达式及函数值;
了解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性及反函数的定义;
掌握基本初等函数的图形和性质.
五、布置作业
习题一1、2、4、5、7、8.
选做:
3、6
1.2函数及其性质
1.掌握基本初等函数的图形和性质
2.理解复合函数的概念
3.掌握复合函数的构成过程
复合函数的构成
复合函数的分解及反三角函数的图象
前面一节课讲了函数的定义,函数的性质、两要素和反函数,说到反函数有必要再讲讲反函数的图象,特别是反三角函数的图象。
1、什么样的函数才有反函数,为什么?
答:
一一对应的函数才有反函数,因为从函数的定义知,函数y=f(x),对任意的x有唯一
的y与之对应。
反函数是自变量和因变量互换,所以对任意的y也应有唯一确定的x与之对应,函数x=(y)才有意义。
所以只有一一对应的函数才有反函数。
2、问题出现:
对正弦函数和余弦函数,不是一一对应的函数,为什么会有反函数?
取一个周期,取[—,],
原函数y=sinx,x[—,],y[—1,1]
反函数y=arcsinx,x[—1,1],y[—,]
(一)基本初等函数
常数函数:
y=c(c为常数)
幂函数:
y=(为常数)
指数函数:
y=(a>
0,a1,a为常数)
对数函数:
三角函数:
y=sinxy=cosxy=tanxy=cotxy=secxy=cscx
反三角函数:
y=arcsinxy=arccosxy=arctanxy=arccotx
(二)复合函数
定义设其中,且的值全部或部分落在的定义域内,则称为的复合函数,而称为中间变量.
简单说:
几个基本初等函数的组合
例1:
若y=,u=sinx,则其复合而成的函数为
y=,要求u必须0,sinx0,x[2k,+2k]
例2:
分析下列复合函数的结构
(1)y=
(2)y=
(1)y=,u=cosv,v=
(2)y=,u=sinv,v=,t=x+1
例3:
设f(x)=g(x)=求f[g(x)]g[f(x)]
f[g(x)]=f()=()=4g[f(x)]=g()=2
注:
此题用“整体代换”的思想.
(三)初等函数
由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合步骤构成,且可用一个解析式表示的函数,叫做初等函数,否则就是非初等函数。
例:
双曲正弦函数shx=
双曲余弦函数chx=
双曲正切函数thx=
分段函数一般不是初等函数
习作题1、29、10、11、17、25、26
掌握基本初等函数的图形和性质,理解复合函数的概念,掌握复合函数的构成过程.
习题一12、13、14、15、18、19、
选做:
24、29
2.1极限的概念
1.理解极限的概念,函数左极限与右极限的概念,以及极限存在与左、右极限之间的关系。
2.熟练掌握和时f(x)的极限存在的充要条件
3.理解无穷大、无穷小的概念,
4.掌握无穷大的判定方法和无穷小的概念及性质,会用无穷小量的性质求极限
函数极限与数列极限的概念;
无穷大量与无穷小量的概念及性质.
1.函数极限的定义及、的含义
2.分段函数在时的极限的讨论方法
3.无穷大量与无穷小量的概念和性质及其应用
1.写出下列函数的复合过程
(1)
(2)
思考:
若,当无限的靠近1时,值怎样变化?
(一)函数的极限
(1)定义函数y=f(x),当自变量x无限接近于某个目标时(一个数x,或+或—),因变量y无限接近于一个确定的常数A,则称函数f(x)以A为极限。
规定:
x从x的左右两侧无限接近于x,记xx
x从x的左两侧无限接近于x,记xx
x从x的右两侧无限接近于x,记xx
x无限增大时,用记号x+
x无限减小时,用记号x—
无限增大时,用记号x
(2)点x的邻域
N(x,)=(x—,x+),其中很小的正数,
X的去心邻域N(,)=.
1、xx时函数的极限
举例说明:
x1时,函数无限接近于多少?
观察:
当:
x1时,f(x)=x+1,无限接近2
x1时,g(x)=,无限接近2
f(x)在x=1有定义,g(x)在x=1处无定义
定义1如果当xx时,函数无限趋近于一个确定的常数,则称为函数当xx时的极限,记作f(x)=A或(当xx时).此时也称存在。
如果当xx时,函数不趋近于任何一个确定的常数,则称不存在。
如:
,又如=2
注意:
f(x)=在处无定义,但当时,函数f(x)=无限趋近于一个确定的常数2,所以=2。
结论:
函数当xx时的极限是否存在,与在点处是否有定义无关.
如上举例f(x)=在处无定义,但=2.
定义2右极限当xx,有
定义3左极限当xx,有
函数的左极限和右极限统称为函数的单侧极限。
定理1[极限存在的充分必要条件]
函数当时的极限存在的充分必要条件是,当时的左右极限都存在并且相等.即
求分段函数的极限的方法就是计算它在指定点的左极限和右极限是否存在并且是否相等。
判断下列函数在指定点的是否存在极限
⑴(当时)⑵(当时)
⑴∵,
∴函数在指定点的极限不存在。
⑵∵,
∴函数在指定点的极限=0
定理2f(x)=Af(x)=f(x)=A
(二)数列的极限
定义4对于数列{},如果当n无限增大时,通项无限接近于某个确定的常数A,则称A为数列的极限,或称数列{}收敛于A,记为=A或A(n)
定理3[单调数列极限存在定理]
单调增加(上升)数列:
单调减少(下降)数列:
单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列。
[单调有界原理]:
单调有界数列必有极限。
(三)极限的性质
1、唯一性若,,则
2、有界性若,则存在的某一去心邻域N(,),在N(,)内函数有界.
3、保号性若且,则存在某个去心邻域N(,),在N(,)内
4、夹逼准则
这个定理称为夹逼定理,它同样适用于的情况
在这个公式里x趋近于哪个数是非常重要的,x趋近于不同的数,极限是不同的。
(四)关于极限的几点说明
1.一个变量前加上记号“lim”后,是个确定值。
正n边形面积,=圆面积
2.关于“x”的理解:
只要求在的充分小邻域有定义。
与在点和远离点有无意义无关。
在求分段函数的极限时尤为重要。
3.常数函数的极限等于其本身。
即:
C=C
(五)无穷小量与无穷大量
1、无穷小量概念
定义5极限为0的量称为无穷小量,简称无穷小;
1、无穷小量不是很小的数,它也是极限的概念。
2、数零是唯一可作为无穷小的常数。
3、无穷小指量的变化状态,而不是量的大小。
2、一个量无论多么小,都不能是无穷小,零唯一例外。
当x→a(或∞)时,如果函数f(x)的极限为0,则称当x→a(或∞)时,f(x)是无穷小量。
若数列{}的极限为0,则{}是无穷小量。
,所以,当x→0时,sinx是无穷小量。
同样,当x→0时(>
0),1-cosx,arcsinx等都是无穷小量。
当x→+∞时,,所以{}是无穷小量.
定理4极限与无穷小之间的关系:
无穷小量的性质
定理5有限个无穷小量的代数和是无穷小量。
例如,当x→0时,x+sinx也是无穷小量
定理6无穷小量与有界量之积是无穷小量。
例如,当x→0时,xsinx也是无穷小量。
推论1:
任一常数与无穷小量之积是无穷小量。
例如,当x→0时,3sinx也是无穷小量。
推论2:
有限个无穷小量之积是无穷小量。
(注:
两个无穷小之商未必是无穷小)
2、无穷大量
当x→(或±
∞)时,如果函数f(x)的绝对值无限增大,则称当x→(或±
∞)时,f(x)是无穷大量。
记作f(x)=∞,或f(x)→∞。
定义6若(或),则称为当(或)时的无穷大量,简称无穷大。
如=,表示当时,为无穷大.
关于无穷大量几点说明:
1.无穷大量不是一个很大的数,它是极限的概念;
2.无穷大量的实质是极限不存在,为了表示记作或.
3.若数列{}当n→+∞时,它项的绝对值无限增大,则{}是无穷大量。
4.如果当x→(或±
∞)时,函数f(x)是无穷大量,那么就是当x→(或±
∞)时的无穷小量,反过来,如果当x→(或±
∞)时,函数f(x)是非零无穷小量,那么就是当x→(或±
∞)时的无穷大量。
即⑴无穷大量的倒数是无穷小量。
⑵无穷小量(非零)的倒数是无穷大量。
(3)无穷大必无界,但反之不真。
因此,证明一个变量是无穷小量的方法就是证明它的极限为0,
证明一个变量是无穷大量的方法就是证明它倒数是无穷小量。
习作题1、2习题二1、3
理解极限的概念,函数左极限与右极限的概念,以及极限存在与左、右极限之间的关系;
熟练掌握和时f(x)的极限存在的充要条件,理解无穷大、无穷小的概念,掌握无穷大的判定方法和无穷小的概念及性质,会用无穷小量的性质求极限.
习题二2、4、
2.2极限的运算
(一)
掌握函数极限的运算法则及其推论,能运用运算法则求极限
函数极限的运算法则及其推论
函数极限的运算法则的灵活运用
1、函数极限是怎样定义的?
函数极限存在的充要条件是什么?
2、无穷小的性质有哪些?
(一)极限的运算法则
设在同一变化过程中(此处省略了自变量的变化趋势,下同)及都存在,则有下列运算法则:
法则1、[f(x)g(x)]=f(x)g(x)
法则2、[f(x)g(x)]=f(x)g(x)
法则3、=(g(x)0)
提示:
法则的证明不作要求.
(1)直接代入求值
例1求(3x-4x+1)
(3x-4x+1)=32-42+1=5
例2求
==-
例3求
===
时,可直接代入(若代入后令分母为零。
可先约分后再代入)
举例:
1、6x2、(6x+5)3、4、
5、6、
(2)型
例4求
==
时,型的极限,可用分子分母中x的最高次幂除之
课堂练习1、计算
(3)-型,型,
例5求下列函数极限
1、(-)2、3、
1、(-)=
===1
2、=
3、==0
1题可看成直接代值的特殊情况
2题是“型”经常可通过分母、分子有理化解决
3题是无穷小与有界量的积为无穷小
P26习作题1、
(1)~(3),
补充:
求下列极限
1、2、3、
掌握函数极限的运算法则及其推论,能运用运算法则求极限。
特别情形:
时,型的极限,可用分子分母中x的最高次幂除之;
型经常可通过分母、分子有理化解决;
无穷小与有界量的积为无穷小.
习题二5、6、
思考题1
2.2极限的运算
(二)
1.掌握两个重要极限,会运用两个重要极限求极限
2.理解高阶、低阶、同阶及等价无穷小量的定义
3.掌握判定等价无穷小量的充要条件及常用等价无穷小量
4.会运用等价无穷小量求函数的极限
1.两个重要极限及其应用
2.高阶、低阶、同阶和等价无穷小的定义与判定及其应用
1.两个重要极限的应用
2.等价无穷小量的判定及其在极限运算中的应用
考察极限
当x?
0时函数的变化趋势
x(弧度)
0.50
0.10
0.05
0.04
0.03
0.02
...
0.9585
0.9983
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
当x取正值趋近于0时,?
1,即=1;
当x取负值趋近于0时,-x?
0,-x>
0,sin(-x)>
0.于是
.
(二)两个重要极限
1=1
特点:
①它是“”型
②(三角形代表同一变量)
思考:
吗?
例1求
==2
1
==0
==1
=[]=
(复习二倍角)
==2=1-2
==
原式==[]=[]=
1、乘积的极限写成极限的乘积时,必须每个乘积的极限存在。
2、非弦函数化有弦函数
课堂练习
(一)求下列极限
1、2、3、
4、5、6、
考察极限(1+)
+?
时函数的变化趋势
x
2
10
1000
10000
100000
2.25
2.594
2.717
2.7181
2.7182
2.71828
当x取正值并无限增大时,是逐渐增大的,但是不论x如何大,的值总不会超过3.实际上如果继续增大x.即当x?
时,可以验证是趋近于一个确定的无理数e=.
当x?
-?
时,函数有类似的变化趋势,只是它是逐渐减小而趋向于e.
2(1+)=e
(1)(1+无穷小),即1型;
(2)“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数,
推广:
①②
例5(1+)
原式=[]=
例6(1+)
原式=[(1+)(1+)]=(1+)(1+)=
例7(1+)
解:
原式=(1+)=
例8
(1)
原式=[1+()]=[1+]=
例9()
原式=()=
(1)=(1+)
=(1+)(1+)=e
课堂练习
(二)
习作题1(4)—(8)
(三)无穷小的比较
当x0时,=3x,=x,=
但=0==
为了比较无穷小趋于零的快慢,引入无穷小阶
定义:
设某一极限过程中,与都是无穷小,且=C
(1)若C=0,则称是比高阶的无穷小,记成=0()也称是比低阶的无穷小。
(2)若C0,则称与是同阶无穷小。
特别:
若C=1,则称与是等价无穷小,记为~
等价无穷小在求两个无穷小之比的极限时有重要作用。
常用的几个等价无穷小代换:
当时,有~xtanx~xarcsinx~xarctanx~xcosx~ln(1+x)~x~x~
例10求
例11求
例12求
例13
1用等价代换时,必须对分子或分母的整体替换(或对分子、分母的因式进行替换)
2分子或分母中若有“+”“-”号连接的各部分不能分别作替换。
三、小结
掌握两个重要极限,会运用两个重要极限求极限,理解高阶、低阶、同阶及等价无穷小量的定义,掌握判定等价无穷小量的充要条件及常用等价无穷小量,会运用等价无穷小量求函数的极限。
特别地,用等价代换时,必须对分子或分母的整体替换(或对分子、分母的因式进行替换),分子或分母中若有“+”“-”号连接的各部分不能分别作替换。
四、布置作业
习作题2、习题二7
选做:
习题二9
2.3函数的连续性
1.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型。
2.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,
3.了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值、最小值定理和介值定理),并会应用这些性质。
1.函数连续性的有关概念及其应用
2.间断点及其分类
1.点连续性及复合函数连续性的概念及其应用
2.函数的连续性的判定
微积分学中研究种种不同性质的函数,其中有一类重要的函数,就是连续函数。
连续函数反映了自然界中普遍存在的连续变化现象,如气温的变化,河水的流动等等。
(一)函数连续性的定义
1、点连续
定义1设y=f(x)在点的某邻域上有定义,如果自变量的增量趋于零时,对应的函数增量也趋于零,即
则称f(x)在点是连续的。
易知:
0
即,于是有
定义2设函数y=f(x)在点的某邻域内有定义,若,则称函数f(x)在点处连续,f(x)在点连续,必须满足三个条件:
(1)f(x)在点的一个邻域内有定义
(2)存在
(3)上述极限值等于函数值
只有一个条件不满足,则点就是函数f(x)的间断点。
2、函数在区间上连续的概念
在区间上每一点都连续的函数,称为在该区间上的连续函数,或说函数在该区间上连续,该区间也称为函数的连续区间。
若连续区间包括端点,那么函数在右端点连续是左连续,在左端点连续是右连续。
定义3(间断点的分类):
设是的一个间断点,如果:
(1)的左右极限都存在,称为第一类间断点,当
,则称为的跳跃间断点
(2)的左右极限都存在,称为第一类间断点,当存在,但不等于,则称为的可去间断点
(3)除
(1)
(2)以外的,称为的第二类间断点,当=,称为的无穷间断点。
例1设,讨论f(x)在x=1处的连续性
f
(1)=1f(x)==1
f(x)=(x+1)=2
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