命题及其关系充分条件与必要条件复习Word文件下载.docx
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A.命题“若x>
1,则x2>
1”的否命题
B.命题“若x>
y,则x>
|y|”的逆命题
C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题
D.命题“已知a,b,c∈R,若ac2>
bc2,则a>
b”的逆命题、否命题、逆否命题均为真命题
解析 对于选项A,命题“若x>
1”的否命题为“若x≤1,则x2≤1”,易知当x=-2时,x2=4>
1,故选项A为假命题;
对于选项B,命题“若x>
|y|”的逆命题为“若x>
|y|,则x>
y”,分析可知选项B为真命题;
对于选项C,命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题为“若x≠1,则x2+x-2≠0”,易知当x=-2时,x2+x-2=0,故选项C为假命题;
对于选项D,原命题为真,所以逆否命题为真,逆命题、否命题均为假,故选项D为假命题.综上可知,选B.
7.设集合M={x|0<
x≤3},N={x|0<
x≤2},则“a∈M”是“a∈N”的( )
解析 因为集合N={x|0<
x≤2}是M={x|0<
x≤3}的真子集,故由a∈M不能得到a∈N,由a∈N可以得到a∈M,所以“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件.
8.a<
0,b<
0的一个必要条件为( )
A.a+b<
0B.a-b>
>
1<
-1
答案 A
解析 若a<
0,则一定有a+b<
0,故选A.
9.在等比数列{an}中,a1>
0,则“a1<
a3”是“a3<
a6”的( )
解析 设等比数列{an}的公比为q,若a1<
a3,则a1(1-q2)<
0,因为a1>
0,所以1-q2<
0,故q>
1或q<
-1,又a3-a6=a1q2(1-q3),若q>
1,则a3<
a6,若q<
-1,则a3>
a6,故充分性不成立.反之,若a3<
a6,则1-q3<
1,则a1<
a3,必要性成立,故“a1<
a6”的必要不充分条件,选B.
10.若命题p的逆命题是q,命题p的否命题是r,则q是r的________.(填“否命题”“逆命题”或“逆否命题”)
答案 逆否命题
解析 由4种命题的相互关系,可知原命题的否命题与逆命题互为逆否命题.
11.若“x∈[2,5]或x∈{x|x<
1或x>
4}”是假命题,则x的取值范围是________.
答案 [1,2)
解析 根据题意得
解得1≤x<
2,故x∈[1,2).
12.设p,r都是q的充分条件,s是q的充要条件,t是s的必要条件,t是r的充分条件,那么p是t的________条件,r是t的________条件.(用“充分”“必要”或“充要”填空)
答案 充分 充要
解析 由题知p⇒q⇔s⇒t,又t⇒r,r⇒q,故p是t的充分条件,r是t的充要条件.
二、高考小题
13.[2016·
四川高考]设p:
实数x,y满足x>
1且y>
1,q:
实数x,y满足x+y>
2,则p是q的( )
解析 当x>
1时,x+y>
2,所以充分性成立;
令x=-1,y=4,则x+y>
2,但x<
1,所以必要性不成立,
所以p是q的充分不必要条件.故选A.
14.[2015·
山东高考]设m∈R,命题“若m>
0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是( )
A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>
B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0
C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>
D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0
解析 由原命题和逆否命题的关系可知D正确.
15.[2015·
陕西高考]“sinα=cosα”是“cos2α=0”的( )
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析 若sinα=cosα,则cos2α=cos2α-sin2α=0,所以充分性成立;
若cos2α=0,则cos2α=sin2α,即|sinα|=|cosα|,所以必要性不成立,故选A.
16.[2016·
山东高考]已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
解析 因为直线a和直线b相交,所以直线a与直线b有一个公共点,而直线a,b分别在平面α,β内,所以平面α与β必有公共点,从而平面α与β相交;
反之,若平面α与β相交,则直线a与直线b可能相交、平行、异面.故选A.
17.[2016·
天津高考]设x>
0,y∈R,则“x>
y”是“x>
|y|”的( )
A.充要条件B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件
解析 令x=1,y=-2,满足x>
y,但不满足x>
|y|;
又x>
|y|≥y,∴x>
y成立,故“x>
|y|”的必要而不充分条件.
18.[2016·
浙江高考]已知函数f(x)=x2+bx,则“b<
0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的( )
解析 解法一:
记g(x)=f(f(x))=(x2+bx)2+b(x2+bx)
=
2-
.
当b<
0时,-
+
<
0,
即当
=0时,g(x)有最小值,且g(x)min=-
,
又f(x)=
,所以f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等,都为-
,故充分性成立.另一方面,当b=0时,f(f(x))的最小值为0,也与f(x)的最小值相等.故必要性不成立.选A.
解法二:
函数f(x)=x2+bx在x=-
处取得最小值且最小值为-
;
令f(x)=t,则f(f(x))=f(t)=t2+bt
,函数f(f(x))=f(t)=t2+bt
也在t=-
处取得最小值,为保证f(t)与f(x)的最小值相等,则需满足-
≤-
,解得b≥2或b≤0,所以“b<
0”是“f(f(x))与f(x)的最小值相等”的充分不必要条件,故选A.
三、模拟小题
19.[2017·
中原名校联考]已知p:
a<
0,q:
a2>
a,则綈p是綈q的( )
解析 因为綈p:
a≥0,綈q:
0≤a≤1,所以綈q⇒綈p且綈p
綈q,所以綈p是綈q的必要不充分条件.
20.[2017·
安徽模拟]若p是q的充分不必要条件,则下列判断正确的是( )
A.綈p是q的必要不充分条件
B.綈q是p的必要不充分条件
C.綈p是綈q的必要不充分条件
D.綈q是綈p的必要不充分条件
解析 由p是q的充分不必要条件可知p⇒q,q
p,由互为逆否命题的两命题等价可得綈q⇒綈p,綈p
綈q,∴綈p是綈q的必要不充分条件.故选C.
21.[2017·
湖北黄冈质检]设集合A={x|x>
-1},B={x||x|≥1},则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是( )
A.-1<
x≤1B.x≤1
C.x>
-1D.-1<
x<
1
解析 由题意可知,x∈A⇔x>
-1,x∉B⇔-1<
1,所以“x∈A且x∉B”成立的充要条件是-1<
1.故选D.
22.[2016·
洛阳二练]已知集合A={1,m2+1},B={2,4},则“m=
”是“A∩B={4}”的( )
解析 A∩B={4}⇒m2+1=4⇒m=±
,故“m=
”是“A∩B={4}”的充分不必要条件.
23.[2016·
辽宁五校联考]若f(x)是R上的增函数,且f(-1)=-4,f
(2)=2,设P={x|f(x+t)+1<
3},Q={x|f(x)<
-4},若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,则实数t的取值范围是( )
A.t≤-1B.t>
C.t≥3D.t>
3
解析 P={x|f(x+t)+1<
3}={x|f(x+t)<
2}={x|f(x+t)<
f
(2)},Q={x|f(x)<
-4}={x|f(x)<
f(-1)},因为函数f(x)是R上的增函数,所以P={x|x+t<
2}={x|x<
2-t},Q={x|x<
-1},要使“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,则有2-t<
-1,即t>
3,选D.
24.[2017·
安徽“江南十校”联考]已知函数f(x)=
+a(x≠0),则“f
(1)=1”是“函数f(x)为奇函数”的________条件.(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填写)
答案 充要
解析 若f(x)=
+a是奇函数,则f(-x)=-f(x),
即f(-x)+f(x)=0,∴
+a+
+a=2a+
=0,即2a+
=0,∴2a-1=0,即a=
,f
(1)=
=1.若f
(1)=1,即f
(1)=
+a=1,解得a=
.∴“f
(1)=1”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件.
一、高考大题
本考点在近三年高考中未涉及此题型.
二、模拟大题
1.[2017·
连云港统考]已知命题p:
对数loga(-2t2+7t-5)(a>
0,a≠1)有意义;
q:
关于实数t的不等式t2-(a+3)t+(a+2)<
0.
(1)若命题p为真,求实数t的取值范围;
(2)若命题p是命题q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
解
(1)由对数式有意义得1<
t<
(2)∵命题p是命题q的充分不必要条件,∴1<
是不等式t2-(a+3)t+(a+2)<
0解集的真子集.
解法一:
因方程t2-(a+3)t+(a+2)=0两根为1,a+2,故只需a+2>
,解得a>
令f(t)=t2-(a+3)t+(a+2),因f
(1)=0,故只需f
0,解得a>
2.[2017·
河北正定中学月考]已知条件p:
|5x-1|>
a和条件q:
0,请选取适当的实数a的值,分别利用所给出的两个条件作为A,B构造命题:
“若A则B”,并使得构造的原命题为真命题,而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么?
并说明为什么这一命题是符合要求的命题.
解 已知条件p即5x-1<
-a或5x-1>
a,
∴x<
或x>
已知条件q即2x2-3x+1>
0,∴x<
1;
令a=4,则p即x<
-
1,
此时必有p⇒q成立,反之不然.
故可以选取一个实数是a=4,A为p,B为q,对应的命题是若p则q.
3.[2017·
河南郑州模拟]已知命题p:
≤2,q:
x2-2x+1-m2≤0(m>
0),且綈p是綈q的必要而不充分条件,求实数m的取值范围.
解 解法一:
由
≤2,得-2≤x≤10,
∴綈p:
A={x|x>
10或x<
-2}.
由x2-2x+1-m2≤0(m>
0),得1-m≤x≤1+m(m>
0),
∴綈q:
B={x|x>
1+m或x<
1-m,m>
0}.
∵綈p是綈q的必要而不充分条件,
∴BA⇔
解得m≥9.
∴q是p的必要而不充分条件,
∴p是q的充分而不必要条件.
0).
∴q:
Q={x|1-m≤x≤1+m,m>
又由
∴p:
P={x|-2≤x≤10}.
∴PQ⇔
4.[2016·
莱州一中模拟]已知集合P={x|x2-8x-20≤0},S={x||x-1|≤m}.
(1)若(P∪S)⊆P,求实数m的取值范围;
(2)是否存在实数m,使得“x∈P”是“x∈S”的充要条件?
若存在,求出m的取值范围;
若不存在,请说明理由.
解 由x2-8x-20≤0,解得-2≤x≤10,
∴P={x|-2≤x≤10}.
由|x-1|≤m,可得1-m≤x≤1+m,
∴S={x|1-m≤x≤1+m}.
(1)要使(P∪S)⊆P,则S⊆P.
①若S=∅,此时m<
②若S≠∅,此时
解得0≤m≤3.
综合①②知实数m的取值范围为(-∞,3].
(2)由题意“x∈P”是“x∈S”的充要条件,则S=P,
则
∴
∴这样的m不存在.
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