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3P10:
4,5
P12:
1.9-§
1.10数列的极限、函数的极限
面授P44:
3
1.11-§
1.12
无穷小与无穷大、极限的运算法则
面授P49:
1.13极限存在准则,两个重要极限
面授P59:
5
1.14函数的连续性
面授P66:
6,7
6
2.1导数的概念
面授P87:
4,5
7
2.2-§
2.3函数的和、差、积、商的求导法则复合函数的求导法则
面授P92:
1单P95:
1单
8
2.4-2.5隐函数的导数、初等函数的导数
面授P101:
9
2.7-§
2.8高阶导数、函数的微分
面授P116:
3单,4
10
3.2罗必达法则
面授P137:
2单
11
3.3函数单调性的判别法
面授P140:
12
3.4函数的极值
面授P145:
1单
13
3.5函数的最大值和最小值
面授P148:
14
3.6-§
3.7
曲线的凹凸与拐点,函数图像的描绘
面授
p155:
1
(1)
(2);
2
(1)
15
4.1不定积分的概念
面授P176:
16
4.2不定积分的运算法则与直接积分法
面授P181:
1
(1)—(8)
17
4.3换元积分法
面授P189:
1
(1)—(8)
18
4.4分部积分法
面授P193:
(1)—(8)
19
复习
(一)
20
复习
(二)
备注:
严格按此计划组织教学,授课内容误差不得超过2个课时;
各班级按教学进度表组织教学,如有实习周或放假周,按计划内容顺延
湖南机电职业技术学院教案
(一)
备课组长签名:
教师签名:
班级
日期
课题:
§
1.6函数、函数的特性、反函数、幕函数、指数函数与对数函数、三
角函数与反三角函数、复合函数、初等函数
教学目的(知识、技能、态度):
1、介绍高等数学学习方法,了解与初等数学之间的区别与联系;
2、复习函数概念,认识几个特殊函数,掌握函数的几种特性。
3、复习几个常见函数的,掌握其特性和图像性质。
教学重点:
函数的特性
教学难点:
函数与反函数的关系
课型:
新授课
主要教学方法:
启发引导式讲授法
教学过程设计(时间大体分配)
教学方法
I.组织教学:
自我介绍,课程介绍与要求,考勤
U、新课教学
一、函数定义
设在某一变化过程中有两个变量x和y,如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时,变量y按照一定的法则总有确定的数值和它对应,则称y是x函数。
记作yf(x)。
其中x叫自变量,y因变量。
二、函数的几种特性
(1)函数的奇偶性
如果函数f(x)对于疋义域内的任何x,恒有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数。
例如,f(x)x2,由于f(-x)=f(x),所以,如果点M(x,f(x))在函数图形上,那么它关于y轴的对称点Mx(-x,f(x))也在图形上,因此,偶函数的图形关于y轴对称。
(2)函数的周期性
5'
10'
对于函数y=f(x),如果存在不为零的常数T,使关系式f(xT)f(x)对于定义域内任何x值都成立,则称函数f(x)为周期函数,T叫做f(x)的周期,一般我们所说的周期是指最小正周期。
例如,sinx,cosx是周期函数,它的周期是2n。
(3)函数的单调性
如果对于区间(a,b)内的任意两点x1和x2,当x1<
x2时,有f(x1)vf(x2),则称函数f(x)在区间(a,b)内是单调增加的;
如果当x1<
x2时,有f(x1)>
f(x2),贝U称函数f(x)在区间(a,b)内是单调减少的。
单调增加的或单调减少的函数统称为单调函数。
类似地,可以定义无穷区间上的单调函数。
单调增加函数的图形是沿x轴正向逐渐上升的;
单调减少函数的图形是沿x
轴正向逐渐下降的。
(4)函数的有界性
设函数在区间I内有定义(I可以是函数f(x)的整个定义域,也可以只是定义域的一部分)。
如果存在正的常数M使得对于区间I内的任何x值,恒有f(x)M,贝U称函数f(x)在区间I内是有界的;
如果这样的M不存在,则称函数f(x)在I内是无界的。
三、反函数
在自由落体运动中,我们选定时间t为自变量,距离S为函数,则距离S与t的函数关系为S;
gt2.我们也可以选取距离S作为自变量,则时间t作函数,这时t与S的函数关系式为t捷,我们称t惨是S丄gt2的反函
\g\g2
数。
当然S1gt2也是t、2S的反函数,它们互为反函数。
2Vg
一般地,设给定y是x的函数y=f(x),如果把y当作自变量,x当作函数,则由y=f(x)所确定的函数x=(y)叫做函数y=f(x)的反函数,而f(x)叫直接函数。
习惯上,我们总是用x表示自变量,y表示因变量。
因此,我们把反函数x=(y)改写为y=(x),称y=(x)和y=f(x)互为反函数。
15'
四、幕函数、指数函数、对数函数
幕函数:
函数yx,其中卩为任意实数,叫幕函数,它的义定域随卩的
不同而不同。
但不论卩取什么值,幕函数在(0,+x)内总有定义,且图形
都通过(1,1)。
yX中,卩=1,2,3,丄,-1是最常见的幕函数。
有些幕
函数具有奇偶性。
例如yx2是(-%,+x)内的偶函数,而yx3是(-X,+x)内的奇函数。
指数函数:
函数yax(a>
0,1)叫做指数函数,它的定义域是(-x,+x)。
因为恒有ax>
0,及a0=1,所以指数函数的图形总在x轴上方,且通过点(0,1)。
以常数e=2.71828…为底的指数函数yex,是科技中常用的指数函数,关于常数e的意义本章将详细说明。
指数函数具有单调性。
例如,ye在(-°
°
+x)内是单调增加的,而ye1在(-^,+x)内是单调减少的。
对数函数:
指数函数yax的反函数,记作ylogax(a0,a1),叫做对数函数,它的定义域是(0,°
),对数函数的图形,可以从它所对应的指数函数yax的图形按反函数的作图规则作出。
工程实际问题中常遇到的以e为底的对数函ylog:
叫做自然对数函数,简记作y=lnx。
五、三角函数与反三角函数
常用的三角函数有,正弦函数y=sinx(-°
<
x<
+°
),余弦函数y=cosx
(-°
),正切函数y=tanx(x(2n1)—的全体实数),余切函数
y=cotx(xn的全体实数),其中自变量要用弧度作单位,n为任意整数。
三角函数都具有周期性,正弦函数和余弦函数是以2n为周期的周期函
数;
正切和余切函数是以n为周期的周期函数。
正弦函数和余弦函数的函数值介于-1和1之间,即lSinxl1,bos』1,因此,y=sinx和y=cosx在(-°
+°
)内是有界的,而y=tgx和y=ctgx分别在'
2’丿与(0,n)内是无界的。
反三角函数是三角函数的反函数,对于上述四种三角函数,其相应的反
函数为反正弦函数y=arcsinx(-Kx<
1),反余弦函数y=arccosx
(-Kx<
1),反正切函数y=arctanx(-x<
^),反余切函数y=arc
cotx(-xWxWx)。
反三角函数的图形都可由相应的三角函数的图形按反
函数作图规则作出。
六、复合函数、初等函数
复合函数:
如果y是u的函数y=f(u),而u又是x的函数u=(x),且(x)
的函数值的全部或部分在f(u)的定义域内,那么y通过u的联系也是x的函
数,我们称后一个函数是由函数y=f(u)及u=(x)复合而成的函数,简称复
合函数,记作y=f[(x)],其中u叫做中间变量。
例1设y=sinu,u=x2+1,贝Uy=sin(x2+1)就是x的复合函数。
例2函数yargtanpx可以看成是由y=arctanu和uv;
x复合而成的复合函
复合函数不仅可以由两个函数构成,也可以由更多的函数构成。
初等函数:
由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次函数复合步骤所构
成的并可用一个式子表示的函数,叫初等函数。
川作业(课后平行项目):
P13第4题;
P25第6题
IV课堂小结:
回顾几个基本初等函数的定义域、值域、反函数、图像等性质
V课堂情况记录及课后分析:
W下堂课预习要求:
湖南机电职业技术学院教案
(二)
教师签名:
1.9数列极限1.10函数极限
1、理解数列与函数极限概念;
2、了解极限性质与存在准则。
极限概念的理解,观察法求极限
极限思想的进一步形成,无穷小与极限之间的关系
类比、学导式教学法、讲授法
考勤,检查预习情况
一、数列极限
对于数列yn,如果当n无限增大时,yn无限接近于某个常数A,那么常数A就叫做数列yn当n时的极限。
记作:
limynA或ynA(当n)其中n叫yn的极限过程。
n
可以看出:
nimn0,nim(2十)0,nim
(2)n0,”m55。
一般地,有如下结论:
(1)Hm—0,(0);
nn
⑵”mqn0,(q1);
(3)limcc,(c为常数)。
二、函数的极限
先考察卜面两个例子。
例1设函数f(x)—x1,当自变量x无限接近于0时,不难看出
f(x)1x1无限接近于1,如果用记号表示“无限接近”,上述事
实可以记作,当x0时,f(x)-x11。
常数1叫做当x0时函数
f(x)-x1的极限,x0叫做极限过程。
例2设函数f(x)1。
如果x>
0且无限增大(记作x),可以想见
x
有同样,当x<
0而绝对值无限增大(记作x)时,也有
两种情况合起来,就是当x时,
1.自变量无限接近于有限数时,函数的极限
对于函数y=f(x),如果当自变量x无限接近于X。
时,函数f(x)无限接近某个常数A,那么常数A叫做函数f(x)当x心时的极限。
记作
limf(x)A或f(x)A(当xx°
),
xx
其中xX0叫f(x)的极限过程。
关于极限概念,应注意以下几点:
A所谓“x无限接近于X0”是指x与X0差的绝对值(在数轴上来说是距离)无限减小,至于x以什么方式接近于X0,定义中并不要求,x可以从大于X。
无限接近于X0,也可以从小于X。
无限接近于X0,还可以从两个方向交替地无限接近于Xo。
B所谓“f(x)无限接近于某个常数A”是指|f(x)A|可以任意小。
C定义中XX0是不包括XX0的,故有0|xx0|所以当XX0时,
f(x)有没有极限与f(x)在点X0是否有定义无关。
D函数对于不同的极限过程,可以存在也可以不存在极限,例如
ysin(),当x0时,可证明(性质)limsinx0
x1x0
但当X1时,ysin(——)的值恒在-1和1之间摆动,不无限接近于
x1
某个确定的常数,所以limsinx不存在。
X1
前面已经指出,极限概念中的X
X0,X无限接近于X0的方式是任意的。
但有时只能或只需考虑x仅从小于Xo,即仅从X0的左侧(在数轴上看)无限接近于Xo(记作XXo-0)的情形,或X仅从大于Xo,即仅从Xo的右侧
无限接近于Xo(记作Xxo+O)的情形。
当xXo-0时,f(x)A,A叫做函数f(X)当xXo时的左极限,记作
limf(x)A或f(xoo)A。
xXoo
当XXoo时,f(x)A,A叫做函数f(x)当xXo时的右极限,记
作limf(x)A或f(xoo)A。
Xo
根据上述极限的定义,容易证明。
函数f(x)当XXo时极限存在的必要且充分条件是左极限、右极限各自
存在并且相等。
即f(xoo)f(xoo)
例3,讨论函数
x,xo;
f(x)
x1,xo
当xo时是否存在极限。
解:
limf(x)
limx11,lim
f(x)
limxo
xoo
xooxoo
由于
lim
f(x),
io'
所以limf(x)不存在。
xo
2•自变量趋向无穷大时,函数的极限
对于函数y=f(x),如果当自变量x的绝对值无限增大时,函数f(x)无限接近某个常数A,那么常数A叫做函数f(x)当X时的极限,记作
limf(x)A或f(x)A(当x),
X
其中x叫f(x)的极限过程。
很明显,自变量x的绝对值无限增大包含两种基本形式,即x从某个值开
始取正值无限增大(记作X)和X从某个值开始取负值时其绝对值无限增大(记作X)。
如果当x,(X)时,函数f(x)无限接近某个常数A,那么常
数A叫做函数f(x)当x,(x
)时的极限,记作:
limf(x)A,or,f(x)A,(x)
limf(x)A,or,f(x)A,(x))
例如,考察函数yarctanx的图象,求出下列极限:
limarctanx,limarctanx,limarctanx。
xxx
m作业(课后平行项目):
P38:
3;
P45:
本节通过观察一个数列的变化趋势引入了数列极限及函数极限概念,并认真地对自变量的不同变化趋势情形,讨论了数列和函数极限的存在条件。
最后介绍了无穷小量和无穷大量概念,研究了无穷小量的性质、与极限的关系以及无穷小量与无穷大量之间的关系,内容较多。
W下堂课预习要求:
湖南机电职业技术学院教案(三)
课题§
1.12无穷小与无穷大、极限的运算法则
理解无穷小量与无穷大量定义,了解它们之间的关系以及与极限间的关系;
熟悉极限的四则运算法则和复合函数的极限法则;
提高理解能力与运算技能。
无穷大与无穷小概念,性质;
极限的四则运算法则,复合函数的极限求解。
无穷大与无穷小的理解与运用,极限运算法则的熟练掌握。
启发式教学法;
讲授法。
教学场所、设备要求:
复习引入:
以极限定义及观察法求极限,一般函数的极限的计算有其法则和技巧吗?
一、无穷小与无穷大
1.无穷小:
在研究函数f(x)的极限时,常常遇到这样的情况:
当自变量xx0或x时,函数f(x)的极限为零,即limf(x)0
XXo
这时,我们把函数f(x)叫做当xXo(或x)时的无穷小或无穷小
量。
例1因为lim10,所以1是当x时的无穷小。
Xx
例2因为limsinx0,所以sinx是当x0时的无穷小。
x0
例3因为lim(x2)20,所以(x—2)2是当x2时的无穷小。
应该明白,无穷小是一个以零为极限的变量,不能把它与一个很小的数混淆起来。
因为一个很小的数,如10-8,10-26等,无论它多么小,总是不变的,因此它不能以零为极限。
但是零是唯一可以看作无穷小的数。
无穷小的性质:
(1)有限个无穷小的和是无穷小。
(2)有限个无穷小的乘积是无穷小。
(3)有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
由(3)可以直接推得:
常数与无穷小的乘积是无穷小。
函数极限与无穷小的关系:
定理1:
设函数f(x)的极限为A(xx0或x),即limf(x)A,则
有lim[f(x)A]limf(x)limA=A-A=0
所以,f(x)-A是无穷小,记为a(x),即f(x)A(x)o于是有
f(x)A(x),其中lim(x)0o
因此得到:
有极限的函数可以表示为它的极限与一个无穷小之和,反之,如果函数可以表示为常数与一无穷小之和,则该常数就是函数的极限。
2.无穷大
定义2:
如果当xx0(或x)时,y=f(x)的对应函数值的绝对值无限增大,贝U应当说函数f(x)当xX。
(或x)时为无穷大或无穷大量。
这时按极限的定义,函数的极限是不存在的,但为了便于叙述函数的这一性态,我们也说“函数的极限是无穷大”,并记作
limf(x)(或limf(x))。
Xx°
x
如果在无穷大的定义中,对于X。
邻近的x或|x相当大的X,对应的函数值都是正的(或都是负的),则记作limf(x)(或lim
XX°
xx0
(x)(X)
111
例如,lim—;
limtgx;
lim—2;
lim(―)。
x0xxZ2Dx0x2X0x2
必须注意,x不是数,不可与很大的数(如108、1020等)混为一谈。
3.无穷大与无穷小的关系
定理2:
在自变量的同一变化过程中,如果f(x)的绝对值无限增大,
那么1就会无限减小而趋于零,反之亦然。
所以有:
如果f(x)是无穷大,f(x)
则1是无穷小;
反之,如果f(x)为无穷小(f(x)0,则1为无穷大。
f(x)f(x)
4.无穷小的比较
(1)若lim—0,则称a是比B高阶的无穷小,记作0()。
(2)
若lim
,则称a
是比B低阶的无穷小。
(3)
若lim一c0,则称
a是比B是同阶无穷小;
若
C=1,即lim1,
则称
a与B是等价无穷小,
记作a
B。
例如sinx~x(x0)。
3x2
4因为lim3x2
x0x
0,所以当x0时,3x2是比x高阶的无穷小,即
0(x),(x0)。
例5因为lim1x?
x11x
lim(1x)(1x)
2,所以当x1时,1x与1x是
等价无穷小,即1x2~1x,(x
1)。
极限的运算法则
1.极限的四则运算法则。
求出了某些简单函数的极限,本节再给出
lim下边不标明
上节通过观察函数的变化趋势,
极限的运算法则。
为叙述简便起见,在下面的讨论中,记号
自变量的变化过程,意思是说对
xx0或x
所建立的结论都成立。
设limf(x)=A,limg(x)=B
,C是任意常数,n是正整数。
法则Ilim[f(x)g(x)]lim
f(x)limg(x)AB。
法则Ulim[f(x)g(x)]lim
f(x)limg(x)AB
特别地,当g(x)=C时,有limcf(x)Climf(x)
这就是说,求极限时,常数因子可以提到极限符号外面。
又
Iim[f(x)]n[limf(x)]n。
f(x)limf(x)A,
法则川lim(B0)
g(x)limg(x)B
法则W如果f(x)>
g(x),那么A>
Bo
必须注意,上述法则成立的前提是参与运算的函数存在极限,否则法则不能使用。
例6求lim(3x25x6)
limxcosx,lim
x0x—
1sinx
cosx
lim
3x22x6
8'
2'
例7求01汨小叫呼」
2、复合函数的极限法则
可以证明下述复合函数的极限法则:
定理2设函数yf(u)与函数u(x)满足条件:
(1)limf(u)A;
ua
(2)当xX。
时,(x)a,且lim(x)a。
则复合函数f[(x)]当xx°
xxo
时的极限存在,且limf[(x)]f[lim(x)]A。
xxoxxo
例8求lim<
x2
x8x8
P49:
本节介绍了无穷大与无穷小的概念,无穷小的比较,以及它们在求极限中的应用;
介绍了极限
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