高考数学文一轮复习 对数与对数函数Word文档下载推荐.docx
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log3+lg8+lg25+
=________.
原式=+3(lg2+lg5)+=5.
5
3.已知4a=2,lgx=a,则x=________.
∵4a=22a=2,∴a=.
∴lgx=,∴x=.
4.log225·
log34·
log59=________.
原式=·
·
=·
=8.
8
计算下列各式的值:
(1)log535+2log
-log5-log514;
(2)[(1-log63)2+log62·
log618]÷
log64.
解:
(1)原式=log535+log550-log514+2log
=log5+log
2=log553-1=2.
(2)原式=[(log66-log63)2+log62·
log6(2×
32)]÷
log64
=÷
log622
=[(log62)2+(log62)2+2log62·
log63]÷
2log62
=log62+log63=log6(2×
3)=1.
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简.
(2)将同底对数的和、差、倍合并.
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.
(4)利用常用对数中的lg2+lg5=1.
1.计算:
÷
100
原式=lg×
=lg10-2×
10=-2×
10=-20.
-20
lg5(lg8+lg1000)+(lg2)2+lg+lg0.06=________.
原式=lg5(3lg2+3)+3(lg2)2+lg=3lg5·
lg2+3lg5+3(lg2)2-2=3lg2(lg5+lg2)+3lg5-2=3lg2+3lg5-2=1.
1
3.(2019·
宁波期末)已知4a=5b=10,则+=________.
∵4a=5b=10,∴a=log410,=lg4,b=log510,=lg5,∴+=lg4+2lg5=lg4+lg25=lg100=2.
突破点二 对数函数的图象及应用
1.对数函数的图象
函数
y=logax,a>
y=logax,0<
a<
图象
图象特征
在y轴右侧,过定点(1,0)
当x逐渐增大时,图象是上升的
当x逐渐增大时,图象是下降的
2.底数的大小决定了图象相对位置的高低
不论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大,如图,0<
c<
d<
1<
b.
在x轴上侧,图象从左到右相应的底数由小变大;
在x轴下侧,图象从右到左相应的底数由小变大.
(无论在x轴的上侧还是下侧,底数都按顺时针方向变大)
3.指数函数与对数函数的关系
指数函数y=ax(a>
0且a≠1)与对数函数y=logax(a>
0且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.
(1)对数函数y=logax(a>
0且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),,函数图象不在第二、三象限.( )
(2)函数y=log2(x+1)的图象恒过定点(0,0).( )
(1)√
(2)√
1.已知函数y=loga(x-3)-1的图象恒过定点P,则点P的坐标是________.
y=logax的图象恒过点(1,0),令x-3=1,得x=4,则y=-1.
(4,-1)
2.函数y=log3|2x-m|的图象关于x=对称,则m=________.
3.若f(x)=log2x,则f(x)>
0的x的范围是________.
(1,+∞)
考法一 对数函数图象的辨析
[例1] (2019·
海南三市联考)函数f(x)=|loga(x+1)|的大致图象是( )
[解析] 法一:
函数f(x)=|loga(x+1)|的定义域为{x|x>
-1},且对任意的x,均有f(x)≥0,结合对数函数的图象可知选C.
法二:
的图象可由y=logax的图象左移1个单位,再向上翻折得到,结合选项知选C.
[答案] C
[方法技巧]
研究对数型函数图象的思路
研究对数型函数的图象时,一般从最基本的对数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,要注意底数a>
1或0<
1这两种不同情况.
考法二 对数函数图象的应用
[例2] (2019·
辽宁五校联考)已知函数f(x)=|lnx|.若0<
b,且f(a)=f(b),则a+4b的取值范围是( )
A.(4,+∞) B.[4,+∞)
C.(5,+∞)D.[5,+∞)
[解析] 由f(a)=f(b)得|lna|=|lnb|,
根据函数y=|lnx|的图象及0<
b,得-lna=lnb,0<
b,=b.
令g(b)=a+4b=4b+,易得g(b)在(1,+∞)上单调递增,
所以g(b)>
g
(1)=5.
[易错提醒]
应用对数函数图象求解问题时易出现作图失误导致求解错误,要记准记牢图象的变换规律.
1.函数f(x)=loga|x|+1(0<
1)的图象大致为( )
选A 由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数,图象关于y轴对称.设g(x)=loga|x|,先画出x>
0时,g(x)的图象,然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<
0时g(x)的图象,最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象,结合图象知选A.
2.已知函数f(x)=|log
x|的定义域为,值域为[0,1],则m的取值范围为________.
作出f(x)=|log
x|的图象(如图),可知f=f
(2)=1,f
(1)=0,由题意结合图象知:
1≤m≤2.
[1,2]
3.使log2(-x)<
x+1成立的x的取值范围是________.
在同一坐标系中分别画出函数y=log2(-x)和y=x+1的图象(如图所示),由图象知使log2(-x)<
x+1成立的x的取值范围是(-1,0).
(-1,0)
突破点三 对数函数的性质及应用
对数函数的性质
y=logax(a>
0,且a≠1)
0<
定义域
(0,+∞)
值域
R
单调性
在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
函数值变化规律
当x=1时,y=0
当x>
1时,y>
0;
当0<
x<
1时,y<
(1)当x>
1时,logax>
0.( )
(2)函数y=lg(x+3)+lg(x-3)与y=lg[(x+3)(x-3)]的定义域相同.( )
(3)对数函数y=logax(a>
0,且a≠1)在(0,+∞)上是增函数.( )
(3)×
1.函数y=的定义域为________.
[2,+∞)
2.函数y=log
(3x-1)的单调递减区间为________.
3.函数y=logax(a>
0,a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a=________.
2或
考法一 与对数有关的函数定义域问题
[例1] (2018·
西安二模)若函数y=log2(mx2-2mx+3)的定义域为R,则实数m的取值范围是( )
A.(0,3) B.[0,3)
C.(0,3]D.[0,3]
[解析] 由题意知mx2-2mx+3>
0恒成立.当m=0时,3>
0,符合题意;
当m≠0时,只需解得0<
m<
3.综上0≤m<
3,故选B.
[答案] B
已知f(x)=loga(px2+qx+r)(a>
0,且a≠1)的定义域为R,求参数范围时,要注意分p=0,p≠0讨论.同时p≠0时应结合图象说明成立条件.
考法二 与对数有关的比较大小问题
湖北华中师大第一附属中学期中)设a=2018
,b=log2018,c=log2019,则a,b,c的大小关系为( )
A.a>
b>
cB.a>
c>
b
C.b>
cD.c>
a
[解析] ∵a=2018
>
20180=1,1=log20182018>
b=log2018>
log2018=,c=log2019<
log2019=,所以a>
c.故选A.
[答案] A
[方法技巧] 对数函数值大小比较的方法
单调性法
在同底的情况下直接得到大小关系,若不同底,先化为同底
中间量过渡法
寻找中间数联系要比较的两个数,一般是用“0”,“1”或其他特殊值进行“比较传递”
图象法
根据图象观察得出大小关系
考法三 与对数有关的不等式问题
[例3] 设函数f(x)=
若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是( )
A.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)
[解析] 由题意得
或
解得a>1或-1<a<0.故选C.
简单对数不等式问题的求解策略
(1)解决简单的对数不等式,应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值,再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解.
(2)对数函数的单调性和底数a的值有关,在研究对数函数的单调性时,要按0<
1和a>
1进行分类讨论.
(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.
考法四 对数函数性质的综合问题
[例4] 若函数f(x)=log
(-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)内单调递增,则实数m的取值范围为( )
A.B.
C.D.
[解析] 由-x2+4x+5>0,解得-1<x<5.
二次函数y=-x2+4x+5的对称轴为x=2.由复合函数单调性可得函数f(x)=log
(-x2+4x+5)的单调递增区间为(2,5).要使函数f(x)=log
(-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)内单调递增,只需
解得≤m<2.
解决对数函数性质的综合问题的3个注意点
(1)要分清函数的底数是a∈(0,1),还是a∈(1,+∞).
(2)确定函数的定义域,无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质,都要在其定义域上进行.
(3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性.
1.函数f(x)=的定义域是( )
A. B.∪(0,+∞)
C.D.[0,+∞)
选B 由解得x>
-且x≠0,故选B.
2.设a=log50.5,b=log20.3,c=log0.32,则a,b,c的大小关系是( )
A.b<
cB.b<
C.c<
b<
aD.a>
c
选B a=log50.5>
log50.2=-1,b=log20.3<
log20.5=-1,c=log0.32>
log0.3=-1,log0.32=,log50.5===.∵-1<
lg0.2<
lg0.3<
0,∴<
,即c<
a,故b<
a.故选B.
3.(2019·
湛江模拟)已知loga<
1,那么a的取值范围是________.
∵loga<
1=logaa,故当0<
1时,y=logax为减函数,0<
;
当a>
1时,y=logax为增函数,a>
,∴a>
1.综上所述,a的取值范围是∪(1,+∞).
∪(1,+∞)
4.(2019·
盐城中学月考)已知函数f(x)=loga(0<
1)为奇函数,当x∈(-1,a]时,函数f(x)的值域是(-∞,1],则a+b的值为________.
由>
0,解得-b<
1(b>
0).又奇函数定义域关于原点对称,故b=1.所以f(x)=loga(0<
1).又g(x)==-1+在(-1,a]上单调递减,0<
1,所以f(x)在(-1,a]上单调递增.又因为函数f(x)的值域是(-∞,1],故f(a)=1,此时g(a)=a,即=a,解得a=-1(负根舍去),所以a+b=.
[课时跟踪检测]
[A级 基础题——基稳才能楼高]
1.(log29)(log32)+loga+loga(a>
0,且a≠1)的值为( )
A.2 B.3
C.4D.5
选B 原式=(2log23)(log32)+loga=2×
1+logaa=3.
2.(2018·
衡水名校联考)函数y=
的定义域是( )
A.[1,2]B.[1,2)
选D 由log
(2x-1)≥0⇒0<
2x-1≤1⇒<
x≤1.
3.设a=log3π,b=log2,c=log3,则a,b,c的大小关系是( )
A.a>b>cB.a>c>b
C.b>a>cD.b>c>a
选A 因为a=log3π>log33=1,b=log2<log22=1,所以a>b;
又==(log23)2>1,c>0,所以b>c.故a>b>c.
4.(2019·
武汉调研)函数f(x)=loga(x2-4x-5)(a>
1)的单调递增区间是( )
A.(-∞,-2)B.(-∞,-1)
C.(2,+∞)D.(5,+∞)
选D 由函数f(x)=loga(x2-4x-5)得x2-4x-5>
0,得x<
-1或x>
5.令m(x)=x2-4x-5,则m(x)=(x-2)2-9,m(x)在[2,+∞)上单调递增,又由a>
1及复合函数的单调性可知函数f(x)的单调递增区间为(5,+∞),故选D.
5.已知a>
0,且a≠1,函数y=loga(2x-3)+的图象恒过点P.若点P也在幂函数f(x)的图象上,则f(x)=________.
设幂函数为f(x)=xα,因为函数y=loga(2x-3)+的图象恒过点P(2,),则2α=,所以α=,故幂函数为f(x)=x
.
x
6.函数y=log2|x+1|的单调递减区间为__________,单调递增区间为__________.
作出函数y=log2x的图象,将其关于y轴对称得到函数y=log2|x|的图象,再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y=log2|x+1|的图象(如图所示).由图知,函数y=log2|x+1|的单调递减区间为(-∞,-1),单调递增区间为(-1,+∞).
(-∞,-1) (-1,+∞)
[B级 保分题——准做快做达标]
1.(2019·
广东普通高中学业水平考试)对任意的正实数x,y,下列等式不成立的是( )
A.lgy-lgx=lg B.lg(x+y)=lgx+lgy
C.lgx3=3lgxD.lgx=
选B 由对数的运算性质可知lgx+lgy=lg(xy),因此选项B错误.
2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>
0,且a≠1)的反函数,且f
(2)=1,则f(x)=( )
A.log2xB.
C.log
xD.2x-2
选A 由题意知f(x)=logax(a>
0,且a≠1).
∵f
(2)=1,∴loga2=1.∴a=2.∴f(x)=log2x.
3.已知函数f(x)=lg(+2x)+2,则f(ln2)+f=( )
A.4B.2
C.1D.0
选A 由函数f(x)的解析式可得:
f(x)+f(-x)=lg(+2x)+2+lg(-2x)+2=lg(1+4x2-4x2)+4=4,
∴f(ln2)+f=f(ln2)+f(-ln2)=4.故选A.
衡水中学模考)函数y=的图象可能是( )
选B 易知函数y=为奇函数,故排除A,C;
0时,y=lnx,只有B项符合.故选B.
5.(2019·
菏泽模拟)若函数f(x)=(a>
0,a≠1)的值域为[6,+∞),则a的取值范围是( )
A.(0,1)B.(0,1)∪(1,2)
C.(1,2]D.[2,+∞)
选C 当x≤2时,f(x)∈[6,+∞),所以当x>
2时,f(x)的取值集合A⊆[6,+∞).当0<
1时,A=(-∞,loga2+5),不符合题意;
1时,A=(loga2+5,+∞),若A⊆[6,+∞),则有loga2+5≥6,得1<
a≤2.综上所述,选C.
6.设a,b,c均为正数,且2a=log
a,b=log
b,c=log2c,则a,b,c的大小关系是( )
A.a<b<cB.c<b<a
C.c<a<bD.b<a<c
选A ∵a>0,∴2a>1,∴log
a>1,∴0<a<.
∵b>0,∴0<b<1,∴0<log
b<1,∴<b<1.
∵c>0,∴c>0,∴log2c>0,∴c>1.
∴0<a<<b<1<c,故选A.
7.已知函数f(x)=loga(2x-a)在区间上恒有f(x)>
0,则实数a的取值范围是( )
选A 当0<
1时,函数f(x)在区间上是减函数,所以loga>
0,即0<
-a<
1,解得<
,故<
1;
1时,函数f(x)在区间,上是增函数,所以loga(1-a)>
0,即1-a>
1,解得a<
0,此时无解.综上所述,实数a的取值范围是.
8.(2019·
六安一中一模)计算:
-lg+81
原式=+lg3+3
=1-lg3+lg3+25=26.
26
9.已知函数f(x)=loga(8-ax)(a>
0,且a≠1),若f(x)>
1在区间[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围是________.
1时,f(x)=loga(8-ax)在[1,2]上是减函数,由f(x)>
1在区间[1,2]上恒成立,得f(x)min=loga(8-2a)>
1,解得1<
.当0<
1时,f(x)在[1,2]上是增函数,由f(x)>
1在区间[1,2]上恒成立,得f(x)min=loga(8-a)>
1,解得a>
4,且0<
1,故不存在.综上可知,实数a的取值范围是.
10.若函数f(x)=loga(x2-2x+a)(a>
0,且a≠1)有最小值,则实数a的值等于________.
令g(x)=x2-2x+a,则f(x)=loga[g(x)].①若a>1,由于函数f(x)有最小值,则g(x)应有最小值,而g(x)=x2-2x+a=(x-)2+a-6,当x=时,取最小值a-6,因此有解得a=9.②若0<a<1,由于函数f(x)有最小值,则g(x)应有最大值,而g(x)不存在最大值,不符合题意.综上,实数a=9.
9
11.已知函数f(x)=lg,其中a是大于0的常数.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)当a∈(1,4)时,求函数f(x)在[2,+∞)上的最小值;
(3)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>
0,试确定a的取值范围.
(1)由x+-2>
0,得>
0,当a>
1时,x2-2x+a>
0恒成立,定义域为(0,+∞);
当a=1时,定义域为{x|x>
0且x≠1};
1时,定义域为{x|0<
1-或x>
1+}.
(2)设g(x)=x+-2,当a∈(1,4),x∈[2,+∞)时,∴g′(x)=1-=>
0.因此g(x)在[2,+∞)上是增函数,∴f(x)在[2,+∞)上是增函数.则f(x)min=f
(2)=lg.
(3)对任意x∈[2,+∞),恒有f(x)>
0.即x+-2>
1对x∈[2,+∞)恒成立.∴a>
3x-x2.令h(x)=3x-x2,x∈[2,+∞).由于h(x)=-2+在[2,+∞)上是减函数,∴h(x)max=h
(2)=2.故a>
2时,恒有f(x)>
0.因此实数a的取值范围为(2,+∞).
12.(2019·
邯郸模拟)已知函数f(x)=loga(3-ax).
(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;
(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?
如果存在,试求出a的值;
如果不存在,请说明理由.
(1)∵a>
0且a≠1,设t(x)=3-ax,
则t(x)=3-ax为减函数,
当x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a,
∵当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,
即x∈[0,2]时,3-ax>
0恒成立.
∴3-2a>
0,∴a<
又a>
0且a≠1,
∴a∈(0,1)∪.
(2)由
(1)知函数t(x)=3-ax为减函数.
∵f(x)在区间[1,2]上为减函数,
∴y=logat在[1,2]上为增函数,∴a>
1,
当x∈[1,2]时,t(x)的最小值为3-2a,f(x)的最大值为f
(1)=loga(3-a),
∴即
故不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1.
[C级 难度题——适情自主选做]
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