线性代数教案(正式打印版)文档格式.doc
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,,
得,,
第二节全排列及其逆序数
引例:
用1、2、3三个数字,可以组成多少个没有重复的三位数?
一、全排列
把n个不同的元素排成一列,叫做这个元素的全排列(简称排列).
可将个不同元素按进行编号,则个不同元素的全排列可看成这个自然数的全排列.
个不同元素的全排列共有种.
二、逆序及逆序数
逆序的定义:
取一个排列为标准排列,其它排列中某两个元素的次序与标准排列中这两个元素的次序相反时,则称有一个逆序.
通常取从小到大的排列为标准排列,即的全排列中取为标准排列.
逆序数的定义:
一个排列中所有逆序数的总数称为这个排列的逆序数.
逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列,标准排列规定为偶排列.
例1:
讨论的全排列.
全排列
123
231
312
132
213
321
逆序数
2
1
3
奇偶性
偶
奇
逆序数的计算:
设为的一个全排列,则其逆序数为.
其中为排在前,且比大的数的个数.
例2:
求排列的逆序数.
解:
(对于逆序数的计算介绍另一种算法)
第三节阶行列式的定义
下面可用全排列的方式改写二阶,三阶行列式.
二阶行列式
.
其中:
①是的全排列,②是的逆序数,③是对所有的全排列求和.
三阶行列式
其中:
①是的全排列,②是的逆序数,③是对所有的全排列求和.
①是的全排列,②是的逆序数,③是对所有的全排列求和.
例1.计算对角行列式:
例2.证明对角行列式(其对角线上的元素是,未写出的元素都为0)
证明:
按定义式
例3.证明下三角行列式
按定义式得
以上,阶行列式的定义式,是利用行列式的第一行元素来定义行列式的,这个式子通常称为行列式按第一行元素的展开式.
回顾和小结
小结:
1.二三阶行列式的定义;
2.全排列及其逆序数;
3.阶行列式的定义。
复习思考题或作业题
思考题:
1.计算三阶行列式
2.求排列的逆序数.
作业题:
习题一:
第1(1,3)、2(2,4,6)
实施情况及分析
1.通过学习学员理解了二、三阶行列式和全排列及的定义概念,会计算二、三阶行列式;
2.对其逆序数等方面的应用有待加强.
第
(2)次课授课时间()
第一章第四、五节
《线性代数》(第4版)同济大学编
掌握对换的概念;
掌握阶行列式的性质,会利用阶行列式的性质计算阶行列式的值;
行列式的性质;
3.教学难点:
行列式的性质.
1.教学内容:
对换;
2.时间安排:
3.教学方法:
4.教学手段:
基本内容
第四节
对换
对换的定义:
在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换.
将相邻两个元素对调,叫做相邻对换.
例:
——.
定理1
一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性.
推论
奇排列调成标准排列的对换次数为奇数,
偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.
证明:
由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的
变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立
定理2
:
阶行列式为:
其中为的逆序数.
(以4阶行列式为例,对证明过程作以说明)
(补充)定理3阶行列式也可定义为
其中和是两个级排列,为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.
练习:
试判断和是否都是六阶行列式中的项.
第五节
行列式的性质
转置行列式的定义
记=()
行列式称为行列式的转置行列式(依次将行换成列)
一、阶行列式的性质
性质1:
行列式与它的转置行列式相等.
由此知,行与列具有同等地位.关于行的性质,对列也同样成立,反之亦然.
如:
以r表示第i行,表示第j列.交换两行记为,交换i,j两列记
作.
性质2:
行列式互换两行(列),行列式变号.
推论:
行列式有两行(列)相同,则此行列式为零.
性质3:
行列式的某一行(列)的所有元素乘以数,等于用数乘以该行列式.
行列式的某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号外.
性质4:
行列式中有两行(列)的元素对应成比例,则此行列式为零.
性质5:
若行列式中某一行(列)的元素都是两数之和,则此行列式等于两个行列式之和.
即若
则+.
性质6:
把行列式某一行(列)的元素乘以数再加到另一行(列)上,则该行列式不变.
二、阶行列式的计算:
例1.计算.
例2.
(推广至阶,总结一般方法)
例3.证明:
证明:
左端
例4.计算阶行列式.
(利用递推法计算)
例5.,
证明:
.
对换和阶行列式的性质与计算
1.对换的定义及两个定理;
2.阶行列式的性质与计算;
1.把排列54132作一次对换变为24135,问相当于作几次相邻对换?
把排列12345作偶数次对换后得到的新排列是奇排列还是偶排列?
2.计算:
.
第3,4(2,4),5(2,4,5)
1.通过学习学员掌握了阶行列式的定义和对换的概念;
2.对利用阶行列式的定义和对换等方面的应用有待加强.
第(3)次课授课时间()
第一章第六节
1.《线性代数》(第4版)同济大学编;
了解余子式和代数余子式的概念;
掌握行列式按行(列)展开;
行列式按行(列)展开;
行列式按行(列)展开.
第六节
行列式按行(列)展开
定义在阶行列式中,把元素所处的第行、第列划去,剩下的元素按原排列构成的阶行列式,称为的余子式,记为;
而称为的代数余子式.
引理如果阶行列式中的第行除外其余元素均为零,即:
则:
.
证先证简单情形:
再证一般情形:
定理
行列式等于它的任意一行(列)的各元素与对应的代数余子式乘积之和,即
按行:
按列:
证:
(此定理称为行列式按行(列)展开定理)
例1
解:
例2:
从而解得.
例3.证明范德蒙行列式
其中,记号“”表示全体同类因子的乘积.
证用归纳法
因为
所以,当n=2时,(4)式成立.
现设(4)式对时成立,要证对时也成立.为此,设法把降阶;
从第行开始,后行减去前行的倍,有
(按第一列展开,并提出因子)
阶范德蒙行列式
=
定理的推论
行列式一行(列)的各元素与另一行(列)对应各元素的代数余子式乘积之和为零,即
结合定理及推论,得
,其中
例4.计算行列式的值。
行列式按行(列)展开。
1.余子式和代数余子式的概念;
2.行列式按行(列)展开;
设:
求第一行各元素的代数余子式之和
习题一:
第7(2,3,5,6)
1.通过学习学员理解了余子式和代数余子式的概念,掌握行列式按行(列)展开;
2.对利用行列式按行(列)展开的方法计算行列式等方面的应用有待加强.
第(4)次课授课时间()
第一章第七节
了解克拉默法则的内容,了解克拉默法则的证明,会利用克拉默法则求解含有个未知数个方程的线性方程组的解;
克拉默法则的应用;
克拉默法则的应用.
克拉默法则;
第七节
克拉默法则
含有个未知数的个方程的线性方程组
(1)
与二、三元线性方程组相类似
它的解可以用阶行列式表示.
定理1(Cramer法则)如果线性方程组
(1)的系数行列式不等于零
即
则方程组
(1)有且仅有一组解:
…
(2)
其中是把系数行列式中的第列的元素用方程组右端的常数列代替
而其余列不变所得到的阶行列式
(证明在第二章)
当全为零时,即
称之为齐次线性方程组.显然
齐次线性方程组必定有解().
根据克拉默法则,有
1.齐次线性方程组的系数行列式时
则它只有零解(没有非零解)
2.反之,齐次线性方程组有非零解
则它的系数行列式.
例1.求解线性方程组
系数行列式
同样可以计算
所以,
.
注意:
1.克莱姆法则的条件:
个未知数
个方程
且
2.用克莱姆法则求解方程组运算量大一般不采用它求解方程组。
3.克莱姆法则具有重要的理论意义。
4.克莱姆法则说明线性方程组的解与它的系数、常数项之间的依存关系.
例2.用克拉默法则解方程组
例3.已知齐次线性方程组
有非零解
问应取何值?
解系数行列式
由:
得
克拉默法则.
1.内容;
2.应用.
当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默法则解方程组?
为什么?
此时方程组的解为何?
习题一第8
(2)、9(2
4)
1.通过学习学员理解了解克拉默法则的内容
了解克拉默法则的证明
会利用克拉默法则求解含有个未知数个方程的线性方程组的解;
2.对利用克拉默法则等方面的应用有待加强.
第(5)次课授课时间()
第二章第一、二节
教材
和参考书
1.《线性代数》(第四版)同济大学编;
2.同济大学胡一鸣编《线性代数辅导及习题精解》;
3.孙建东等编《线性代数知识点与典型例题解析》。
1.教学目的:
了解矩阵的概念;
掌握矩阵的运算;
2.教学重点:
矩阵的概念和矩阵的运算;
矩阵的概念和矩阵的运算。
矩阵;
矩阵的运算;
黑板讲解与多媒体演示。
第一节矩阵
一、矩阵的定义
称行、列的数表
为矩阵,或简称为矩阵;
表示为
或简记为,或或;
其中表示中第行,第列的元素。
其中行列式为按行列式的运算规则所得到的一个数;
而矩阵是个数的整体,不对这些数作运算。
例如,公司的统计报表,学生成绩登记表等,都可写出相应的矩阵。
设,都是矩阵,当
则称矩阵与相等,记成。
二、特殊形式
阶方阵:
矩阵
行矩阵:
矩阵(以后又可叫做行向量),记为
列矩阵:
矩阵(以后又可叫做列向量),记为
零矩阵:
所有元素为的矩阵,记为
对角阵:
对角线元素为,其余元素为的方阵,记为
单位阵:
对角线元素为1,其余元素为0的方阵,记为
三、线性变换的系数矩阵
线性变换的定义:
设变量能用变量线性表示,即
这里为常数。
这种从变量到变量的变换称为线性变换。
线性变换由个元函数组成,每个函数都是变量的一次幂,故而称之为线性变换。
上式的系数可构成一个矩阵
称之为线性变换的系数矩阵。
线性变换和系数矩阵是一一对应的。
如,直角坐标系的旋转变换(变量到变量的变换)
的系数矩阵为.
恒等变换
的系数矩阵为
例.
同样,齐次线性方程组
与系数矩阵,也是一一对应的.
非齐次线性方程组
与增广矩阵也是一一对应的。
第二节矩阵的运算
一、加法
设,,都是矩阵,则加法定义为
显然,
①,②
二、数乘
设是数,是矩阵,则数乘定义为
显然
①,②,③
三、乘法
乘法运算比较复杂,首先看一个例子
设变量到变量的线性变换为
变量到变量的线性变换为
那么,变量到变量的线性变换应为
即
定义矩阵
和
的乘积为
按以上方式定义的乘法具有实际意义.由此推广得到一般定义
设,,则乘法定义为
其中
注:
两个矩阵相乘要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数;
乘积矩阵的行数为前一个矩阵的行数,列数为后一个矩阵的列数;
乘积矩阵的第行,第列元素为前一个矩阵的第行元素与后一个矩阵的第行元素对应相乘再相加。
例:
设,,则
例:
设,,求及。
,
由此发现:
(1),(不满足交换律)
(2),,但却有。
一个必须注意的问题:
1.若,,,则成立,当时,不成立;
2.即使,,则是阶方阵,而是阶方阵;
3.如果,都是阶方阵,例如,,则,而
综上所述,一般(即矩阵乘法不满足交换率)。
下列性质显然成立:
①,②,
②,
几个运算结果:
1.;
2.;
3.若为矩阵,是阶单位阵,则;
若是阶单位阵,则;
4.线性变换的矩阵表示:
设,
,,
则
5.线性方程组的矩阵表示:
则
矩阵的幂:
例.证明
证明用归纳法:
时,显然成立,假定时成立,则时
从而结论成立.
由于是直角坐标旋转角度变换的系数矩阵,故而是旋转了角度变换的系数矩阵.
四、转置
设,记
则称是的转置矩阵。
显然,
①,②,③,④。
对称矩阵的定义:
若矩阵满足(即),则称是对称阵
例.设是矩阵,证明是阶对称阵,是阶对称阵.
例.设,且,为阶单位阵,,
①是对称阵,②.
证明,
故是对称阵。
五、方阵的行列式
为阶方阵,其元素构成的阶行列式称为方阵的行列式,记为或。
显然,
①,②,③。
例.设
记
,
其中是的代数余子式,称为的伴随阵.
证明设
设
例.设为阶实方阵,且,求.
注意到
由,得,
由于,故.
六、共轭矩阵
为复矩阵,为的共轭复数,则称为的共轭矩阵.
①,②,③
小结:
矩阵的概念和矩阵的运算:
1.矩阵的概念;
2.矩阵的运算;
1.矩阵与行列式的有何区别?
2.设与为阶方阵,问等式
成立的充要条件是什么?
习题二第2、3、4(2,3,5)、7
1.通过学习使学员理解矩阵的概念,掌握了矩阵的运算;
2.对利用矩阵的运算法则的应用有待加强.
第(6)次课授课时间()
第二章第三节
2.同济大学胡一鸣编《线性代数辅导及习题精解》;
理解逆矩阵的概念;
掌握逆矩阵的性质和计算方法;
逆矩阵概念和计算;
逆矩阵概念和计算。
逆矩阵;
第三节逆矩阵
一、逆阵的定义
引入:
设给定一个线性变换
可表示为矩阵方程
(1)
其中,,,
由克莱姆法则知,若,则
(1)有唯一解。
如果存在阶方阵,使得,则
(1)的解可用矩阵乘积表出:
(2)
称为矩阵方程
(2)的解。
定义设为阶方阵,若存在一个阶方阵,使得
则称方阵可逆,并称方阵为的逆矩阵,记作,
若,则
性质1若存在,则必唯一.
证明设、都是的逆阵,则有
(唯一).
性质2若可逆,则也可逆,且
证明可逆,,从而也可逆,且。
性质3若可逆,则可逆,且
证明
从而,于是
性质4若同阶方阵、都可逆,则也可逆,且
所以可逆,且
二、逆阵存在的条件及逆阵的求法
定义3.由的行列式
中元素的代数余子式构成的阶方阵,记作,即称为的伴随矩阵.
例1.设,求
因为,,,
,,,
,,
所以
定理方阵可逆且
证明
必要性:
可逆,即有存在,使得,
两边取行列式得
故
充分性:
由行列式的性质7和Laplace定理知
于是
因为,故有
从而
推论设为阶方阵,若存在阶方阵,使得,(或),则。
,,故存在。
于是
求时,只需要验算,计算量减半。
例2.判断下列方阵,是否可逆?
若可逆,求其逆阵。
,,所以不可逆,可逆,并且
三、用逆矩阵法解线性方程组
在第一节中,线性方程组可表示为矩阵方程,若,则,得到的解。
例3.解线性方程组
其矩阵式为
因,
所以
所以其解为
例4.求解矩阵方程,其中
,,.
易知,,则
1.1.逆矩阵的概念
2.2.矩阵可逆的充分必要条件
3.利用伴随矩阵求逆矩阵
试分析以下给出的解答的错误,并给出正确的解答.
已知,求
错误解法:
由于,所以存在
故有
习题11-1第3(1,3)、4(2,4)
实
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