13规律探究Word格式.docx
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2.(2014•北京)在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y),我们把点P′(﹣y+1,x+1)叫做点P伴随点.已知点A1的伴随点为A2,点A2的伴随点为A3,点A3的伴随点为A4,…,这样依次得到点A1,A2,A3,…,An,….若点A1的坐标为(3,1),则点A3的坐标为 (﹣3,1) ,点A2014的坐标为 (0,4) ;
若点A1的坐标为(a,b),对于任意的正整数n,点An均在x轴上方,则a,b应满足的条件为 ﹣1<a<1且0<b<2 .
【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点,不难发现,每4个点为一个循环组依次循环,用2014除以4,根据商和余数的情况确定点A2014的坐标即可;
再写出点A1(a,b)的“伴随点”,然后根据x轴上方的点的纵坐标大于0列出不等式组求解即可.
∵A1的坐标为(3,1),
∴A2(0,4),A3(﹣3,1),A4(0,﹣2),A5(3,1),
…,
依此类推,每4个点为一个循环组依次循环,
∵2014÷
4=503余2,
∴点A2014的坐标与A2的坐标相同,为(0,4);
∵点A1的坐标为(a,b),
∴A2(﹣b+1,a+1),A3(﹣a,﹣b+2),A4(b﹣1,﹣a+1),A5(a,b),
∵对于任意的正整数n,点An均在x轴上方,
∴
,
解得﹣1<a<1,0<b<2.
(﹣3,1),(0,4);
﹣1<a<1且0<b<2.
【点评】本题是对点的变化规律的考查,读懂题目信息,理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键,也是本题的难点.
3.(2014•泰安)如图,在平面直角坐标系中,将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置,点B、O分别落在点B1、C1处,点B1在x轴上,再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置,点C2在x轴上,将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置,点A2在x轴上,依次进行下去….若点A(
,0),B(0,4),则点B2014的横坐标为 10070 .
【分析】首先利用勾股定理得出AB的长,进而得出三角形的周长,进而求出B2,B4的横坐标,进而得出变化规律,即可得出答案.
由题意可得:
∵AO=
,BO=4,
∴AB=
∴OA+AB1+B1C2=
+
+4=6+4=10,
∴B2的横坐标为:
10,B4的横坐标为:
2×
10=20,
∴点B2014的横坐标为:
×
10=10070.
10070.
【点评】此题主要考查了点的坐标以及图形变化类,根据题意得出B点横坐标变化规律是解题关键.
4.(2015•甘孜州)如图,正方形A1A2A3A4,A5A6A7A8,A9A10A11A12,…,(每个正方形从第三象限的顶点开始,按顺时针方向顺序,依次记为A1,A2,A3,A4;
…)的中心均在坐标原点O,各边均与x轴或y轴平行,若它们的边长依次是2,4,6…,则顶点A20的坐标为 (5,﹣5) .
【分析】由
=5易得A20在第四象限,根据A4的坐标,A8的坐标,A12的坐标不难推出A20的坐标.
∵
=5,
∴A20在第四象限,
∵A4所在正方形的边长为2,
A4的坐标为(1,﹣1),
同理可得:
A8的坐标为(2,﹣2),A12的坐标为(3,﹣3),
∴A20的坐标为(5,﹣5),
(5,﹣5).
【点评】本题考查坐标与图形的性质,解题关键是首先找出A20所在的象限.
5.(2011•南城县模拟)如图,已知A1(1,0),A2(1,﹣1),A3(﹣1,﹣1),A4(﹣1,1),A5(2,1),…,则点A2010的坐标是 (503,﹣503) .
【分析】经过观察可得在第一象限的在格点的正方形的对角线上的点的横坐标依次加1,纵坐标依次加1,在第二象限的点的横坐标依次加﹣1,纵坐标依次加1;
在第三象限的点的横坐标依次加﹣1,纵坐标依次加﹣1,在第四象限的点的横坐标依次加1,纵坐标依次加﹣1,第二,三,四象限的点的横纵坐标的绝对值都相等,并且第三,四象限的横坐标等于相邻4的整数倍的各点除以4再加上1.
易得4的整数倍的各点如A4,A8,A12等点在第二象限,
∵2010÷
4=502…2;
∴A2010的坐标在第四象限,
横坐标为(2010﹣2)÷
4+1=503;
纵坐标为﹣503,
∴点A2010的坐标是(503,﹣503).
(503,﹣503).
【点评】本题考查了学生阅读理解及总结规律的能力,解决本题的关键是找到所求点所在的象限,难点是得到相应的计算规律.
6.(2015•黑龙江)如图,在平面直角坐标系中,点A(0,
)、B(﹣1,0),过点A作AB的垂线交x轴于点A1,过点A1作AA1的垂线交y轴于点A2,过点A2作A1A2的垂线交x轴于点A3…按此规律继续作下去,直至得到点A2015为止,则点A2015坐标为 (﹣31008,0), .
【分析】分别写出A1、A2、A3的坐标找到变化规律后写出答案即可.
∵A(0,
)、B(﹣1,0),
∴AB⊥AA1,
∴A1的坐标为:
(3,0),
A2的坐标为:
(0,﹣3
),A3的坐标为:
(﹣9,0),
…
∵2015÷
4=503…3,
∴点A2015坐标为(﹣31008,0),
(﹣31008,0).
【点评】本题考查了规律型问题,解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律,利用得到的规律解题.
7.(2015•合川区校级模拟)在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点.请你观察图中正方形A1B1C1D1,A2B2C2D2,A3B3C3D3…每个正方形四条边上的整点的个数.按此规律推算出正方形A10B10C10D10四条边上的整点共有 80 个.
【分析】根据题意可知:
A1B1C1D1四条边上的整点共有4+4×
1=8,A2B2C2D2四条边上的整点共有4+4×
3=16,正方形A3B3C3D3四条边上的整点的个数有4+4×
5=24,依此类推得到算式是4+4×
19,即可求出答案.
A1B1C1D1四条边上的整点共有8个,即4+4×
1=8,
A2B2C2D2四条边上的整点共有16个,即4+4×
3=16,
正方形A3B3C3D3四条边上的整点的个数有4+4×
5=24,
…正方形A10B10C10D10四条边上的整点的个数有:
4+4×
19=80,
80.
【点评】本题主要考查对有关正方形的性质和网格题问题的理解和掌握,总结出规律是解此题的关键.
8.(2014•莱芜)如图在坐标系中放置一菱形OABC,已知∠ABC=60°
,连续翻转2014次,点B的落点依次为B1,B2,B3,…,则B2014的坐标为 (1342,0) .
【分析】连接AC,根据条件可以求出AC,画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形,容易发现规律:
每翻转6次,图形向右平移4.由于2014=335×
6+4,因此点B4向右平移1340(即335×
4)即可到达点B2014,根据点B4的坐标就可求出点B2014的坐标.
连接AC,如图所示.
∵四边形OABC是菱形,
∴OA=AB=BC=OC.
∵∠ABC=60°
∴△ABC是等边三角形.
∴AC=AB.
∴AC=OA.
∵OA=1,
∴AC=1.
画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形,如图所示.
由图可知:
每翻转6次,图形向右平移4.
∵2014=335×
6+4,
∴点B4向右平移1340(即335×
4)到点B2014.
∵B4的坐标为(2,0),
∴B2014的坐标为(2+1340,0),
∴B2014的坐标为(1342,0).
(1342,0).
【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识,考查了操作、探究、发现规律的能力.发现“每翻转6次,图形向右平移4”是解决本题的关键.
9.(2009•延庆县一模)一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动,在第一秒钟,它从原点运动到(0,1),然后接着按图中箭头所示方向运动,即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→…,且每秒移动一个单位,那么第35秒时质点所在位置的坐标是 (5,0) .
【分析】由题目中所给的质点运动的特点找出规律,即可解答.
质点运动的速度是每秒运动一个单位长度,(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)用的秒数分别是1秒,2秒,3秒,到(2,0)用4秒,到(2,2)用6秒,到(0,2)用8秒,到(0,3)用9秒,到(3,3)用12秒,到(4,0)用16秒,依此类推,到(5,0)用35秒.
故第35秒时质点所在位置的坐标是(5,0).
【点评】解决本题的关键是正确读懂题意,能够正确确定点运动的顺序,确定运动的距离,从而可以得到到达每个点所用的时间.
10.(2010•淅川县一模)如图,在平面直角坐标系上有个点P(1,0),点P第1次向上跳动1个单位至点P1(1,1),紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2(﹣1,1),第3次向上跳动1个单位,第4次向右跳动3个单位,第5次又向上跳动1个单位,第6次向左跳动4个单位,…,依此规律跳动下去,点P第99次跳动至点P99的坐标是 (﹣25,50) ;
点P第2009次跳动至点P2009的坐标是 (503,1005) .
【分析】解决本题的关键是根据图形,写出各点坐标,利用具体数值分析出题目的规律,再进一步解答.
注意到第奇数次都是向上跳一个单位,而偶数次跳的次数也是有规律的,所以第99次向上跳了49个单位,向左跳了51个单位,接下来的计算就清楚,你自己好好想想吧.
由题中规律可得出如下结论:
设点Pm的横坐标的绝对值是n,
则在y轴右侧的点的下标分别是4(n﹣1)和4n﹣3,
在y轴左侧的点的下标是:
4n﹣2和4n﹣1;
判断P99的坐标,就是看99=4(n﹣1)和99=4n﹣3和99=4n﹣2和99=4n﹣1这四个式子中哪一个有负整数解,从而判断出点的横坐标.
由上可得:
点P第99次跳动至点P99的坐标是(﹣25,50);
点P第2009次跳动至点P2009的坐标是(503,1005).故两空分别填(﹣25,50)、(503,1005).
【点评】本题的关键是分析出题目的规律,找出题目中点的坐标与点的下标之间的关系,总结规律是近几年出现的常见题目.
11.(2006•河南)如图,把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中,使OA、OC分别落在x轴、y轴上,连接OB,将纸片OABC沿OB折叠,使点A落在A′的位置上.若OB=
,求点A′的坐标为 (﹣\frac{3}{5},\frac{4}{5}) .
【分析】由已知条件可得:
BC=1,OC=2.设OC与A′B交于点F,作A′E⊥OC于点E,易得△BCF≌△OA′F,那么OA′=BC=1,设A′F=x,则OF=2﹣x.利用勾股定理可得A′F=
,OF=
,利用面积可得A′E=A′F×
OA′÷
OF=
,利用勾股定理可得OE=
,所以点A’的坐标为(
).
∵OB=
∴BC=1,OC=2
设OC与A′B交于点F,作A′E⊥OC于点E
∵纸片OABC沿OB折叠
∴OA=OA′,∠BAO=∠BA′O=90°
∵BC∥A′E
∴∠CBF=∠FA′E
∵∠AOE=∠FA′O
∴∠A′OE=∠CBF
∴△BCF≌△OA′F
∴OA′=BC=1,设A′F=x
∴OF=2﹣x
∴x2+1=(2﹣x)2,
解得x=
∴A′F=
∵A′E=A′F×
∴OE=
∴点A’的坐标为(
(
【点评】解决本题的关键是利用三角形的全等得到点A′所在的三角形的一些相关的线段的长度,进而利用面积的不同表示方法和勾股定理得到所求的点的坐标.
12.(2012•江东区校级自主招生)在平面直角坐标系中,横坐标,纵坐标都为整数的点称为整点.请你观察图中正方形A1B1C1D1,A2B2C2D2,A3B3C3D3…每个正方形四条边上的整点的个数,若累计到正方形AnBnCnDn时,整点共有1680个,则n= 20 .
【分析】寻找规律:
第n个正方形上的整点个数是:
4+4(2n﹣1)=8n.得方程求解.
正方形A1B1C1D1上的整点个数是8,
正方形A2B2C2D2上的整点个数是16,
正方形A3B3C3D3上的整点个数是24,
则第n个正方形上的整点个数是:
4+4(2n﹣1)=8n.
累计到正方形AnBnCnDn时,整点共有8(1+2+…+n),即8(1+2+…+n)=1680,
=210,解得n1=20,n2=﹣21(舍去).
20.
【点评】本题需要通过找每个正方形上的整点个数的规律,得出一般结论,再进一步求和.
13.(2007•遂宁)如图,在平面直角坐标系中,有若干个整数点,其顺序按图中“→”方向排列,如(1,0),(2,0),(2,1),(3,2),(3,1),(3,0)…根据这个规律探究可得,第88个点的坐标为 (13,3) .
【分析】由图形得出点的个数依次是1、2、3、4、5、…,且横坐标是偶数时,箭头朝上,求出1+2+…+12<88,1+2+3+…+13>88,得出点的横坐标,根据箭头的方向得出点的纵坐标,即可得出结论.
由图形可知:
点的个数依次是1、2、3、4、5、…,且横坐标是偶数时,箭头朝上,
∵1+2+3+4+…+10=55,
∴88﹣55=33,
∵11+12=23<33,11+12+13=36>33,88﹣55﹣23=10,
∴第88个点的横坐标是13,纵坐标是13﹣10=3,
即第88个点的坐标是(13,3),
(13,3).
【点评】本题考查了学生的观察图形的能力和理解能力,解此题的关键是根据图形得出规律,题目比较典型,但是一道比较容易出错的题目.
14.(2015•荣成市校级模拟)如图,在边长为单位1的方格纸上,△A1A2A3,△A3A4A5,△A5A6A7,…,都是斜边在x轴上、斜边长分别为2,4,6,…的等腰直角三角形.若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2,0),A2(1,﹣1),A3(0,0),则依图中所示规律,顶点A2014的坐标为 (1,﹣1007) .
【分析】根据脚码确定出脚码为偶数时的点的坐标,得到规律当脚码是2、6、10…时,横坐标为1,纵坐标为脚码的一半的相反数,进而得出,A2014横坐标为1,纵坐标即可解答.
∵各三角形都是等腰直角三角形,
∴直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半,
A2(1,﹣1),A4(2,2),A6(1,﹣3),A8(2,4),A10(1,﹣5),A12(2,6),
∴当脚码是2、6、10…时,横坐标为1,纵坐标为脚码的一半的相反数
∴点A2014在第四象限,横坐标是1,纵坐标是﹣2014÷
2=﹣1007,
∴A2014的坐标为(1,﹣1007).
(1,﹣1007).
【点评】本题考查了点的坐标规律的变化,仔细观察图形,得出纵坐标变化规律是解题的关键.
15.(2009•萧山区校级模拟)如图所示,在平面直角坐标系中,有若干个整数点,其顺序按图中箭头方向排列,如(1,0),(2,0),(2,1),(3,2),(3,1),(3,0),…,根据这个规律探索可得,第102个点的坐标为 (14,10) .
【分析】应先判断出第102个数在第几行,第几列,再根据分析得到的规律求解.
把第一个点(1,0)作为第一列,(2,1)和(2,0)作为第二列,依此类推,则第一列有一个数,第二列有2个数,第n列有n个数.则n列共有
个数,并且在奇数列点的顺序是由上到下,偶数列点的顺序由下到上.
因为105=1+2+3+…+14,则第102个数一定在第14列,由下到上是第11个数.因而第102个点的坐标是(14,10).
故答案填:
(14,10).
【点评】本题考查了学生阅读理解并总结规律的能力,解决的关键是能正确找出题目中点的规律.
16.(2012•莱芜)将正方形ABCD的各边按如图所示延长,从射线AB开始,分别在各射线上标记点A1、A2、A3、…,按此规律,点A2012在射线 AB 上.
【分析】把射线AB,CD,BC,DA上面的点分别列举,再找到规律,由规律即可求出点A2012所在的射线
如图所示:
点名称
射线名称
AB
A1
A3
A10
A12
A17
A19
A26
A28
CD
A2
A4
A9
A11
A18
A20
A25
A27
BC
A5
A7
A14
A16
A21
A23
A30
A32
DA
A6
A8
A13
A15
A22
A24
A29
A31
根据表格中点的排列规律,可以得到点的坐标是每16个点排列的位置一循环,
因为2012=16×
125+12,所以点A2012所在的射线和点A12所在的直线一样.
因为点A12所在的射线是射线AB,所以点A2012在射线AB上,
AB.
【点评】本题考查了点的坐标规律,是一个规律探索题,可以列出点的排列规律从中得到规律,在变化的点中找到其排列直线的不变的规律,此类问题的排列通常是具有周期性,按照周期循环,难度适中.
17.(2014•绥化)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(1,1),B(﹣1,1),C(﹣1,﹣2),D(1,﹣2),把一根长为2014个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在A处,并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在四边形ABCD的边上,则细线的另一端所在位置的点的坐标是 (﹣1,﹣1) .
【分析】根据点的坐标求出四边形ABCD的周长,然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度,从而确定答案.
∵A(1,1),B(﹣1,1),C(﹣1,﹣2),D(1,﹣2),
∴AB=1﹣(﹣1)=2,BC=1﹣(﹣2)=3,CD=1﹣(﹣1)=2,DA=1﹣(﹣2)=3,
∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10,
2014÷
10=201…4,
∴细线另一端在绕四边形第202圈的第4个单位长度的位置,
即线段BC的中间位置,点的坐标为(﹣1,﹣1).
(﹣1,﹣1).
【点评】本题主要考查了点的变化规律,根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度,从而确定2014个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键.
18.(2014•丹东)如图,在平面直角坐标系中,A、B两点分别在x轴和y轴上,OA=1,OB=
,连接AB,过AB中点C1分别作x轴和y轴的垂线,垂足分别是点A1、B1,连接A1B1,再过A1B1中点C2作x轴和y轴的垂线,照此规律依次作下去,则点Cn的坐标为 ({\frac{1}{2^n},\frac{{\sqrt{3}}}{2^n}}) .
【分析】首先利用三角形中位线定理可求出B1C1的长和C1A1的长,即C1的横坐标和纵坐标,以此类推即可求出点Cn的坐标.
∵过AB中点C1分别作x轴和y轴的垂线,垂足分别是点A1、B1,
∴B1C1和C1A1是三角形OAB的中位线,
∴B1C1=
OA=
,C1A1=
OB=
∴C1的坐标为(
),
同理可求出B2C2=
=
,C2A2=
∴C2的坐标为(
…以此类推,
可求出BnCn=
,CnAn=
∴点Cn的坐标为
.
【点评】本题考查了规律型:
点的坐标的求解,用到的知识点是三角形中位线定理,解题的关键是正确求出C1和C2点的坐标,由此得到问题
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