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2.在空间总角处标系中,点刈(-1,3,4)关于乂轴的对称点的处标是(-1-3-4);
关于y轴的对漱点是(1,3,—4);
关于z轴的对称点是(1,-3,4)。
3.在空间在角坐标系屮,点M(-2,-5,6)在敢巧平面上的投影点坐标是(-2-5,0):
在yg平面上的投影点是(0-5,6);
在兀穴平而上的投影点是(-2,0,6);
在x轴上的投影点是(-2,0,0);
在y轴上的投影点是(0-5,0):
在z轴上的投影点是(0,0,6)。
4.在空间直角坐标系中,点3)至Ikoy平新的距离是一3;
至U)s平面的距离是:
到兀%平面的距离是一1;
到原点的距离是辰;
到兀轴的距离是価;
到y轴的距离是卫3;
到z轴的距离是迈。
———3
二、已知点4(123),B(—123),M点在连接A、B的肓线上,且AM:
MB=一一,求点M的坐标。
2
设M的坐标为d,y,z),则冇而=(x—l,y—2,z—3),^=(—l—x,2—y,3—z),由条件,
—~—=-——=——-=x=—5,y=2,z=3,.:
M(—5,2,3)。
-1-%2-y3-z2
三、已知向量a=(3,5,-l),求&
的方向余弦及与a平行的单位向量。
设a的方向余弦为cosa,cos0,cos了,则
四、设"
(一3,5,-1),0=(2,2,3)』=(4,-1,3),计算2a—30+4厂。
2cr-3/?
+4/=(-6-6+16,10-6-4-2-9+12)=(4,0,1)。
五、设三力瓦"
+3j+2人可=-2i+3./-4匕可=3i-4j-5k作用于一点,求合力的大小和方向余
弦。
合力尸二亓+可+可=(2,2,7),方向余弦为:
3.QX0=
习题三向量的内积和外积
1、判断题:
1.若a・p=a・y,FLaH,则0=丫。
2.a.p.y共面的充分必耍条件是&
•(0xy)=0。
0jr
二、已知向量a和0的夹角0=二,阀=3,||0||=4,试计算
1)a・0=阀制cos©
=3x4x(——)=-6;
2)加+0『=(a+0)•(&
+0)=加『+•0+1|0『=9+2x(-6)+16=13;
3)(3q-20).(q+20)=3||q『一4||0『+4^/?
=3x9-4x16+4x(-6)=-61o
三、证明:
向量co=0(a-•0)和向量a垂直。
由于e・a=(0(a•/)一y(a・0))・a=(a•0)(Q•/)-(a•0)(a•/)=0,所以
0与a垂直。
四、已知©
与0垂直,且M=3,11^1=4,计算:
1.||(ax0)x(a-0)||;
2.||(3a_0)x(a_20)||。
1)因为qx0与q,0都垂总,所以与&
一0也垂直,因此,
||(6Zxx(a-/?
)||=||ax/3^a-(3-a0a-(3=3x4x5=60。
注:
因为a与0垂直,所以加一0『二加『+“『=25。
2)||(3a-/?
)x((7-2/?
)||=||_6ax0_0x外=”50x创=5|御制siny=60。
五、已知向量a、队丫不共线,证明:
&
+0+7=〃的充要条件是6ZX/?
=/?
X/=/X6To
=•.•a+/3+y=0:
.a=一(0+y),qx0=—(0+了)x0=—了x0=0x厂,
类似可证0x丫=yxq。
<
=由ax0=0x〃(q+0+刃x0=qx0-0xy=&
类似可证(6Z+0+刃XQ=
(a+0+刃xy=0,.•.存在常数p],k,2,心使得:
a+p+Y=k{a=k2P=k3y,若
a+p+y0,则k“心都不为0,从而a=-—/3=彳亍于0,Q平行于
~kik\
y,从而a,0,y共线,矛盾,所以a++y=00
六、已知:
a-2,||/?
||=5,<
6f,/?
>
=——,0=加+170,y=30。
问:
1)几为何值时,。
与了平行;
2)兄为何值时,69与了垂直。
解1)刀x/=(2q+170)x(3q—0)=—(2+51)4x0,当0与7平行时,
2兀
69x了=0,T〈Q,0〉=——,.•.QX0工&
2=-51c
2)e・了=GU+170)•(3a-0)=32||a||2-加・0+510•a-17||0『=172一680,
因为69与了垂直,所以69•/=0,/I=40o
七、已知:
|a||=3,||/?
||=26,||ax0^=72,求a・0。
•.•加x0]=问制sin〈a,0〉,a・0=制制cos〈a,0〉,.・.||ax0『+(a・0尸=加『||0『,因此,a・p=土』|q『||0『一||qx0『=±
j7/—722=±
30。
八、若a+30与7&
-50垂直,a_40Wa_20垂直,求a与0的夹角。
由题设,(q+30)・(7g—50)=7加『一15卜『+16"
0=0
(1)
(a一40)•(7a-20)=7加『+8||0『一30a•0=0
(2)
由
(1)、⑵可得:
制卜||0||,2°
.0=||0『,・"
・0=耳阀|||0||,・・・5乂久0)=+,仏0〉=£
。
九、已知AB=a-2p^AD=a-3pf其中||«
||=5,||/?
||=3,<
a,/?
=-,求三角形ABD的面积。
6
S^bd=*(ABXAd|=*||(a-20)X(a-30)||=*|卜ax0||=*问训丽〈。
0〉
1—115
=—x5x3x—=—
224
习题四向量运算的坐标表示及其运算
一、填空题:
1.平行于x轴的向量一般表示式是(x,0,0);
平行于y轴的向量一般表示式是(0,y,0);
平行于z轴的向量一般表示式是(0,0,z)。
3.向量a=(—2,3,耳),(3=(t2-6,2),当a=—1与『2=4时,a与0平行。
二、设三力Fi=(3-4,2),F2=(2,3-5),F.=(-3-2,4)作用于一质点,使质点产生的位移向量
S=-/-4j+lU,求合力所做的功W。
解:
合力戸話+E+E=(2,-3,1),W=FS=(2-3,1)•(_1,-4,11)=21。
一、若向=(3-1,4)的起点和点M(l,2,-3)重合,试确定它的终点“的坐标。
设N的坐标为(x,y,z),则a=M^=(x-l,y-2,z+3)=(3-l,4),/.x=4,y=l,z=l,
所以,7V(4,1,1)o
二、从点A(2-l,7)作向使TdBUa,其中a=8j+9j—12k,.Fl.=34,求点B的坐标。
设B的坐标为(兀,y,z),则AB=(x—2,y+l,z—7),由于平行于a,所以不効设AB=ka,
则x—2=%,y+l=9R,z—7=—12R,由乔卜34知:
(阴2+(9灯2+(_12灯2=3军北=±
2,x=18x=一14
.•.7=17或Jy=-19,所以B(18,17,-1刀或B(-14,-19,31)o
z=-17z=31
三、向量&
二(2,3,1)在向量0二(1-1,2)上的投影向量。
向量«
=(2,3,1)在向量0=(1,-1,2)上的投影向量为
s01111、
||0『6663
四、求单位向量,使它和向量a=i—3j+k,0=2i—j+k都垂直。
显然QX0同吋垂直于a、卩,qx0=(-2,1,5),所以所求单位向量为
五、三角形的三个顶点为A(4,-1,2)』(—8,0,4),C(8,2,3),求其而积。
AB=(-12,1,2),AC=(4,3,1),/.xAc||=l||(-5,20,-40)||=yo
六、
(1)向量a=(8,-3,2),0=(0,2,-1)』=(1,2,3)是否共而?
若不共而,试计算以这三个向量为棱所作的平行六面体体积。
8-32
因为(ax0)・y=O2—1=63hO,所以弘0』不共面,以这三个向量为棱所作的
123
平行六面体体积V=|(6zx/?
).z|=63o
(2)已知以向量a=(1+2,1,1),0=(1,1+2,1),/=(1,1,1+2)为棱所作的平行六面体体积等于4,
求2的值。
解:
因为
1+兄1
=(1+2)((1+2)2—1)—2—2=才+3才,
所以才+3A=±
4,所以2=1,-2o
习题五平面及其方程
1.平行于平面5x-14y+2z+36=0且与此平面的距离为3的平面方程是5x—14y+2z+81=OukSx—14y+2z-9=0。
所求平面的法向量可取为n=(1,0,0)x(5,1-3)=(0,3,1),由于平面过原点,所以所求平面方程为0(x—0)+3(y—0)+(z—0)=0,即3y+z=0。
四、求过点A(2,0-8)且垂点于平而y=2z和x=0的平而方程。
平面的法向量可取为n=(0,1-2)x(1,0,0)=(0,-2-1),所以所求平面方程为:
0(jc_2)_2(y_0)_(z+8)=0,即2y+z+8=0。
五、已知两平面x—2y+2z+21=0川17x+24z—5=0,求平分它们所夹二面角的平面方程。
设M(x,y,z)为所求平而上任一点,则M到两平而的距离相等,因此,
x—2y+2z+21||7兀+24?
-5x-2y+2z+217x+24z-5
712+(-2)2+22^72+242525
化简可得:
23%—25),+6lz+255=0,或2x—25y—1lz+270=0。
习题六空间直线及其方程
-、填空题:
1.过点(2,3-1)和册2(一1,0,3)的直线方程是—丄二2==
1[c
2过点M(一2丄3)几垂直于直线亍+士的平面方程是2中一+2"
3.过点M(0-1,3)且垂直于平面3兀-2y+z+9=0的直线方程是兰=口=?
一3,M点在此
3—2
平而上的投影点处标是(-3,1,2):
M点关于此平面的对称点处标是(-6,3,1)。
4.求下列各组中的直线和平血的关系(相交、平行、垂直或直线在平面上):
(1)=L禾口4兀一2v—2z—3=0,平行;
-2-73
(2)兰=丄=兰和3x—2v+7z—8=0,垂直;
3-27
(3)v+2=^—利h+y+z—3=0,讥线在V而上。
3-4
)
y—v+z—2=0
7的对称式与参数式方程。
2x+y+z-4=0
在直线上取一点(200),直线的方向向量彳可取为:
J=(1-1,1)X(2,1,1)=(-2,1,3),
所以,直线的对称式方程为-^=2=-;
213
x=-It+2
直线的参数式方程为\y=t,/为参数。
z=3(
y—4j-3
三、求过点(3,1-2)且通过直线二=丄二=z的平面方程。
52
设所给点为4(3丄-2),在直线上取一点B(4-3,0),直线的方向向量为J=(5,2,1),
所求平面的法向量可取为n=ABxs=(1-4,2)x(5,2,1)=(—8,9,22),所以所求平面方程为:
-8(/_3)+9(y_l)+22(z+2)=0,即一8兀+9y+22z+59=0。
四、求点(3-1,2)到直线J“+y一'
+1=°
的距离。
[2x一y+z-4=0
设所给点为A(3,-1,2),在直线上取一点B(l,-2,0),直线的方向向量G可取为
J=(1J-1)x(2-1,1)=(0-3-3),
五、求过点(-1,-4,3)且与直线曲;
二=°
和直线宁召号都垂直的直线方程。
第一条直线的方向向量为q=(2,—4」)x(l,3,0)=(—3,1」0);
第二条直线的方向向量为?
2=(4-1,2);
所以所求直线的方向向量可取为:
?
=?
!
x?
2=(12,46-1),
Iy—7+1=0六、求垂直于平面z=0,并通过从点A(1-1,1)到直线厶:
〉的垂线的平面方程。
x=0
直线乙的方向向量可取为s=(0,1-l)x(1,0,0)=(0-1-1),过点A且垂直于直线厶的平面
71的方程为0(x一1)一(y+1)-(z-1)=0,即y+z=0,该平而与直线L的交点为3(0,-丄,丄),
22
点4到直线厶的垂线AB的方程为□=屮=孝,由于所求平而垂直于平而z二0,口通过
1-%%
直线AB,故其法向量可取为n=(0,0,1)x(1-1,0),从而所求平而的方程为:
222
丄(x—l)+l・(y+l)+0(z—l)=0,即兀+2y+l=0。
七、(重点)过点(—1,0,4)引在线厶,使它平行于平面兀:
3兀-4y+z—10=0且与直线
兀+37
厶:
丄二=y-3=-相交,求该总线L的方程。
132
设所求直线厶的方向向量为F=(加,zp),由题设:
由于厶与兀平行,所以
3/7?
一4〃+°
=0
(1)
在直线厶上取一点3(-3,3,0),由于所求直线厶过点A(-1,0,4)A与直线厶相交,所以向量
AB=(-2,3-4)与直线L的方向向罐F=(加,弘“),直线厶的方向向罐£
=(3,1,2)共面,因此,
-23-4
312=0,即10m-8/:
-ll/9=0
(2)
mnp
1343
由
(1)、
(2)得m=—p,n=—p,不妨取p=16,贝lj?
=(52,43,16),所以所求直线方程为
416
r%+1_y_z-4
JU:
==0
524316
八、判断两直线厶:
-=^=-,厶:
无_1=歹+2=二是否在同一平面内?
若是,是否平行?
234~*2
若相交,求它们的交点坐标。
在直线厶上取一点4(0,-3,0),在直线厶2上取一点B(l,—2,2),直线厶的方向向量£
=(2,3,4),
直线厶2的方向向量念=(1,1,2),AB=(1,1,2),由于
234
(JjxJ2)=112=0,所以厶与厶2共面。
由于故厶与乙不平行,因此相交。
112
设其交点为COodoMo),则
A)解得牡。
/O
5
-5
0、
"
4-1-1、
厂]
-4
1、
1)AB=
1
.BA=
8-2-2
AB—BA=
-2
3
17
-3
2丿
156丿
9
-18一4丿
2
厂-2
-12
-2、
3)(A-B)(B-A)=
4
-1
=
18-10
1丿
.0
_]丿
Z
/
=0
=-3,故所求交点为C(0,—3,0)o
习题七矩阵的概念及代数运算
•、填空题:
三、设a=(4卫2,,0=($"
2,…,仇),试计算:
A=aT[i;
B=paT及屮(k为正整数)。
Z、
5/]
“2
…"
A=aT/3=
■
(勺乞••
•仇)=
a2h}
•••
a2h2
…丛
•
••••••
厲丿
(一、
勺02
…色Q丿
T©
吕
B=0a=(勺上2,…,仇):
-=工°
厶;
:
/=1
S丿
屮=aTpaTP...a10=讥卩aTpaT[3…巧卩=a1'
Bk'
x(3=(亍。
厶)_】aTP
「才
22
1_
3A2
3/T
A4
4才
622'
A2—
才
2/
A3=
3才
A4=
a4
24
k(k_V)肿_2
~2
‘46、
(\、
m
'
2-3、
、2勺
2丿
「12丿
(PSQ)3=(PSQ)2PSQ=2PSUQP)SQ=4PSQ
一般地,当m>
2时,(PSQT=2"
PS"
Q=2"
-'
七、1)设A、B为料阶方阵,且A为对称矩阵,则BtAB也是对称矩阵。
2)设A、3均为斤阶对称矩阵,则AB是対称矩阵的充分必要条件是AB=BA.
1)(3厂43)7'
=374气〃厂)7'
=〃7;
48(・・・24=47'
),所以btAB也是对称矩阵。
2)己知A、B均为八阶对称矩阵,贝9MB是对称矩阵0(43卩=人〃0//人丁
BA=ABo
八、设4、B为齐阶矩阵,R满足A2=A,B2=B及(A+B)2=A+B,证明:
AB=Oo
(A+B)2=A2-^-AB+BA-^B2=A+B,因为A?
二力,B2=B,所以AB^BA=O.
这样,A(AB+BA)=A2B+ABA=AB+ABA=O,(AB+BA)A=ABA+BA2=ABA+BA=O,
因此,AB=BA,所以,AB=0o
习题八行列式
二、计算卜•列行列式:
一8
-11
-111
=10()
-12
=100
=abcef
c-d
d
c-dd
11
020
=2000o
=2abcef(c+d)。
1111
244-3
1-111
1-6-21
4)
11-11
-3520
111-1
4-1203
a
b
6)
cd
c
a
b2
c2d2
b4
c4d4
5)
1+ab
\+ab
—(1+cd)
=acl+(1+ab)(l+cd)。
b-a
b2-ab
h4-a2b2
=(b—d)(c-a)(d—a)
b2(a+b)c"
q+c)
d\a+d)
d-b
(d-b)(ab+ad+bd+b2+d2)
=(b一a)(c一a)(d一a)(c一b)(d一b)
2-x2
8
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