2019-2020广东学业水平测试数学学考仿真卷-2-Word版含解析Word格式.doc
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A.B.-C.-D.
B [原式=lg10-3+lne=-3+=-.]
4.若a为实数且=3+i,则a=( )
A.-4B.-3C.3D.4
D [因为=3+i,所以2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,故a=4,选D.]
5.设x∈R,则“x>
3”是“x2-2x-3>
0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
A [x2-2x-3>
0⇔x>
3或x<
-1.由于{x|x>
3}是{x|x>
-1}的真子集,∴“x>
0”的充分不必要条件.]
6.已知点(m,1)(m>
0)到直线l:
x-y+2=0的距离为1,则m=( )
A.B.2-C.-1D.+1
C [由题意知=1,∴|m+1|=,解得m=-1或m=--1.又m>
0,∴m=-1.故选C.]
7.如果正△ABC的边长为1,那么·
等于( )
A.- B.
C.1 D.2
B [∵正△ABC的边长为1,∴·
=||·
||cosA=1×
1×
cos60°
=.]
8.对于不同直线a,b,l以及平面α,下列说法中正确的是( )
A.如果a∥b,a∥α,则b∥α
B.如果a⊥l,b⊥l,则a∥b
C.如果a∥α,b⊥a则b⊥α
D.如果a⊥α,b⊥α,则a∥b
D [对于A选项,b可能属于α,故A选项错误.对于B选项,a,b两条直线可能相交或异面,故B选项错误.对于C选项,b可能平行于α或属于α,故C选项错误.对于D选项,根据线面垂直的性质定理可知,D选项正确,故选D.]
9.如图,给出了奇函数f(x)的局部图象,那么f
(1)等于( )
A.-4 B.-2
C.2 D.4
B [根据题意,由函数的图象可得f(-1)=2,又由函数为奇函数,则f
(1)=-f(-1)=-2.]
10.已知函数f(x)=x-2+log2x,则f(x)的零点所在区间为( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
B [∵连续函数f(x)=log2x+x-2在(0,+∞)上单调递增,
∵f
(1)=-1<
0,f
(2)=2-2+log22=1>
0,
∴f(x)=x-2+log2x的零点所在的区间为(1,2),故选B.]
11.记等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1=-2,S3=-6,且公比q≠1,则a3=( )
A.-2 B.2
C.-8 D.-2或-8
C [依题意解得q=-2(q≠1),故a3=a1q2=-2×
(-2)2=-8.]
12.直线y=ax+1与圆(x-1)2+y2=4的位置关系是( )
A.相切 B.相交
C.相离 D.随a的变化而变化
B [∵直线y=ax+1恒过定点(0,1),又点(0,1)在圆(x-1)2+y2=4的内部,故直线与圆相交.]
13.双曲线y2-x2=2的渐近线方程是( )
A.y=±
x B.y=±
x
C.y=±
x D.y=±
2x
A [由题意知-=1,故渐近线方程为y=±
x.]
14.某几何体示意图的三视图如图示,已知其正视图的周长为8,则该几何体侧面积的最大值为( )
A.π B.2π
C.4π D.16π
C [由三视图知,该几何体为圆锥,设底面的半径为r,母线的长为l,则2r+2l=8⇒r+l=4,又S侧=πrl≤π2=4π(当且仅当r=l时“=”成立).]
15.设x,y满足约束条件则z=(x+1)2+y2的最大值为( )
A.80B.4C.25D.
A [作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.
(x+1)2+y2可看作点(x,y)到点P(-1,0)的距离的平方,由图可知可行域内的点A到点P(-1,0)的距离最大.解方程组得A点的坐标为(3,8),代入z=(x+1)2+y2,得zmax=(3+1)2+82=80.]
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填写在题中横线上)
16.圆C的方程是x2+y2+2x+4y=0,则圆的半径是________.
[依题意(x+1)2+(y+2)2=5,故圆的半径为.]
17.函数y=sinωx-(ω>
0)的最小正周期为π,则ω=________.
2 [由T==π,得ω=2.]
18.一组数据为84,84,84,86,87,则这组数据的方差为________.
1.6 [依题意,该组数据的平均数=×
(84+84+84+86+87)=85,∴这组数据的方差是×
[3×
(84-85)2+(86-85)2+(87-85)2]=1.6.]
19.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是________.
30 [设y为一年的总运费与总存储费用之和,
则y=·
6+4x
=+4x≥2=240.
当且仅当=4x,
即x=30时,y取最小值.]
三、解答题(本大题共2小题,共24分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
20.在△ABC中,BC=a,AC=b,且a,b是方程x2-2x+2=0的两根,2cos(A+B)=1.
(1)求角C的度数;
(2)求AB的长.
[解]
(1)cosC=cos[180°
-(A+B)]=-cos(A+B)=-.
又∵C∈(0°
,180°
),∴C=120°
.
(2)∵a,b是方程x2-2x+2=0的两根,
∴
∴AB2=a2+b2-2abcos120°
=(a+b)2-ab=10,
∴AB=.
21.(本小题满分12分)如图所示,在直三棱柱ABC
A1B1C1中,AB=BC=BB1,D为AC的中点.
(1)求证:
B1C∥平面A1BD;
(2)若AC1⊥平面A1BD,求证:
B1C1⊥平面ABB1A1;
(3)在
(2)的条件下,设AB=1,求三棱锥B
A1C1D的体积.
[解]
(1)证明:
连接AB1交A1B于E,连接ED.
∵ABC
A1B1C1是三棱柱,且AB=BB1,
∴侧面ABB1A1是一正方形,∴E是AB1的中点.
又已知D为AC的中点,
∴在△AB1C中,ED是中位线,∴B1C∥ED.又∵B1C⊄平面A1BD,ED⊂平面A1BD,
∴B1C∥平面A1BD.
(2)证明:
连结AC1,∵AC1⊥平面A1BD,A1B⊂平面A1BD,∴AC1⊥A1B.又∵侧面ABB1A1是一正方形,∴A1B⊥AB1.
又∵AC1∩AB1=A,AC1,AB1⊂平面AB1C1,
∴A1B⊥平面AB1C1.
又∵B1C1⊂平面AB1C1,∴A1B⊥B1C1.又∵ABC
A1B1C1是直三棱柱,∴BB1⊥B1C1.
又∵A1B∩BB1=B,A1B,BB1⊂平面ABB1A1,∴B1C1⊥平面ABB1A1.
(3)连结DC1,∵AB=BC,D为AC的中点,∴BD⊥AC,∴BD⊥平面DC1A1,
∴BD就是三棱锥B
A1C1D的高.
由
(2)知B1C1⊥平面ABB1A1,∴BC⊥平面ABB1A1,
∴BC⊥AB,∴△ABC是等腰直角三角形.
又∵AB=BC=1,∴BD=,
∴AC=A1C1=,
∴三棱锥B
A1C1D的体积
V=·
BD·
S△A1C1D=·
·
A1C1·
AA1=.
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