版高中数学第三章三角恒等变换313二倍角的正弦余弦正切公式导学案新人教a版必修4145.docx
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版高中数学第三章三角恒等变换313二倍角的正弦余弦正切公式导学案新人教a版必修4145
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标
1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用.
知识点一 二倍角公式的推导
思考1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式.根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式,你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗?
答案 sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα
=2sinαcosα;
cos2α=cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα
=cos2α-sin2α;
tan2α=tan(α+α)=
.
思考2 根据同角三角函数的基本关系式sin2α+cos2α=1,你能否只用sinα或cosα表示cos2α?
答案 cos2α=cos2α-sin2α=cos2α-(1-cos2α)=2cos2α-1;
或cos2α=cos2α-sin2α=(1-sin2α)-sin2α=1-2sin2α.
知识点二 二倍角公式的变形
1.公式的逆用
2sinαcosα=sin2α,sinαcosα=
sin2α,
cos2α-sin2α=cos2α,
=tan2α.
2.二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式
升幂公式
1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α,
1+cosα=2cos2
,1-cosα=2sin2
.
降幂公式
cos2α=
,sin2α=
.
类型一 给角求值
例1 求下列各式的值:
(1)cos72°cos36°;
(2)
-
cos215°;
(3)
;(4)
-
.
解
(1)cos36°cos72°=
=
=
=
.
(2)
-
cos215°=-
(2cos215°-1)=-
cos30°=-
.
(3)
=2·
=2·
=-2
.
(4)
-
=
=
=
=
=4.
反思与感悟 对于给角求值问题,一般有两类:
- 配套讲稿:
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