高考江苏卷数学真题及解析.docx
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高考江苏卷数学真题及解析
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页,均为非选择题(第1题~第20题,共20题)。
本卷满分为160分,考试时间为120分钟。
考试结束后,请将本试卷和答题卡一片交回。
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。
5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式:
样本数据x1,x2
⋯,xn的方差s21
n
n
n
x
x
2
x
1
xi
,其中
.
i
ni
1
i1
柱体的体积VSh,其中S是柱体的底面积,h是柱体的高.
1
3
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题
..
卡相应位置上
......
1.已知集合A={-1,0,1,6},Bx|x0,xR,则A∩B=_____.
【答案】{1,6}.
【解析】
【分析】
由题意利用交集的定义求解交集即可.
【详解】由题知,AB{1,6}.
【点睛】本题主要考查交集的运算,属于基础题.
2.已知复数(a
2i)(1
i)的实部为
0,其中i为虚数单位,则实数
a的值是_____.
【答案】
2
【解析】
【分析】
本题根据复数的乘法运算法则先求得
z,然后根据复数的概念,令实部为
0即得a的值.
【详解】
(a
2i)(1
i)aai
2i2i2
a2(a2)i,
令a2
0得a2.
【点睛】本题主要考查复数的运算法则,虚部的定义等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3.下图是一个算法流程图,则输出的S的值是_____.
【答案】5
【解析】
【分析】
结合所给的流程图运行程序确定输出的值即可
.
【详解】执行第一次,
S
S
x
1,x
14不成立,继续循环,
x
x12;
x
3,x
2
2
执行第二次,S
S
2
4不成立,继续循环,
x
x
1
3;
2
2
执行第三次,S
S
x
3,x
3
4不成立,继续循环,
x
x
1
4;
2
执行第四次,S
S
x
5,x
4
4成立,输出S5.
2
【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路:
(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构.
(2)要识别、运行程序框图,理解框图所解决的实际问题.
(3)按照题目的要求完成解答并验证.
4.函数y
7
6x
x2的定义域是_____.
【答案】[-1,7]
【解析】
【分析】
由题意得到关于
x的不等式,解不等式可得函数的定义域.
【详解】由已知得
7
6xx2
0,
即x2
6x
7
0
解得1x7,
故函数的定义域为[-1,7].
【点睛】求函数的定义域,其实质就是以函数解析式有意义为准则,列出不等式或不等式组,然后求出它们的解集即可.
5.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是____.
【答案】
5
3
【解析】
【分析】
由题意首先求得平均数,然后求解方差即可.
【详解】由题意,该组数据的平均数为
6
7
8
8
9
10
,
6
8
1[(68)2
5
所以该组数据的方差是
(78)2
(8
8)2
(88)2
(98)2
(108)2]
.
6
3
【点睛】本题主要考查方差的计算公式,属于基础题
.
6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1
名女同学的概率是_____.
【答案】7
10
【解析】
【分析】
先求事件的总数,再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数,最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.
【详解】从
3名男同学和2名女同学中任选
2名同学参加志愿服务,共有
C52
10种情况.
若选出的
2
名学生恰有
1名女生,有C31C21
6种情况,
若选出的
2
名学生都是女生,有C22
1种情况,
6
1
7
所以所求的概率为
.
1010
【点睛】计数原理是高考考查的重点内容,考查的形式有两种,一是独立考查,二是与古典概型结合考查,由于古典概型概率的计算比较明确,所以,计算正确基本事件总数是解题的
重要一环.在处理问题的过程中,应注意审清题意,明确“分类”“分步”,根据顺序有无,明确“排列”“组合”.
2
7.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2y1(b0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近
b2
线方程是_____.
【答案】y2x
【解析】
【分析】
根据条件求b,再代入双曲线的渐近线方程得出答案.
【详解】由已知得
3
2
42
1,
b2
解得b
2或b
2,
因为b
0,所以b
2.
因为a
1,
所以双曲线的渐近线方程为y2x.
【点睛】双曲线的标准方程与几何性质,往往以小题的形式考查,其难度一般较小,是高考
必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的
a,b密切相关,事实上,标准方程中化
1为0,
即得渐近线方程.
8.已知数列{an}(nN*)是等差数列,
是_____.
【答案】16
【解析】
【分析】
由题意首先求得首项和公差,然后求解前
Sn是其前n项和.若a2a5a80,S927,则S8的值
8项和即可.
a2a5
a8
a1
da1
4d
a17d0
【详解】由题意可得:
9
8d
,
S9
9a1
27
2
a1
5
8
7
40
282
16.
解得:
,则S88a1
d
d
2
2
【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题,是高考必考内容,解题过程中要注意应用函
数方程思想,灵活应用通项公式、求和公式等,构建方程(组),如本题,从已知出发,构建
a1,d的方程组.
9.如图,长方体
ABCD-A1B1C1D1的体积是
120,E为CC1的中点,则三棱锥
E-BCD的体积是
_____.
【答案】10
【解析】
【分析】
由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.
【详解】因为长方体
ABCD
A1B1C1D1的体积为
120,
所以ABBCCC1
120
,
因为E为CC1的中点,
所以CE
1CC1,
2
由长方体的性质知CC1
底面ABCD,
所以CE是三棱锥E
BCD的底面BCD上的高,
所以三棱锥EBCD的体积
V
1
1ABBC
CE
1
1ABBC
1CC1
1
12010.
3
2
3
2
2
12
【点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中,往往需
要注意理清整体和局部的关系,灵活利用“割”与“补”的方法解题.
10.在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y
x
4
P到直线x+y=0
(x0)上的一个动点,则点
x
的距离的最小值是
_____.
【答案】4
【解析】
【分析】
将原问题转化为切点与直线之间的距离,然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离
【详解】当直线
gR2平移到与曲线
yx
4
相切位置时,切点
Q即为点P到直线gR2
的距
r2
x
r2
离最小.
4
1,得
,
,
由y1
x2(
2舍)
y
32
x2
即切点Q(2,3
2),
则切点Q到直线gR2
2
2
3
2
的距离为
4,
r
12
12
故答案为:
4.
【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离,渗透了直观想象和数学运算素养
.
采取导数法和公式法,利用数形结合和转化与化归思想解题
.
11.在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是____.
【答案】(e,1)
【解析】
【分析】
设出切点坐标,得到切线方程,然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.
【详解】设点Ax0,y0
,则y0
lnx0.又y
1
,
x
当x
x0时,y
1
,
x0
点A在曲线y
lnx上
切线为y
y0
1
(x
x0),
x0
即y
lnx0
x
1
,
x0
代入点
e,
1
,得
1
lnx0
e
1,
x0
即x0lnx0
e,
的
考查函数H
x
xlnx,当x
0,1
时,H
x
0,当x1,
时,Hx
0,
且H'x
lnx
1,当x1时,H'x
0,Hx
单调递增,
注意到He
e,故x0lnx0e存在唯一
实数根
x0e,此时y0
1,
故点A的坐标为Ae,1
.
【点睛】导数运算及切线的理解应注意问题:
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子
符号,防止与乘法公式混淆.
二是直线与曲线公共点的个数不是切线本质,直线与曲线只有一个公共点,直线不一定是
曲线的切线,同样,直线是曲线的切线,则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点.
12.如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若
ABAC6AOEC,则ABAC
【答案】3
的值是_____.
【解析】
【分析】
由题意将原问题转化为基底的数量积,然后利用几何性质可得比值.
【详解】如图,过点D作DF//CE,交AB于点F,由BE=2EA,D为BC中点,知BF=FE=EA,AO=OD.
6AOEC
3AD
AC
AE
3ABAC
AC
AE
2
3
AB
AC
AC
1AB
3ABAC
2
2
1ABAC
1AB
AC
2
3
2
3
3
3
2
1
AB
2
2
1
2
3
2
2
ABAC
3
AC
ABAC
2
AB
AC
ABAC,
3
3AC
3AC,故AB
2
得1AB
即AB
3.
2
2
2
2
AC
【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算,渗透了直观想象、逻辑推理和数学运
算素养.采取几何法,利用数形结合和方程思想解题.
tan
2
π
π
3
,则
sin2
13.
的值是_____.
已知tan
4
4
【答案】
2
10
【解析】
【分析】
由题意首先求得tan的值,然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次
式求值的问题,最后切化弦求得三角函数式的值即可.
tan
tan
tan
1
tan
2
【详解】由
tan
tan
1
tan
1
3,
4
1tan
得3tan2
5tan
2
0
,
解得tan
2,或tan
1
.
3
sin2
4
sin2cos
4
cos2
sin
4
2
cos2
=
2
2sin
cos
cos2
sin2
sin2
2
sin2
cos2
2
22tan1
tan2
,
=
tan2
1
2
当tan
2
时,上式=
2
2
21
22
=
2;
2
22
1
10
1
2
2
1
1
1
3
3
2
当tan
=
2
.
时,上式
2
=
3
2
1
1
10
3
综上,sin
2
2
.
10
4
【点睛】本题考查三角函数的化简求值,渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法,利用
分类讨论和转化与化归思想解题.
14.设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函
k(x2),0x1
.
(0,2]时,
2
,g(x)
数当x
f(x)
1(x1)
1,1x2
2
,其中k>0.若在区间(0,
9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是_____.
【答案】1,2
34
【解析】
【分析】
分别考查函数
f
x
和函数gx图像的性质,考查临界条件确定
k的取值范围即可.
【详解】当x
0,2
时,f(x)1x1
2
即
2
1,y0.
x1y2
又f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,其周期为
4,如图,函数
f(x)与g(x)的图象,要使
f(x)g(x)在
(0,9]上有8个实根,只需二者图象有
8个交点即可.
当g(x)
1
2
个交点;
时,函数f(x)与g(x)的图象有
2
当g(x)
k(x2)时,g(x)的图象为恒过点(
-2,0)的直线,只需函数
f(x)与g(x)的图象
有6
个交点.当f(x)与g(x)图象相切时,圆心(
1,0)到直线kxy
2k
0的距离为1,即
k
2k
1,得k
2,函数f(x)与g(x)的图象有
3个交点;当g(x)
k(x
2)过点(1,1)
1
k2
4
时,函数
f(x)与g(x)的图象有6个交点,此时
13k
1
,得k.
3
综上可知,满足f(x)
g(x)在(0,9]上有8个实根的k的取值范围为
1,2
.
3
4
【点睛】本题考点为参数的取值范围,侧重函数方程的多个实根,难度较大
.不能正确画出函
数图象的交点而致误,根据函数的周期性平移图象,找出两个函数图象相切或相交的临界交
点个数,从而确定参数的取值范围
.
二、解答题:
本大题共6小题,共计90
分.请在答题卡指定区域内作答,解答时
.......
应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.
(1)若a=3c,b=2
,cosB=
2,求c的值;
3
sinA
cosB
)的值.
(2)若
a
2b
,求sin(B
2
【答案】(
1)c
3;
(2)25.
3
5
【解析】
【分析】
(1)
由题意结合余弦定理得到关于
c的方程,解方程可得边长
c的值;
(2)
由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得
cosB的值,然后由诱导公式可得
sin(B
)的值.
2
【详解】
(1)因为a3c,b
2,cosB
2
,
3
a
2
c
2
b
2
2
(
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