核心概念的理念在教学中体现在10个方面2.docx
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核心概念的理念在教学中体现在10个方面2
核心概念的理念在教学中体现在10个方面-
(2)
10个核心概念的理念在教学中的体现:
1.数感
数感在课程标准里边,在实验稿里边就提出来,在修订稿里边又进一步明确了数感的含义。
在这里边,有这样两句话,来帮助理解数感。
数感主要是指关于数与数量,数量关系,运算结果估计等方面的感悟。
这是一层含义,是一种感悟,对那些数量、数量关系和估算结果的估计这种感悟。
然后第二句话的含义是建立数感,有助于学生理解现实生活中数的意义,理解或表述具体情境中的数量关系。
这两层意思都是,前一层,第一层意思就是说,数感,什么是数感,怎么样,数感它是一种感悟,对数量、对数量关系结果估计的感悟;第二层意思就是数感它的功能。
知道学习数学是要会数学的去思考问题,一个本质的问题,就是要建立数学思想,而数学思想一个核心的数学思想,第一位就是抽象,而抽象对数的抽象,又是最基本。
数感是一个什么样的一个一种东西,这里边讲的是对数与数量、数量关系的感悟。
比如说最简单的,要建立数感,什么样标志成建立数感,你就看着一个事物,对一个事物你不只是理解它物,物质的,它这个现实的表现是什么样,你还要看出来,它从数量的关系。
你比如说,去到一个大礼堂,到一个大礼堂,看有很多座位,一般人说看到了座位,看到的座位,比如说可以看到座位是什么颜色,座位用什么东西做的,它是不是耐用,它是不是舒服,但是,你如果是具有数学的思考问题的,或者说叫学了数学的人,有一定数学素养的人,他就肯定想很快的想到,这个礼堂的座位,大致有多少个座位,它一行有多少座位,它可能有多少行。
这个简单的例子就说,具有数学素养的人,他能够用数学去看到一个具体事物,用数学的观点或者是数量化的去看问题。
这个东西就可以把它叫做数感,前面提出要发现问题,提出问题的能力。
其实要能发现问题,提出问题,这里指的数学问题,数感是非常重要的,你看到一个事物,你如果没有数感,你就不能从数和数量、数量关系中来看待这个问题,所以说,说在学生学习数的时候,要注重去培养学生的数感,让他有这种感悟。
数感的学习,其实是和数的抽象,数的运用相连的,在学习数概念的时候,要帮助学生们建立数感,另外一个对于计算结果的估计,有数学素养的人,其实有一个当你计算一个问题的时候,直观上,你会看到,它是对还是错。
比如说一个,两个一位小数,如果相乘的话,比如3.5×4.8,一个数你很快估计它的正误。
运用,学生如果有比较强的数感,建立了数感以后,他能够更好的去解决现实中的问题,来利用它去分析现实中的数量关系,对学生将来的生活和进一步的学习,包括学习数学知识和学习其他知识其实都是非常重要的。
支撑数感的数学内容有很多,比如说对单位这件事,在一个情景中,碰到一些量,总要选择一个单位来刻画它,那你这样一种感悟,对于建立起对这个数量的刻画非常重要,还有数量关系要这样。
比如说一个价钱,一个数量,比如说一件东西一千块钱,那就发现可能数量的多少,对于总价的影响会很大。
多一个就多一千,对不很多东西都需要在这个衡量数学,数量关系中进行衡量,要选择哪一个量会对的结果产生更大的影响,所以这样的一种感悟,对于标准中说的,理解现实生活中数的意义,理解具体情境中的数量关系,将会发挥非常重要的作用。
它可能不仅仅是知识和技能所能体现出来的一些,一种感悟的。
对于单位的感觉,对于数量级的感觉,这个是非常重要的。
比如说让学生去体验,去称一个人的重量要用什么单位,称一个铅笔的重量用什么单位,称一头大象的重量用什么单位,可能选择不同的这种单位,其实也是一种数,也是一种数感,可能有的是用克,有的用千克,有的可能用吨,所以这个其实也是一种数感。
标准中举了一些例子,希望老师在研读的过程中,可以结合这些例子去感悟这件事情。
当然在如何培养数感的问题上,老师们可能在教学当中,还要有很多的工作要去做,就是因为数感,可能和以往对数的知识的学习,还有很大的不同,因为数感一定要创造这样一些机会,它不像比如数的运算,单位换算等等这样,好像直接,对于那种基础知识和基本技能,可能更容易老师们去用一种训练的方法,来让学生们去学习,而数感,感觉第一是一个长期的过程,不是一天两天就能够让学生能够,就是感受的,或者说能够在这方面有很好的感觉的,它一定要在活动当中,逐渐的去积累,对数的这样一种认识。
换句话说要积累相关的经验,所以这点,可能还需要老师在教学当中给予更多的关注。
2.符号意识
关于符号意识,注意到它在用词上,标准的修改稿和实验稿有一个区别,原来是叫符号感,现在把它称为叫符号意识,是这样,因为符号感,这个感更多的是一感知,可能是一个最基本的这样一个层次。
而符号意识对符号的学生理解它,学习它的要求就要更高一些。
在标准里边它是这样来表述的,符号意识主要是指能够理解并且运用符号,来表示数,数量关系和变化规律。
就是用符号来表示,表示什么,表示数,数量关系和变化规律,这是一层意思。
还有一层意思,就是知道使用符号可以进行运算和推理,另外可以获得一个结论,获得一个结论具有一般性。
所以标准上,大概用分号隔开是两层意思,一个是会表示,另外一个进行分开进行推理,得到一般性的结论。
进一步标准就说了,符号意识有助于学生理解符号的使用,是数学表达和数学思考的重要的形式。
符号在数学中的重要性,应该是老师们都能够,学个数学,也了解一些数学史的东西,可以知道符号在数学整个发展历史上,它的重要性,另外也常常这样说,就是小学更多研究的是算术的东西,到了初中,更多的是研究的是代数的东西,代数的内容,也更多的是以符号的引入作为一个标志,所以从算术到代数,也是一个认识上的一个飞跃,也是数学能够从一些具体的东西,上升为一般的东西这样一个标志。
所以符号,实际上它不是表示一些具体的东西,它可以用来代表一类东西了,比如说,用A不仅可以表示5,可以表示8,可能还可以表示更多的,同类的一类东西,另外符号还可以表示两类事物的关系,两类事物的关系,同时说符号也是研究对象的一种办法。
从这么几个方面来说明符号意识,在整个学习数学中的重要。
首先说,数学有这样的说法,是一种语言,数学的语言,有几个基本的特征,一个是数学的普通化,通常所说自然语言,一个是图形语言,这是数学里独特的东西。
另外就是符号语言,作为语言,符号语言是数学里一个完整的东西,某种意义上是一个体系,所以从这个角度来说,提升符号意识,对于学习数学,是非常重要的。
因为符号可以简洁、准确的表达需要表达的一些东西,交流起来就方便,就像画一个直角三角形,在写一个公式,A方加B方等于C方,每个人看到这个图,看到这样符号的语言,马上就会反应,这是勾股定理。
讲一个故事,在数学科学院的房顶上,曾经做了一个很大的一个直角三角形,旁边有一个公式,A方加B方等于C方。
每一天向太空发信息晚上,他们开玩笑的说,希望其他星球的高级动物,路过地球的时候,能够感悟到这有高级动物懂得勾股定理。
所以符号是一种非常重要的语言的组成部分,它代表了数学一个重要的方面。
这是一个。
第二个如何理解符号的体系,实际上最熟悉的符号就是数字,是用十个数字加进位,就能把周围世界的所有,通常所说的几何所谈元素的多少,表达清楚。
恐怕这是历史上人类最大的贡献,就是通常所说的十进制,这是认识符号的一个很重要的阶段。
还可以去表示数值间的关系,5×6等于30,等号不等号,就初步的为沟通了一个数量之间的关系。
所以,当讨论问题的时候,等量关系和不等量关系,包括依赖关系,这些都是数学中最基本的关系。
刚才又强调了,从小学到初中,要经历一个非常重要的过渡,就是从算术到代数,从算术到代数最重要的一个变化,或者说最重要的一个区别,算术思维和代数思维一个重要的区别,就是算术是一个又一个的解决问题,解决具体的问题。
而的代数,是一批一批的解决问题,就像说的如果鸡的个数是X,兔子的个数是Y,那马上就可以得到,X+Y=N,2X+4Y=M,就把所有的鸡兔同笼问题,用这样一个符号表达清楚了,是不是。
所以符号所起的作用,是从算术到代数过渡中的一个非常关键的一个,一个台阶吧,所以帮助孩子从算术到代数过渡发展的过程中,培养学生的符号意识,是一个非常重要的载体。
到了初中,就刻画一类的问题,方程,一次方程,二次方程,二元一次方程组,它就帮概括出一类的数学问题,使得在研究数学问题的过程中,非常的方便。
同时又为形成模型奠定了基础,无法想象没有符号怎么去刻画模型,所以,刚才分析的符号的意识,在数学的学习中,是非常重要的一件事情。
希望做好这些事情,这样会帮助学生不断的提升他们的数学素养。
3.空间观念和几何直观
空间观念是原来大纲里有的,现在在原来的基础上,做了一个进一步的刻画,是这么描述的,空间观念主要是指根据物体特征,抽象出的几何图形,根据几何图形想象出所描写实物,想象出实物的方位和它们的相互位置关系,描述图形的运动和变化,根据语言的描述,画出图形等等。
这是对于空间观念的一个刻画。
这两个概念,有的时候容易混淆在一起,放在一起介绍,就可以更清楚了解它们之间的联系区别。
几何直观主要是指利用图形描述和分析问题,借助几何直观,可以把复杂的数学问题,变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果。
几何直观可以帮助学生直观的理解数学,在整个数学的学习中,发挥着重要的作用。
刚才空间观念,有这么几个纬度,理解的纬度。
第一个就是图形和实物之间的关系,这是一个很重要的纬度,实际上应该清楚,比如说,画空间的一个长方体的直观图,它是一个变了形的图形,和通常在实际中碰到的长方体是不一样的,它是弯着,就是这样把它45度角,所以建立起抽象图形和实物的联系,是树立空间观念的一个非常重要的一个载体,,这是一个重要的载体。
第二个,就是标准中所刻画的,就是物体的,通常所说的方向感,如何来刻画它的方位,是在上,是在下,一位的,是在上下左右,二位的,是在上下左右前后,三位的,建立起这样一个认识图形,是空间观念另外一个重要的一个载体。
关于空间观念,再补充说点,其实刚才分析的空间观念是图形和,实物和图形之间的关系,关系是两个方向,这就说的通过实物,根据实物来抽象出几何图形,这是一个方向。
另外一个就是根据几何图形想象出所描述的实际物体,在这里边,其实这个想象,一个是抽象,一个是想象,在具体的事物,其实说图形,说几何图形,比如说,长方形、正方形、平行四边形、三角形,在现实世界中,是没有这些图形的,是没有几何里边说的三角形、长方形、平行四边形,它都是一些具体的实物,你看到一个盒子,你看到一个桌子,说这个盒子的表面是长方形,但是你要想象出,抽象出它的表面是一个长方形,这是一个你抽象的过程。
另外,就是说出一个图形,你把它和某一个物体,某一个具体物体对应起来,实际上这个说,从心理学角度是一个表象,一个表象,这个空间观念实际上是头脑中形成一个表象,让学生形成空间观念,一个重要的标志,就是学生在头脑里边,最终要形成一个,说一个的平行四边形,学生脑子里边要有一个平行四边形,同时要有一个平行四边形的物体,跟它相对应,这样就是一个建立的一个空间观念,这个是很重要的。
另外一个就是图形的运动。
刚才讲图形的运动,讲图形课程标准这个从实验稿里边,开始加了一些图形的平移、旋转这样的一些运动。
这样一些运动,就运动前和运动后是一个什么样的,其实学生可以去做,他也可以去想,这个图,如果向左移动三厘米,再向下移动二厘米,再旋转45度,是一个什么样,他可以先去想,然后再去做,这样一个空间观念,其实对他来说,都是需要的,都很重要。
像维数的认识,这样也有很多的例子,今天时间的关系,可能就不再展开了,所以空间观念在某种意义上,是学习几何,当然也包括代数,因为一旦认识纬度,代数里头也有很多的运算对象是高维的,所以对于这样一种理解,也是一个非常重要的事情。
下面说一下几何直观,用最通俗的话说几何直观,有人这么说,就是看图想事,看图说理,就是几何直观,说的挺形象。
当然包括想图,要画出来表达一个想法。
为什么要强调几何直观,也从数学最基本的研究对象说起,数学最主要的在中学,进入小学阶段,主要的研究对象,一个就是图形,一个就是可算的东西,数、字母,就是不严格的说数,这是研究的基本对象。
大家设想一下,对于图形的关注,在所有的学科中,除了美术,只有数学,其他的数量关系,物理也关注数量关系,化学从化学的角度关注,生物从生物的角度关注,对它们只是赋予它具体载体以后关注它。
该如何从学习图形中获得最大的好处,这是作为数学工作者应该想的一件事情。
引用希尔伯特,在他写的一本书叫《直观几何》里头,谈到的几个基本观点。
他在序言里头写了这样三层意思。
第一层意思,图形可以帮助刻画和描述问题。
一旦用图形把一个问题描述清楚,就有可能使这个问题变得直观、简单。
第二个意思就是图形可以帮助发现、寻找解决问题的思路。
就是无论在小学还是初中,当用一个图形描述一个问题了,常常可以发现,怎么样去找到解决这个问题的一些基本的想法。
包括函数的问题,甚至方程的问题,都是可以通过图形找到这样一些思路。
第三个纬度,图形可以帮助表述一些结果,可以帮助记忆一些结果。
他不仅能够掌握这个结果,而且能够理解证明的过程。
所以,要充分的发挥图形给带来的好处,所以,怎么帮助学生树立几何直观能力,一个要教会学生看图说话,尤其是一些重要的载体,比如说函数,一定要让孩子能看图说话。
第二件事,要让孩子养成一个画图的好习惯。
能用图形表示的,就用图形表示。
第三件事,重视变换,让图形动起来,图形一旦动起来了,他把握图形与图形之间的关系,就提供了更多的支持,他理解很多结果,就会更深刻一点。
第四件事非常重要的,要在学生的头脑中留住些图形。
比如说数轴,比如说方格纸,比如说直角坐标系,长方体、圆。
用这些图形来帮助他认识和理解数学。
培养几何直观就不会落空,所以这一次加了几何直观能力,加了几何直观这个关键词,对于学习数学来说,是挺重要的一件事情。
有一些接触到很多数学家说,重要的数学结果,常常是看出来的。
就反应他们对几何直观的一个认识和理解。
所以,希望的老师,不断的摸索,不断的积累经验,把这样一些核心词和日常教学有机的结合起来。
这个对于提升学生的数学素养,一定是很有帮助的。
4.数据分析观念
数据分析的观念是指:
了解在现实生活中,有许多问题应当先做调查研究,搜集数据,通过分析做出判断。
体会数据中蕴含着信息,了解对于同样的数据可以有多种分析的方法,需要根据问题的背景,选择合适的方法,通过数据分析体验随机性。
一方面对于同样的事物,每次收到的数据可能不同,另一方面只要有足够的数据,就可以从中发现规律,数据分析是统计的核心。
数据是统计学习一个重要的内容,所以对数据的分析,也就成为学习统计这块,很核心的东西,这个数据分析观念,刚才对标准上的这样一段,对它的解释,进行了简单的这样一个就是给大家做了这样一个介绍,之后也能够理解到,就是实际上数据分析观念,主要让学生能够体会到数据的作用,运用数据可以做什么,怎么来做,可能这是通俗一点来说,数据分析观念的一个基本的含义。
当然可能数据分析观念,究竟怎么样让学生去体会其中的,刚才谈到这几个方面,还需要老师们去在教学当中去体会,在教学当中去贯彻。
5.运算能力
运算能力,标准中是这样说的,只要是指能够根据法则和运算正确的进行运算的能力。
培养运算能力有助于学生理解运算的算力,寻求合理、简洁的运算途径解决问题。
运算始终是中小学教学里边非常重要的组成部分,对数的认识,数的运算,一直都占很大的篇幅,另外也是学生学习数学的一个重要的标志。
从培养学生运算能力这个角度,重要的是理解算理,运用算理来解决问题,而不是说一味的追求速度。
另外,就是寻求合理简洁的运算途径解决问题,落脚也在解决问题上,说运算你要会算,但是运算的目的是什么,运算的目的是解决问题,所以希望能够在一个情境中解决问题的情境去运算,而不是简单的重复的进行运算,单调的运算,所以说,在一些情境中进行运算,比如说在购买物品的一个情境中,单价是多少,价格是多少,总价是多少,一共需要多少钱,一共有多少钱,能购买多少东西,你怎么样去运算,在这里边,一个现实的情境,有很多问题,有很多需要计算的,所以,这一点应该引起关注。
数学的价值取向,数学是不是就是要求快,现在越来越多的人质疑这件事情,过去的数学求快,特别是在计算机的时代,所有的运算,计算机都可以帮忙实现,应该培养学生什么能力,所以在质量监测中,很多人提出来,首先要保证学生有足够的时间去做,看看他会还是不会,这是主要的;第二个补充,运算能力不能仅仅是算个数,应该就是更宽的来考虑这件事情,包括对于运算对象的认识,包括对于为什么要做这个运算,就是这些运算的背景是什么,包括刚才强调的,运算法则和运算规律的、方法的选择,包括运算在哪些地方有用,学运算的目的是要解决一些问题,所以仅仅停留在运算的巧和快,可能误导了对运算的理解。
6.推理能力
推理能力是标准实验稿中就提出的一个核心概念,在修改稿当中,仍然也保留了这样一个核心概念。
经过这几年的实验,老师们对推理能力,应该有了一个,比较全面的认识,以往在谈推理的时候,老师首先想到就是演绎推理和逻辑推理,而说现在推理能力,实际上是包含了两个方面。
首先推理是数学的基本思维方式,也是人们学习和生活当中,经常使用这样一种思维方式,推理一般包括合情推理和演绎推理,所以首先在这,把合情推理,它的外延就包含了这样两个大方面,一个是合情推理一个是演绎推理。
演绎推理是从已知的事实出发,按照一些确定的规则,然后进行逻辑的推理,进行证明和计算,是这样一个过程。
换句话说,从思维形式的角度,是从一般到特殊这样一个过程,在几何的证明当中,实际上都是这样一种推理的形式。
合情推理是从已有的事实出发,评论一些经验、直觉,通过归纳和类比等等这样一些形式,来进行推断,来获得一些可能性结论这样一种思维方式。
和演绎推理相不一样的地方,它往往是从特殊到一般这样一种推理,所以合情推理得到的结论,知道不一定是对的,通常可能称之为猜想、推测是一个可能性结论。
但是合情推理在数学整个发展过程当中,包括在学生学习数学和今后的未来的社会生产实践和生活当中,都是特别重要的。
当然合情推理也是新课程之前,在传统的数学课程当中,是被忽视的,经过这些年的新课程的实验,老师们已经基本上接受了,像归纳和类比,这样的一些推理形式,在数学学习当中的这样一些地位和作用,也能够在教学当中去尝试的去做这些事情,在的考试评价当中,也看到了在这方面,大家给予关注,这都是一个很好的信号,也希望老师能够更好的在推理的,双方面都能够齐头并进,而不是偏废哪一方。
合情推理进入的视野,并且加以强调是数学教育的一个进步。
举两个比较重要的事情来支持这个合情推理的重要性。
第一个就是抽象思维,抽象的过程,是从特殊到一般的过程,从一些实际的例子中,抽象出函数的概念,所以很多重要数学概念的形成,实际上是抽象的过程,这样一个过程对于概念的认识和理解,是非常重要的。
第二个支持这个的例子,统计思维,最基本的推理方式是归纳,从样本看整体,所以通过这两个例子,希望的老师重视合情推理。
不要以为,合情推理是为演绎推理服务的一个前奏,这样的理解还是有失偏颇的,概念的形成,定理的得到,是经历了归纳推理的过程,最后才能形成所得到的一些认知。
所以重视合情推理,是在新课程推进中,需要不断强化的一件事情。
推理能力的培养,实际上不仅在几何里,包括数与代数,包括刚才也谈到了,统计概率,实际上贯穿在整个数学学习过程当中的,这一点可能老师们也应该能够把它在整个教学联系起来。
7.模型思想
首先说一下标准的解释,就是模型思想的建立,使学生体会和理解数学与外物世界联系的基本途径,建立和求解模型的过程包括,从现实生活或具体情境中,抽象出数学问题,用数学符号,建立方程、不等式、函数等数学模型的数量关系和变化规律,然后求出结果,并讨论结果的意义。
这些内容的学习有助于学生初步的形成模型的思想,提高学习数学的兴趣和应用意识。
这个基本上模型思想概括的比较清楚。
说这个模型的思想引用复旦大学李大潜院士的一段话,他在大学教学指导委员会说过的一段话,他说20世纪,中国的数学教育一个很重要的贡献,就是强调了模型,强调了数学建模,推动了数学和实际的联系。
他概括的还比较清楚的。
数学有两件事情很重要,一件事情就是一批一批的解决问题,所以要形成模型;另外一件事,要从实际情境中找到它,解决这个问题的模型。
一个是归纳的过程,一个是演绎的过程,能够更好的去解决一些具体的问题,所以举一个在数与代数中的一个例子,比如说函数的思想,实际上经历了这么一个过程,在具体的情境中,会对量进行分析,具有识别变量的能力,这是第一步。
第二步,具有识别变量依赖关系的能力。
是不是有的变量的变化,会引起另外变量的变化,在进而,有判断函数关系的能力,这样就能知道用函数来刻画变化的一个规律。
当认识到可以用函数来刻画规律的时候,马上进而就要想,在这个具体情境中,是哪样一个类别的函数,是一次函数,是二次函数,还是反比例函数。
然后要确定是哪一个具体的函数,然后用这个具体的函数,去解决这个问题并对解决的结果进行讨论。
看的结果,是不是符合实际,这样的一个过程,可能也是通常所说的函数建模的一个过程。
这对于提升解决实际问题的能力一定是非常重要的。
也把前面所说的基本数学思想表现的淋漓尽致。
数学本身就是一种构造,没有一个数学公式在那里摆着,等着你去发现,其实很多数学,从一开始数学就是要构造一个能够描述模型客观现实的模型,所以说模型思想从某种意义上说,反应了数学的本质。
所以提出模型的思想,对于数学教育,一定会有很大帮助,可能会在数与代数、空间与图形,图形与几何的内容中,会不断的强调模型思想怎么和具体的内容有机的结合起来。
8.应用意识和创新意识
首先是应用意识,应用意识说白了就是强调数学和现实的联系,数学和其他学科的联系,如何运用所学到的数学,去解决现实中和其他学科中的一些问题,当然也包括运用一部分数学,去解决另一个数学里的问题。
在20世纪,数学的发展,最重要的标志,应该是数学的应用,数学在其他学科和科学和社会发展中的作用,还不仅仅是在理科中的作用,在文科和社会科学中的作用是非常重要的体现。
创新是一个永恒的主题,作为创新,在各个学科里边,都是要提倡,而数学的创新可能更重要,数学是一种,一种非常抽象的严谨,但是同时数学的应用非常广泛,这种应用的广泛,应该在体现在去创新、创造性的应用。
所以说标准里面提出创新意识培养,是现代数学教育的基本任务,应体现在数学教与学的过程之中,学生自己发现和提出问题是创新的基础,独立思考、学会思考是创新的核心等等这样。
这和前面分析的基本理念和基本目标里边,提出的发现问题、提出问题是相关的,你一直有发现新的问题,你才有创新。
所以去学习数学,不是只是学现成的数学,不是只解决现成的问题,你提出一个新的问题,你在你的生活中,你在现实社会中,提出新的问题,发现新的问题,这个永远是一个非常重要的,从小学就应该鼓励学生去创造、去创新。
这一个很重要的就是引导他们在一个现实情境中发现问题,提出问题,这样才能够为社会培养更多的创新型人才。
标准说,学生发现和提出问题是创新的基础,独立思考、学会思考是创新的核心,归纳、概括、得到猜想和规律,并加以验证是创新的重要方法。
还有一点,创新意识、创新能力的培养,应从义务教育做起。
从某种意义上,越小的孩子,他越有创新,小孩子的兴趣,小孩子对问题的敏感性,他能提出很多很多成人可能都难以解决的问题,其实他本身就是创新。
虽然对应用意识和创新意识谈的不是很多,不等于它不重要,应该说它是更重要的,也是在数学课程里边,从目标的角度,从核心概念的角度,其实它是更高远的这样一个目标。
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