最优化方法习题一0001Word格式.docx
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232
(1)T
(1)
设f(X)=X1X22X32X2X3X2X3,取点X.验证d=(1,o,-1)是
f(X)在点X⑴处的一个下降方向,并计算mi;
f(X
(1)+td
(1))
、2T
证明:
f(X)=(2x1,3x22x31,4x32x21)
f(X1)(2,4,5)
df(x)=(1,0T)4=-3<
5
所以d⑴是f(x)在x⑴处的一个下降方向
(1)
(1)
f(X+td)=f((1+t,1,1-t))
222
=(1t)12(1t)2(1t)1(1t)3t3t4
f(x+td)=6t-3=0所以t=0.5>
min
(1)
(1)
f(Y+tK)=3*0.25-3*0.5+4=3.25
四、设aj
c(j=1,2,….,n)考虑问题
t0
Minf(x)=n1C
Xj
n
jia」Xjb
Xj0(j=1,2,….,n)
1)写出其KuhnTuker条件
所以j(j=1,…,n)都为0
即
C1
C2
2+
a1
a2=0
Cn
an
Xn
2)将XjJC代入h(x)=0只有一点
\aj
五、使用KuhnTuker条件,求问题
minf(x)=(X11)(X22)
X2x1
s.t.XiX22
Xi°
,X20
的KuhnTuker点,并验证此点为问题的最优解
x=(1/2,3/2)
0故1,
2=0
则
f(x)
1h1(x)
2h2
(x)0
2Xi2
2X24
11
21
0,
20
而
f(X)
02
故X
f(x)x80
即其为最优解
六、在习题五的条件下证明
L(X,,)L(X,,)
L(x,,)
其中L(x,,)=f(x)+
(X2X11)
(X
1X2
2)
L(x,,)=f(x)+
=f(x)
=f(X)+
(X1
X22)=L(X,,)
f(X)(X2
(X1X22)=L(x,
习题二
、设f(x)为定义在区间[a,b]上的实值函数,%是问题min{f(x)|axb}的最优解。
证明:
f(x)是[a,b]上的单谷函数的充要条件是对任意x「X2[a,b],x1x2
满足f(x-i
(1)x2)<
max{f(x-i),f(x2)},(0,1)
(X1)
函数
“必要性”若Xi
(1)X2X
则由单谷函数定义知f(X1
(1)X2)f(X1)
故有f(X
(1)x2)max{f(X),f(x2)}
"
充分性”由x<
|,x2的任意性取x-i=x时,f(x2)>
f(X」
则X2>
X1
(1)X2>
X1=X且f(X1
(1)X2)<
f(X2)
若取X2=X时,f(X1)>
X=X1<
X1
(1)X2<
X2且f(X1
(1)X2)<
f(X1)
满足单谷函数的定义
、设X1<
X2,f(X1
1)证明:
满足条件
(x>
(X2)f(x2)的二次函数(x)是(严格)凸
或者
1)设
(x)=axbxc
(X2X1)f(X1)f(X2)f(X1)
(x)2axb
由(Xi)2aXib
(X2)2aX2b
故1)得证
令
(t)
(k)
f(x
丄(k
td
)为t的凸二次函数。
要使
占
八、、:
故满足
(tk)
f(
(k)
(k)、(k)
X
td)d
=
[Q(x(k)
td(k))b]Td(k)
Qxb
由已知,得f(x)
tk是(t)的极小点即为驻
=[Qx(k)btQd(k)]Td(k)=g:
d<
k)t(d(k))TQd(k)故有gTd<
k)tk(d(k))TQd(k)0
得tk
gkd
Ed
四、用共轭梯度法求解:
1222X2XX2x
minf(x)=X
取初始点
2,4)
易知
第一次迭代:
f(x)(3xiX2
2,X2xi)
12,6)
d
(1)f(x⑴)(12,
线性搜索得步长
6)
T
(1)
g1d
…T
(1)
(12,6)
12
(d
(1))Ad
(12,6)
11217
(2)
(1)
从而xx
⑴
1d
17
第二次迭代:
f(x
(2))(◎咚)
X(17,17)
T"
(1)g2Ad屮沁
(1)
g2
线性搜索得步长:
26
38
298
90
289
210
1.7
(3)
x
(2)
2d
g3
f(X)
(0,0)
612
()
(17,17)
*T
所以最优解为X(1,1)
五、用拟Newton法求解:
取初始点X⑴(1,1)t
1)DFC法
取初始对称矩阵
H1
计算得g1
4,2)
d1H
1g1
(4,
经一维线性搜索得:
1=0.25
Xi
(2,0.25)
(1,
0.5)
(3,
4)
1,2)
0.2
1*
%Hy
H2
*1
1y1
0.7280.204
ylHy
0.7040.472
第二次迭代
£
2(0.32,0.24)经一维线性搜索得:
X3X2
2d2(4,2)
g3(0,0)
故最优解为:
X3
(4,2)
2)BFGS法
取定初始对称矩阵
Hi
计算得gi(4,2)t,
diHigi
X2Xi
idi
同DFP法,
H2Hi
d2
(4,2)
i=0.25
初始修正矩阵hi
H2g2(0.4,0.3)
Hiyii
$Hi
0.36
X3X22d2
iyi
0.02
0.i4
X3(4,2)
1、给定问题
min
s.t.
X1X1X22X26X114X2
X1X2X32
X12X23
X1°
,X2°
,X30
(1)T
取初始点X,用简约梯度法求其最优解
约束条件为
Xi2X23
g1
I112
(1)一44
d(-
-0
3
f(x"
d
(1))
f(X⑴
=64
240
=9
d
(1))d
(1)
得
9
8
gNNf(X)(B1N)Bf(X)
NdN
B
211min{—}-得1min{,max}㊁
(1)1
5cc、
1d(二
-00)
11
70
43一910-9
11-37
1-31-3
N
d
X24
2投影矩阵p
A(A1A1T)
13
§
j4
1T
Pg1(譽
()f(x⑴
)(3
()遐
39
max
10
88
66
44
2)(1后
3)
3913
{66,44}
伽{,maJ
(7,
6)T
(3,0)
2{1,3}
投影矩阵
TT1
A2(A2A2)A
Pg2
(0,0)T
令u2)
T1
(A2A2)A2g2
为其
(2,2)
⑵,3
故x(—,0)
K-T
八、、
2为
4X2
7
2X1
0,X2
x
(1)«
0,0)
3、用可行方向法求解问题
(X2
f(x)(2xi4,2x2
迭代一:
f(x)(4,2)
有效约束I1{3,4}确定下降方向
min-4
d12d2
d1
i=1,2
di
解得d1
1且其最优值为-6,即
处的搜索方向d⑴
(1,1)
线性搜索
(1)、
d)
迭代
2:
min{7,2}
-377
266
f(x⑵)(
(77)
(6,6)
51)
3,3)
有效约束I
1{1}确定下降方向
min-
3d1
3d2
2d14d20i=u
1di1
且其最优值为-2
(2))
18
min{,}
18,6}
155
min{—,}
21818
(13
3:
f(x)(
102、
99
有效约束I1{2}确定下降方向
102
Jd19d2
di1
,其最优值为-9
min6
min{-,2}
(4)
4:
f(x)
有效约束11
{1,2}
1,0)
确定下降方向
2d1
4d2
d20i=1,2
(0,0),其最优值为
(3,1)为K-T点
.527
)
49
45
81
14
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