高中数学矩阵及逆矩阵试题及解析Word文件下载.docx
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已知矩阵A=
B2×
3,C3×
3,下列运算可行的是(
B.BAC
C.ABC
=ad﹣bc,则函数
AB﹣AC
图象的一条对称轴方程是(
,若
AC=BC,则矩阵B=()
,其中a,c为任意实数
10.已知矩阵A的逆矩阵A
,则矩阵A的特征值为
A.﹣1
11.矩阵
C.﹣1,4
的逆矩阵是
的逆矩阵为(
)
D.﹣1,3
13.设A为n阶可逆矩阵,A*是A的伴随矩阵,则|A*|=(
A.|A|
填空题(共22小题)
14.
=0,则x=
15.
θ∈R,
16.
17.
18.
19.
若行列式
20.
C.|A|*
n﹣1
D.|A|n1
则方程
0的解为
增广矩阵
x,y)=
已知矩阵
AB=
N=
二阶行列式
21.若复数z满足
(i是虚数单位),则||=.
22.已知矩阵A=
,B=
,满足AX=B的二阶矩阵X=
23.二阶矩阵M对应的变换将点(1,﹣1)与(﹣2,1)分别变换成点(﹣1,﹣1)与(0,﹣2).
1)求矩阵M;
2)设直线l在变换M作用下得到了直线m:
x﹣y=4,求l的方程.
24.
设矩阵A=
,若BA=
,则x=
25.
26.
27.
矩阵A=
28.
29.
矩阵
30.
已知A=
31.
A=
32.
33.
M=
34.
设矩阵
35.
,且AB=
,向量=
的逆矩阵为
,则B=.
.求向量,使得A2=.
,则矩阵A的逆矩阵为
,则(AB)
﹣1
,则矩阵A﹣1B=
,N=
,则a+b=
,且(MN)﹣1
,a+b+c+d=
,则A的逆矩阵是
,则ad+bc=
解答题(共12小题)
36.
的一个特征值为4,求矩阵M的逆矩阵M﹣1
37.
,矩阵B的逆矩阵B1
,求矩阵AB的逆矩阵.
38.
设点(x,
y)
在矩阵M对应变换作用下得到点(
3x,3y).
1)写出矩阵
M,并求出其逆矩阵M﹣1
2)若曲线C在矩阵M对应变换作用下得到曲线
C'
:
y2=4x,求曲线C的方程.
,
41.已知矩阵A=
39.已知矩阵
,其中a,b∈R,若点P(1,1)在矩阵A的变换下得到的点
P1(1,4)
1)求实数
a,b的值;
2)求矩阵
A的逆矩阵.
40.已知m∈R,
的一个特征值为﹣2.
m;
A的逆矩阵A﹣1.
1)求a,b的值;
42.已知矩阵A=
,B=
2)求A的逆矩阵A﹣1.
,求A﹣1B
对应变换作用下得到点N(3,
43.已知x,y∈R,若点M(1,1)在矩阵A=
5),求矩阵A的逆矩阵A﹣1.
44.已知矩阵M=
1)求逆矩阵M﹣1;
2)求矩阵M的特征值及属于每个特征值的一个特征向量.
45.已知矩阵A=
的逆矩阵为A﹣1,求A﹣1的特征值.
46.已知矩阵A=
,二阶矩阵B满足AB=
1)求矩阵
B;
47.设矩阵M=
,若MN=
B的特征值.
,求矩阵M的逆矩阵M﹣1
参考答案与试题解析
1.关于x、y的二元一次方程组
分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解.
解答】解:
的系数行列式:
D=
故选:
C.
点评】本题考查线性方程组的系数行列式的求法,是基础题,解题时要认真审题,
注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用.
2.定义
B.y=2sin
分析】利用行列式定义将函数f(x)化成
y=2sin(x+
),f(x)的图象向右平
个单位得到的函数解析式为y=2sinx,
即可得出结论.
解答】解:
f(x)=
=sin(π﹣x)﹣cos(π+x)=sinx+cosx
=2sin(
∴f(x)的图象向右平移
D.
【点评】本小题考查三角函数图象与性质及图象变换等基础知识;
解答的关键是利用行列式定义将函数f(x)化成一个角的三角函数的形式,以便于利用三角函数的性质.
,那么实数a的值等于(
B.1
D.3
分析】根据题中的新定义将所求式子化为普通运算,计算即可得到结果.
根据题意得:
3a﹣2=4,得a=2.
点评】此题考查了二阶行列式,弄清题中的新定义是解本题的关键.
=n,则行列式
等于(
A.m+n
B.﹣(m+n)
C.n﹣m
D.m﹣n
分析】利用二阶行列式展开法则进行求解.
∵
∴m=a11a22﹣a21a12,
n=a13a21﹣a23a11,
=a11(a22+a23)﹣a21(a12+a13)
=a11a22﹣a21a12﹣(a21a13﹣a23a11)
=m﹣n.
D.
【点评】本题考查二阶行列式的计算,是基础题,解题时要注意二阶行列式展开法则的合理运用.
A.3
分析】
sin
,n∈N*,则n的最小值为(
由题意,
=0,即可求出
n的最小值.
C.9
D.12
,可得cos
=1,
3.给出一个算法
∴n的最小值为
12.
点评】本题考查二阶矩阵,考查特殊角的三角函数,考查学生的计算能力,比较
基础.
6.函数的最小正周期是()
A.2πB.πC.D.
【分析】先利用二阶行列式的定义,化简函数,再求函数的最小正周期.
【解答】解:
由题意,=sin2x+2,从而最小正周期π,
B.
点评】本题主要考查二阶行列式的定义,考查三角函数最小正周期,属于基础题.
7.有矩阵A3×
2,B2×
3,C3×
3,下列运算可行的是()
D.AB﹣AC
分析】利用矩阵的乘法,即可得出结论.
由题意,AB=D3×
3,ABC是DC=E3×
3,
点评】本题考查矩阵与向量乘法的意义,比较基础.
8.定义运算
分析】根据题中的定义可把函数的解析式化简,再利用二倍角的三角函数化简后,
根据余弦函数的对称轴求出x的值,即可得到正确答案.
由题中的定义可知,函数
=2cos2x﹣1=cos2x,
函数的对称轴为2x=kπ,解得x=
k∈Z)
所以函数的一条对称轴为x=
A.
点评】此题考查学生会进行二阶矩阵的运算,掌握余弦函数图象的对称轴,是
道综合题.
9.已知矩阵A=
,若AC=BC,则矩阵B=()
,其中
a,c为任意实数
分析】假设二阶矩阵,利用矩阵的乘法,结合
AC=BC,可求.
设矩阵B=
,则AC=
∵AC=BC,
∴b=1,d=0
∴B=
点评】本题以二阶矩阵为载体,考查矩阵的乘法与矩阵的相等,关键是利用矩阵
的乘法公式.
分析】利用
AA1=E,
征多项式,令
,则矩阵
建立方程组,即可求矩阵
f(λ)=0解方程可得特征值.
设A=
即有
解得
A的特征值为(
﹣1,4
A;
先根据特征值的定义列出特
,则由AA﹣1=E得?
,即
则矩阵A的特征多项式为f(λ)==(λ﹣2)(λ﹣1)﹣6=λ2﹣3λ﹣4,
令f(λ)=0,则λ=﹣1或4.
故矩阵A的特征值为﹣1,4.
点评】本题考查矩阵的逆矩阵,考查矩阵特征值的计算等基础知识,属于基础题.
11.矩阵的逆矩阵是()
分析】本题可以直接根据逆矩阵的定义求出逆矩阵.
点评】本题考查的是逆矩阵的定义,还可用逆矩阵的公式求解,本题属于基础题.
分析】根据所给的矩阵求这个矩阵的逆矩阵,可以首先求出ad﹣bc的值,再代入
逆矩阵的公式,求出结果.
解:
∵矩阵A=
A.
【点评】本题考查逆变换与逆矩阵,本题是一个基础题,解题的关键是记住求你矩阵的公式,代入数据时,不要出错.
13.设A为n阶可逆矩阵,A*是A的伴随矩阵,则|A*|=()
*n﹣1
A.|A|B.C.|A|*D.|A|n﹣1
【分析】由A为n阶可逆矩阵,由伴随矩阵的定义,AA*=|A|E,A*也可逆,|AA*|=||A|E|=|A|n,即可求得|A*|=|A|n﹣1.
A为n阶可逆矩阵,
∴|A|≠0
AA*=|A|E,
A*也可逆,又|AA*|=||A|E|=|A|n,|A||A*|=|A|n,∴|A*|=|A|n﹣1,故选:
【点评】本题考查逆变换与逆矩阵及伴随矩阵的性质,考查矩阵性质的证明,属于基础题.
.填空题(共22小题)
14.若=0,则x=1.
【分析】根据行列式的展开,则4x﹣2×
2x=0,即可求得x的值.
xx【解答】解:
=4x﹣2×
2x=0,
设2x=t,t>
0,则t2﹣2t=0,解得:
t=2,或t=0(舍去)
则2x=t=2,则x=1,
故答案为:
1.
点评】本题考查行列式的展开,考查计算能力,属于基础题.
15.若θ∈R,则方程
=0的解为
分析】由已知条件得sin2θ=,由此能求出结果.
∵θ∈R,
方程=2sin2θ﹣1=0,
∴sin2θ=,
∴2θ=2k或2θ=2kπ+,k∈Z,
∴或,
k∈Z.
或,
点评】本题考查方程的解法,是基础题,解题时要注意二阶矩阵、三角函数知识
点的合理运用.
16.增广矩阵()的二元一次方程组的解(x,y)=(2,1).
【分析】利用增广矩阵得到相应的行列式的值,再根据公式法求出方程组的解,也
可以恢复成两个二元一次方程组成的方程组的形式,消元解方程组得到本题结论.
∵二元一次方程组的增广矩阵
∴D=
=1×
(﹣1)﹣2×
2=﹣5,
Dx=
=4×
3=﹣10,
Dy=
3﹣2×
4=﹣5,
∴
=
(x,y)=(2,1).
点评】本题考查了用行列式法解二元一次方程组,本题难度不大,属于基础题.
分析】利用矩阵的乘法法则及其意义进行求解,即可得到答案.
∵已知矩阵
,矩阵B=
.
点评】本题主要考查了矩阵的乘法的意义,是一道考查基本运算的基础题.
分析】根据根据矩阵乘法法进行二阶矩阵乘法运算即可.
∵N=,
则N2=
【点评】本题主要考查了二阶矩阵的求解,同时考查计算能力,属于基础题.
分析】利用,由行列式
∴x=1.
【点评】本题考查二阶行列式的计算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.
20.二阶行列式的运算结果为﹣2.
【分析】按照运算法则=ad﹣bc,将二阶行列式转化为实数的乘法与减法运算.
根据题意,得
=3×
6﹣4×
5=18﹣20=﹣2.
﹣2.
点评】解答本题的关键就是弄清楚题中给出的运算法则,将二阶矩阵计算问题转
化为一般运算.
21.若复数z满足(i是虚数单位),则||=.
【分析】先利用行列式进行化简运算,然后解方程,求出复数z,最后求其共轭复数
的模即可.
∴zi+2z=3﹣i,
即z(2+i)=3﹣i,
所以z
1﹣i,
∴||=|1+i|=;
【点评】用好行列式的运算法则,方程变形后,复数化简,计算准确,本题是基础
【分析】由X=A1B=
题.
,能求出二阶矩阵X.
∵A=
∵AX=B,∴X=A﹣1
点评】本题考查二阶矩阵X的求法,是基础题,解题时要注意矩阵方程的性质的
合理运用.
(1)求矩阵M;
(2)设直线l在变换M作用下得到了直线m:
x﹣y=4,求l的方程.【分析】
(1)先设出所求矩阵,利用待定系数法建立一个四元一次方程组,解方程
组即可;
M的作用下的点的坐标,
2)在所求的直线上任设一点写成列向量,求出该点在矩阵
代入已知曲线即可.
(1)设M=
所以
则有
,所以M=
,所以
因为
2)任取直线l上一点P(x,y)经矩阵M变换后为点P'
(x'
,y'
).
又m:
x'
﹣y'
=4,
所以直线l的方程(x+2y)﹣(3x+4y)=4,即x+y+2=0.
点评】本题主要考查来了逆矩阵与投影变换,以及直线的一般式方程等基础知识,
属于基础题.
24.设矩阵A=
2
分析】由题意,根据矩阵运算求解.
∴4×
2﹣2x=4;
解得,x=2;
2.
25.若A=
,且AB=
,则B=
,则=
点评】本题考查了矩阵的运算,属于基础题.
分析】求出A的逆矩阵,利用矩阵与向量乘法,即可得出结论.
∴B═
点评】本题考查矩阵与向量乘法,考查学生的技术能力,比较基础.
26.已知矩阵A=
求向量,使得A2=.
分析】先计算A2,再利用A2=,求向量,.
【点评】本题考查二阶矩阵与平面向量的乘法,考查学生的计算能力,比较基础.27.矩阵A=的逆矩阵为
【分析】利用[A|I)→(A﹣1|I),能求出矩阵A的逆矩阵.
∵矩阵A=,
∴(A|I)=
→
∴矩阵A=
的逆矩阵A﹣1=
点评】本题考查矩阵的逆矩阵的求法,考查矩阵的变换的性质等基础知识,考查
运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.
28.已知矩阵A=
分析】利用[A|I)
A﹣1|I),能求出矩阵
∵矩阵
点评】本题考查矩阵的逆矩阵的求法,
考查矩阵的变换的性质等基础知识,考查
29.矩阵
分析】先设矩阵
的逆矩阵是:
,再根据MM﹣1=E,求得
M的逆矩
阵即可.
则:
=,
﹣c=1,﹣d=0,a=0,b=1,
∴矩阵
.
点评】此题主要考查矩阵变换的问题,其中涉及到逆矩阵的求法,题中是用一般
方法求解,也可根据取特殊值法求解,具体题目具体分析找到最简便的方法.
AB)﹣1
点评】本题考查矩阵乘积的逆矩阵的求法,考查矩阵的乘积、逆矩阵等基础知识,
考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是基
础题.
31.已知矩阵A=
分析】先求矩阵
M的行列式,进而可求其逆矩阵,再计算矩阵A﹣1B.
矩阵的行列式为
=﹣2,
∴矩阵A的逆矩阵A﹣1
∴A﹣1B=
点评】本题以矩阵为载体,考查矩阵的逆矩阵,考查矩阵的乘法,考查学生的计
算能力,比较基础.
32.已知矩阵﹣1=,则a+b=0.
【分析】求出=a﹣4,可得矩阵M的逆矩阵,即可得出结论.
由题意,=a﹣4,
﹣1=
∴a=3,b=﹣3,
∴a+b=0.
0.
点评】本题主要考查矩阵M的逆矩阵,考查学生的计算能力,比较基础.
33.已知矩阵M=
,且(MN)﹣1=
分析】根据矩阵M和N,计算出MN,再根据(MN)﹣1=,列出关于a,b,
c,d的方程组,分别解出a,b,c,d,即可求得ad+bc的值.
MN)
MN=
ad+bc=×
+(﹣
)×
(
﹣
)=
【点评】本题以矩阵为载体,考查矩阵的变换以及逆矩阵,考查了计算能力,难度
34.设矩阵
,a+b+c+d=0
不大.属于基础题.
分析】利用矩阵与逆矩阵的积为单位矩阵,建立方程组,求出
a,b,c,d的值,
∵矩阵矩阵
即可求得结论.
∴a+b+c+d=
=0
0
点评】本题考查矩阵与逆矩阵,考查学生的计算能力,属于基础题.
35.已知矩阵
A﹣1
,能求出A
的逆矩阵.
|A|=
∵A*=
∴A的逆矩阵A﹣1
点评】本题考查逆矩阵的求法,
是基础题,解题时要认真审题,注意行列式、伴
随矩阵、逆矩阵的性质的合理运用.
三.解答题(共12小题)
36.已知矩阵M=的一个特征值为4,求矩阵M的逆矩阵M﹣1.
【分析】写出矩阵M的特征多项式f(λ),根据题意知f(4)=0求出t的值,写出
矩阵M,再求它的逆矩阵.
矩阵M的特征多项式为f(λ)==(λ﹣2)(λ﹣1)﹣3t;
因为矩阵M的一个特征值为4,所以方程f(λ)=0有一根为4;
即f(4)
=2×
3﹣3t=0,解得t=2;
所以M=
设M﹣1
则MM﹣1
,解得
所以M
点评】本题考查了矩阵的特征多项式以及逆矩阵的计算问题,是基础题.
37.已知矩阵A=
,矩阵B的逆矩阵
分析】设B=
,由BB﹣1=E,结合矩阵的乘法,解方程可得a,b,c,d,
求得AB,设矩阵AB的逆矩阵为
,由逆矩阵的定义和矩阵的乘法可得x,y,z,
w的方程,解方程即可得到所求矩
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