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一个负数的绝对值是它的相反数;
0的绝对值是0。
用式子表示为:
若a是有理数,则
|a|=
或 |a|=
或 |a|=
这几种表示法是等价的。
|5|=5,|0|=0,|-6|=6等等。
由绝对值的概念可知:
①一个数绝对值是非负数,即|a|≥0。
②互为相反数的两个数的绝对值相等。
例如:
|-7|=7,|7|=7。
反之,若|m|=8,则m=±
8,在这里要考虑到m的两种情况,建立分类的思想。
6.有理数大小比较的法则如下:
(1)利用数轴比较有理数的方法;
即在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。
(2)比较有理数的一般方法;
即正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数。
(3)两个负数比较大小的方法和步骤:
①先求出两个负数的绝对值,比较两个绝对值的大小。
②用法则判断:
绝对值大的反而小。
例如,试比较-
与-
的大小,因为|-
|=
,|-
,而
>
所以-
<
-
。
加法:
1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。
2)异号两数相加,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
3)互为相反数的两个数相加得零。
4)一个数与零相加,仍得这个数。
提示:
在进行有理数的加法运算时,第一步先确定和的符号,第二步确定和的绝对值。
加法交换律:
两个数相加,交换加数的位置,和不变。
即:
a+b=b+a
加法结合律:
三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。
即:
(a+b)+c=a+(b+c)
使用加法交换律、加法结合律的目的是使计算简化。
减法:
减去一个数等于加上这个数的相反数 即:
a-b=a+(-b)
把减法运算转化为加法运算,体现了数学的转化思想。
乘法:
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;
任何数与零相乘,都得零。
乘法交换律:
两个数相乘,交换因数的位置,积不变。
a·
b=b·
a
乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积不变。
(a·
b)·
c=a·
(b·
c)
乘法分配律:
一个数与两个数的和相乘,等于把这个数分别与这两个数相乘,再把积相加。
(b+c)=a·
b+a·
c
几个不等于零的数相乘,积的符号由负因数的个数决定:
1)当负因数有奇数个时,积为负
2)当负因数有偶数个时,积为正。
几个数相乘,只要有一个因数为零,积为零。
除法:
除以一个数等于乘以这个数的倒数。
(零不能作除数)
两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除;
零除以任何一个不等于零的数,都得零。
把除法转化为乘法进行运算,又一次体现了数学中的转化思想。
.倒数:
乘积得1的两个数互为倒数。
即:
若a·
b=1,则a与b互为倒数,且反之也成立。
零没有倒数。
互为倒数的两个数的符号相同。
要与相反数区别开:
相加为0的两个数互为相反数。
即:
a+b=0,则a与b互为相反数,且反之也成立。
例1.把下列各数分别填在相应的大括号内:
25,-6
-0.91,p,3.14,-7,0,-50,
9.
(1)整数集合:
{}
(2)分数集合:
(3)正整数集合:
(4)负整数集合:
(5)正分数集合:
(6)负分数集合:
(7)正有理数集合:
(8)负有理数集合:
(9)有理数集合:
{}
例2.判断正误,并说明理由。
(1)所有正数都是整数。
(2)在整数中除了正整数就是负整数。
(3)分数是有理数。
(4)正整数都是自然数。
(5)任何有理数都有倒数。
例3.下列各图中,哪些是数轴?
为什么?
例4.判断正误
(1)符号相反的数叫相反数;
(2)数轴上原点两旁的数叫相反数;
(3)-a是相反数, (4)-a和a都是相反数。
例5、求:
(+16)-(+27)+(-5)-(-42)
例6、求数轴上表示+3与-7的两点间的距离
例7:
判断下列积的符号
(1)(-2)×
3×
4×
(-1)
(2)(-5)×
(-6)×
(-2) (3)(-2)×
(-2)×
(-2) (4)(-3)×
(-3)×
(-3)
例8.已知|a+b|+|a-b|=0求a,b的值。
1.(陕西省)如果2(x+3)的值与3(1-x)的值互为相反数,那么x等于( )
A、-8 B、8 C、-9 D、9
2.(扬州市)3的相反数是 3的倒数是
3.下列说法正确的是( )
A所有的有理数都可以用数轴上的点表示;
B数轴上的每一个点都表示一个整数;
C规定了正方向和单位长度的一条直线叫做数轴;
D在同一数轴上,单位长度可以不统一。
4.一家三人(父亲、母亲、女儿)准备参加旅行团外出旅游,甲旅行社告知:
“父母买全票,女儿按半价优惠”.乙旅行团告知:
“家庭旅游可按团体票计价,即每人均按全价的
收费”,若这两家旅行社每人的原票价相同,那么,优惠条件是( )
(A)甲比乙更优惠 (B)乙比甲更优惠 (C)甲与乙相同 (D)与原票价有关
5.(山西省)比较大小:
_________-
(填“>
”或“<
”号)。
6、下列说法正确的是( )
A、两个数的和一定大于每个加数;
B、两个数的和等于0,则这两个数都是0;
C、两个数异号,且正数的绝对值较大,则这两个数的和是正数;
D、两个数的和为正数,则这两个数都是正数.
7.120÷
(-120)+0÷
(-31906)-421×
(-1)
8.(-17)-(-8)-(-9)-(+6)-(-14)
9..已知m是5的相反数,n比m的相反数小6,求n-m
一、内容综述:
乘方(Involution)的定义:
求几个相同因数积的运算。
乘方的结果叫做幂(power)。
在an中a叫做底数
(basenumber),n叫做指数(exponent)。
an读作a的n次方,an看作是a的n次方的结果时,也可读作a的n次幂。
结论:
正数的任何次幂都是正数;
负数的奇次幂是负数,负数的偶数次幂是正数。
注:
(1)乘方是一种运算,幂是乘方运算的结果。
五种运算:
加,减,乘,除,乘方.
(2)有两种读法:
次方或次幂。
(3)(-3)2与-32的区别.底数不同,结果不同。
(4)分数形式需加括号.例如:
(-
)2与-
的意义不同且运算结果也不同。
例1.计算:
(1)(-4)3;
(2)
(3)(-2)6;
(4)
(5)(-1)101
例2.选择题
1、下列各对数中,数值相等的是( )
(A)
和
(B)
(C)
(D)
2、符合下面哪种情况时,
( )
三数同号 (B)
为负数,
异号 (C)
是负数,
同号 (D)
为正数,
异号
科学记数法:
任何正数b都可改写成a×
10n的形式,其中,1≤a<10;
当b≥10时,n是正整数,它比b的整数位数小1;
当1≤b<10时,n=0;
当0<b<1时,n是一个负整数,其绝对值等于b的第一个非零数字左边的0的个数(包括小数点前一个0)。
这种用a×
10n的形式记数的方法叫科学记数法。
用科学记数法记数,读写方便,计算方便,因此在科学研究和实际生产中广泛采用。
(注:
为概念准确,这里给出了完整的科学记数法概念,其中,0指数及负数指数概念以后学习)。
1.(北京西城区)人类的遗传物质就是DNA,人类的DNA是很长的链,最短的22号染色体也长达30000000个核苷酸,30000000用科学记数法表示为( )
A、3×
108 B、3×
107 C、3×
106 D、3×
108
2.(北京东城区)我国某石油产区产量约为170000000吨,用科学记数法表示为( )
A、1.7×
10-7吨 B、1.7×
107吨 C、1.7×
108吨 D、1.7×
109吨
3.(北京石景山)北京故宫的面积约为720000m2,用科学记数法表示为( )
A、0.72×
106m2 B、7.2×
106m2 C、0.72×
105m2 D、7.2×
105m2
4.(北京朝阳区)用科学记数法表示62500的结果是( )
A、6.25×
10-4 B、6.25×
102 C、6.25×
104 D、6.25×
105
5.(重庆市)据测算,我国每天因土地沙漠化造成的经济损失为1.5亿元.若一年按365天计算,用科学计数法表示我国一年因土地沙漠化造成的经济损失为( )
A、5.475×
1011(元) B、5.475×
1010(元) C、0.5475×
1011(元) D、5475×
108(元)
6.(江苏南京)我国最长的河流长江全长约为6300千米,用科学记数法表示为 ( )
A、6.3×
102千米 B、6.3×
102千米 C、6.3×
103千米 D、6.3×
104千米
7.(安徽省)今年第一季度我国增值税、消费税比上年同期增收3.07×
1010元,也就是说增收了:
A、30.7亿元 B、307亿元 C、3.07亿元 D、3070万元
8.(福建福州)用科学记数法表示我国的国土面积约为( )
A、9.6×
105平方千米 B、9.6×
106平方千米 C、9.6×
107平方千米 D、9.6×
108平方千米
9.(广州市)9600000这个数用科学记数法表示为( )
105 B、9.6×
106 C、9.6×
107 D、9.6×
10.(荆州市)地球上陆地的面积约为149000000平方千米,用科学记数法表示为( )
A、1.49×
106平方千米 B、1.49×
107平方千米 C、1.49×
108平方千米 D、1.49×
109平方千米
11.(黑龙江省哈尔滨市)一天有86400秒,用科学记数法表示为_____秒。
12.(北京燕山)长江三峡水库,仅主体工程的土石方开挖量就达到约102600000立方米,用科学记数法表示为_____米3。
13.(南昌市)我国研制的“曙光300超级服务器,它的峰值计算速度达到403200000000次/秒”,用科学计数法表示为_____次/秒。
14.(安徽省)有资料表明,被称为“地球之肺”的森林正以每年15000000公顷的速度从地球上消失,每年森林的消失量用科学记数法表示应是_____公顷。
15.(河南省)一种电子计算机每秒可做108次计算,用科学计数法表示它工作8分钟可做_____次计算。
有理数的意义单元测验
1.填空题
(1)不是正数也不是负数的数是________。
(2)一个数等于它的绝对值,此数为_______。
(3)
=-1,则a_______。
(4)仪表的指针顺时针方向旋转90°
记作-90°
,那么逆时针方向旋转180°
应记作_____。
(5)已知|x|=4,|y|=5,且x>
y,则x=_______,y=_______。
(6)若a>
0,b>
0,且-a>
-b,则|a|_______|b|。
(7)|1-1995100|=_______。
(8)若-(-a)<
0,则a是_______数。
(9)化简|-{+[-(-m)]}|=______。
(10)绝对值小于3的整数是_________,绝对值小于5
的非负整数是_______。
(11)如果a的相反数是最大的负整数,b是绝对值最小的数,则a+b=______。
(12)在数轴上距原点等于2的点有_______个,它们分别是________。
(13)若x<
0,则
=_______。
(14)
的相反数是_______,绝对值是______(a<
1)。
(15)边长为a的正方形,若边长增加b,则面积增加______。
(16)3×
7×
11×
13×
37=______。
(17)
2.选择题:
(1)一个数的相反数的绝对值是正数,这个数一定是( )。
A、非正数 B、非负数 C、不包括零的数 D、不能确定
(2)下列说法错误的是( )。
A、正整数、0、负整数统称整数 B、大于0的数叫做正数,小于0的数叫做负数,0既不是正数,也不是负数
C、有理数包括正数和负数 D、有理数包括整数和分数
(3)下列的说法中,正确的是( )。
A、存在最小的有理数 B、存在最大的负有理数 C、存在最小的正有理数 D、存在最大的负整数
(4)若|a|+|b|=0,则a与b的大小关系是( )。
A、a与b不相等 B、a与b异号 C、a与b互为倒数 D、a=b=0
(5)下列结论中,正确的是( )。
A、-x一定是负数 B、-|x|一定是非正数 C、|x|一定是正数 D、-|x|一定是负数
(6)化简|x-2|+x-2=( )。
A、2x-4 B、0 C、4-2x D、2x-4或0
(7)下列说法错误的是( )。
A、-a一定是负数 B、|-a|≥0 C、x
2≥0 D、若a+b=0,则|a|=|b|
(8)|a-2|=5,|b+1|=4,则a+b的值为( )。
A、10,0 B、10,-8 C、2,10,-8,0 D、-2,10,8,0
(9)如果a是负有理数,下列各式成立的是( )。
A、a<
-a B、|a|=a C、|a|≤a D、a>
(10)到原点距离不大于2的数有( )个。
A、3 B、4 C、5 D、无数
(11)不相等的有理数a,b,c在数轴上的对应点分别为A、B、C,如果|a-b|+|b-c|=|a-c|,那么B点( )。
A、在A、C点的右边 B、在A、C点的左边 C、在A、C点之间 D、上述三种位置都有可能
(12)若
=-1,则
=( )。
A、-4,4 B、-4,2 C、-2,0 D、-2,2
(13)若
=0,则①a+b=0,②a-b>
0,③ab<
0,④
=-1,上述结论正确的是( )。
A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④
3.若|2a-b|+|b-2|=0,求3a+2b的值。
4.把下列各数填到适当的集合中:
-(-5),-(+2),|-1|,-|-
|,-
,8.17,0,111,-3.14,-75
整数集合{ …};
分数集合{ …};
非负数集合{ …};
绝对值不大于1的集合{ …}。
5.计算:
6.如果x,y为有理数,且x,y满足条件|x|=5,|y|=2,|x-y|=y-x,求x+2y的值。
7.比较大小并用“<
”连接:
、-
8.若a,b,c在数轴上的如图所示:
化简:
(1)-3|c|+2|b|+4|b-a|;
(2)|c-b|+|a-c|+|b+c|;
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