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若系统(A(t),B(t))对初始时刻t0,存在另一时刻tf(tf>
t0),对t0时刻的初始状态x(t0)=x0,可以找到一个容许控制u(t),能在有限时间tf−t0内把系统从初态x(t0)转移至任意指定的终态x(tf),那么就称系统在t0时刻的状态x(t0)是能控的。
若系统在状态空间中的每一个状态都能控,那么就称系统在(t0,tf)时间间隔内是状态完全能控的,简称状态能控的或能控系统。
若系统存在某一个状态x(t0)不满足上述条件,则此系统称为不能控系统。
线性定常连续系统(A,B)其状态完全能控的充要条件是其能控性矩阵
Qc=[BABA2B…An1B]
的秩为n,即
rankQc=n
设线性定常连续系统(A,B)具有两两相异的特征值,则其状态完全能控的充要条件,是系统经线性变换后的对角线矩阵
中,不包含元素全为零的行。
若线性连续系统(A,B)有相重的特征值时,即A为约当形时,则系统能控的充要条件是:
(1)输入矩阵B中对应于互异的特征值的各行,没有一行的元素全为零;
(2)输入矩阵B中与每个约当块最后一行相对应的各行,没有一行的元素全为零。
输出能控性
线性定常系统(A,B,C,D),其输出完全能控的充要条件是输出能控性矩阵满秩,即
rankQ=rank[CBCAB…CAn-1BD]=m
状态能观测性
定义对任意给定的输入信号u(t),在有限时间tf>
t0,能够根据输出量y(t)在[t0,tf]内的测量值,唯一地确定系统在时刻t0的初始状态x(t0),则称此系统的状态是完全能观测的,或简称系统能观测的。
线性定常系统(A,C)状态完全能观测的充要条件是能观测性矩阵
设线性定常连续系统(A,C)具有互不相同的特征值,则其状态完全能观测的充要条件,是系统经线性非奇异变换后的对角标准形
中,Ĉ不包含全为零的列。
设线性定常连续系统(A,C)具有重特征值,则其状态完全能观测的充要条件,是系统经线性非奇异变换后的约当标准形
中,和每个约当块Ji(i=1,2,…,k)首行相对应的Ĉ的所有那些列,其元素不全为零。
例3-8分析下列系统的状态能观测性
对偶性原理系统1状态完全能控(完全能观测)的充要条件与其对偶系统2状态完全能观测(完全能控)的充要条件相同。
根据这一原理,一个系统的状态完全能控性(能观测性)就可以借助其对偶系统的状态完全能观测性(能控性)来研究。
系统的能控性和能观测性与传递函数阵的关系
前已述及,系统的能控性和能观测性是现代控制理论中两个重要的基本概念。
而传递函数矩阵概念,目前已被广泛用于控制工程中,那么它们之间是否存在内在联系呢?
回答是肯定的。
为了阐明它们之间的联系,首先应该对不完全能控,或者不完全能观测系统进行结构分解,即把系统中不能控或不能观测的部分同系统的能控与能观测部分区分开来,要做到这一点,一般可用线性变换来解决。
综合以上结果,系统按能控性和能观测性分解后
系统传递函数中零极点相消定理
一个单输入单输出线性定常系统Σ(A,B,C),若其传递函数中没有零点和极点相消现象,那么系统一定是既能控又能观测的。
若有零、极点相消现象,则系统视状态变量的选择不同,它将是不能控的,或者是不能观测的,或者是不能控不能观测的。
系统的能控标准形和能观测标准形
标准形亦称规范形,它是系统的系数在一组特定的状态空间基底下导出的标准形式。
而系统的能控标准形和能观测标准形,指的是系统的状态方程和输出方程若能变换成某一种标准形式,即可说明这一系统必是能控的或能观测的,那么这一标准形式就称为能控标准形或能观测标准形。
由于能控标准形常用于极点的最优配置,而能观测标准形常常用于观测器的状态重构,所以这两种标准形对系统的分析和综合有着十分重要的意义。
设线性定常系统Σ(A,B,C),如果系统是能控的,那么,就一定存在一个非奇异变换,能将上述系统Σ(A,B,C)变换成能控标准形。
变换矩阵P由下式确定
式中P1=[0…01][BAB…An1B]1=[0…01]Qc1
设线性定常系统Σ(A,C),如果系统是能观测的,那么,就一定存在一个非奇异变换,能将上述系统Σ(A,C)变换成能观测标准形。
且能观测标准形的系统矩阵中a1,a2,…,an为系统特征多项式
sIA=sn+a1sn1+…+an1s+an
的系数;
变换矩阵T为
T=[T1AT1…An1T1]
式中
例3-28已知系统的传递函数为
(1)试确定a的取值,使系统成为不能控,或为不能观测;
(2)在上述的a取值下,求使系统为状态能控的状态空间表达式;
(3)在上述的a取值下,求使系统为状态能观测的状态空间表达式。
(4)求a=1时,系统的一个最小实现。
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