2012-12-29-小升初奥数知识点梳理.doc
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小升初奥数知识点梳理
一、计算
1.四则混合运算繁分数
⑴运算顺序
练习:
1、 2、
3、 4、
5、
6、(2+3.15+5.87)×(3.15+5.87+7.32)-(2+3.15+5.87+7.32)×(3.15+5.87)
⑵分数、小数混合运算技巧
一般而言:
①加减运算中,能化成有限小数的统一以小数形式;
②乘除运算中,统一以分数形式。
练习:
1、(5-0.8+2)×(7.6÷+2×1.25)2、×23+16×+×
⑶带分数与假分数的互化
练习:
1、(4×3.62+4.6×6)÷232、(+1)÷2÷(2-0.25)
⑷繁分数的化简
2.简便计算
⑴凑整思想
练习:
1、99.6+99.8+99.9+100+100.12、1250×0.037+0.125×160+12.5×2.7
⑵基准数思想
练习:
1、1991+1995+2000+1989+2011+2005+1998+1993
2、888+999+777+6663、1796+1797+1798
⑶裂项与拆分
练习:
1、=====
2、在自然数1~60中找出8个不同的数,使这8个数的倒数之和等于1。
3、
4、5、
6、
⑷提取公因数
练习:
1、1240×3.4+1.24×2300+12.4×4302、4.65×32-2.5×46.5-70×0.465
⑸商不变性质
⑹改变运算顺序
①运算定律的综合运用
②连减的性质
③连除的性质
练习:
1、8.376÷3.2÷2.52、7.68÷2.5÷0.4
④同级运算移项的性质
练习:
1、4.27÷28.6×3.59÷42.7×2.86÷35.92、3.56×4.32×1.28÷0.718÷0.64÷2.16
3、22.36+25.82+77.64-15.824、25.43-2.85+74.57-7.15
⑤增减括号的性质
练习:
1、(51×68×81)÷(17×34×13)2、(4.8×7.5×8.1)÷(2.4×2.5×2.7)
3、(64×75×81)÷(32×25×27)
4、1.1÷(1.1÷1.2)÷(1.2÷1.3)÷(1.3÷1.4)
⑥变式提取公因数,形如:
练习:
1、1.999×2003-1.998×20042、19.94×2010-19.93×2011
3、9÷13+13÷9+11÷13+14÷9+6÷134、11÷17+17÷19+20÷17+40÷19+3÷17
3.估算
求某式的整数部分:
扩缩法
练习:
1、8.01×1.24+8.02×1.23+8.03×1.22的整数部分是多少?
2、数的整数部分是几?
4.比较大小
①通分
a.通分母
b.通分子
②跟“中介”比
(1)与1比较法
(2)半比法-与1/2比较法
练习:
如果两个分数的分子分别比各自的分母小相同的数,分子、分母稍大的那个分数比较大。
③利用倒数性质
若,则c>b>a.。
形如:
,则。
练习:
1.比较下列各组分数的大小:
5.定义新运算
练习:
1、对于非零自然数a和b,规定符号的含义是:
ab=(m是一个确定的整数)。
如果14=23,那么34等于________。
2、对于任意的整数x与y定义新运算“△”:
求2△9。
3、若2△3=2+3+4=9,5△4=5+6+7+8=26。
按此规律,5△5=( )。
6.特殊数列求和
运用相关公式:
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦1+2+3+4…(n-1)+n+(n-1)+…4+3+2+1=n
练习:
1、2、
二、数论
1.奇偶性问题
奇奇=偶奇×奇=奇奇偶=奇奇×偶=偶
偶偶=偶偶×偶=偶
练习:
1、A、B、C是三个连续偶数,它们的倒数和是,则A、B、C的和是()。
2、下式的和是奇数还是偶数?
1+2+3+4+…+1997+1998。
3、从四个3、三个5、两个7中选出5个数,使这5个数的和等于22?
4、房间里有5盏灯,全部关着。
每次拉两盏灯的开关,这样做若干次后,有没有可能使5盏灯全部是亮的?
2.位值原则形如:
=100a+10b+c
练习:
1、把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换,得到一个新的两位数.如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45,试求这样的两位数中最大的是多少?
3.数的整除特征:
整除数
特征
2
末尾是0、2、4、6、8
3
各数位上数字的和是3的倍数
5
末尾是0或5
9
各数位上数字的和是9的倍数
11
奇数位上数字的和与偶数位上数字的和,两者之差是11的倍数
4和25
末两位数是4(或25)的倍数
8和125
末三位数是8(或125)的倍数
7、11、13
末三位数与前几位数的差是7(或11或13)的倍数
练习:
1、37□5□能被72整除,这个数除以72的商是______.
2、把33,51,65,77,85,91六个数分为两组,每组三个数,使两组的积相等,则这两组数之差为______.
3、四位数7□4□能被55整除,求出所有这样的四位数。
4、六位数175□62是13的倍数。
□中的数字是几?
5、已知一个六位数□1993□能被55整除,求所有符合题意的六位数。
4.整除性质
①如果c|a、c|b,那么c|(ab)。
②如果bc|a,那么b|a,c|a。
③如果b|a,c|a,且(b,c)=1,那么bc|a。
④如果c|b,b|a,那么c|a.
⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
5.带余除法
一般地,如果a是整数,b是整数(b≠0),那么一定有另外两个整数q和r,0≤r<b,使得a=b×q+r
当r=0时,我们称a能被b整除。
当r≠0时,我们称a不能被b整除,r为a除以b的余数,q为a除以b的不完全商(亦简称为商)。
用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r,0≤r<ba=b×q+r
练习:
1、1997个1除以7的余数
6.唯一分解定理:
任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即n=p1×p2×...×pk
练习:
求500的约数的个数。
7.约数个数与约数和定理:
设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×...×pk
那么:
n的约数个数:
d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)
n的所有约数和:
(1+P1+P1+…p1)(1+P2+P2+…p2)…(1+Pk+Pk+…pk)
练习:
1、求720所有约数的和。
2、数A﹦25×33×52×7有许多约数,其中最大的两位数约数是多少?
3、有一个整数,个位是0,它共有8个约数,这个数最小是多少?
8.同余定理
①同余定义:
若两个整数a,b被自然数m除有相同的余数,那么称a,b对于模m同余,用式子表示为a≡b(modm)
②若两个数a,b除以同一个数c得到的余数相同,则a,b的差一定能被c整除。
③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。
④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。
⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。
9.完全平方数性质
①平方差:
A-B=(A+B)(A-B),其中我们还得注意A+B,A-B同奇偶性。
②约数:
约数个数为奇数个的是完全平方数。
约数个数为3的是质数的平方。
③质因数分解:
把数字分解,使他满足积是平方数。
④平方和。
10.孙子定理(中国剩余定理)
基本解法——层层推进法
物品的个数满足除以3余2,除以5余3,除以7余2,则有物品多少个?
余同取余,和同加和,差同减差,最小公倍数做周期
(1)余同取余,最小公倍数做周期
如果一个数除以几个不同的数,余数相同,则这个数可以表示成这几个除数的最小公倍数的倍数与余数相加的形式。
练习:
一个数除以3余1,除以4余1,除以10余1。
则这个数可表示为60n+1(60为3、4、10的最小公倍数,n=0,1,2,…,下同)。
(2)和同加和,最小公倍数做周期
如果一个数除以几个不同的数,除数与余数之和相同,则这个数可以表示成这几个除数的最小公倍数的倍数与该和(除数与余数之和)相加的形式。
练习:
一个数除以5余4,除以6余3,除以8余1。
则这个数可表示为120n+9。
(3)差同减差,最小公倍数做周期
如果一个数除以几个不同的数,除数与余数之差相同,则这个数可以表示成这几个除数的最小公倍数的倍数与该差(除数与余数之差)相减的形式。
练习:
一个数除以3余1,除以4余2,除以10余8。
则这个数可表示为60n-2(n=1,2,…)。
11.辗转相除法
练习:
1、用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸,剪成面积相等的正方形,并且最后没有剩余,这些正方形的边长最长是多少?
2、用辗转相除法求568和1065的最大公因数。
12.数论解题的常用方法:
枚举、归纳、反证、构造、配对、估计
练习:
1、三个质数的最小公倍数是1001,这三个质数是()
2、是2的倍数,有5的约数,有能被3整除的最大的三位数是()
3、小丽发现:
小表妹和读初三哥哥的岁数是互质数,积是144,小表妹和读初三哥哥的岁数分别是多少岁?
4、三个连续的自然数的最小公倍数是9828,这三个自然数的和等于________
5、三个连续的自然数的最小公倍数是9828,这三个自然数的和等于________
6、王阳是一名中学生,他代表学校去市里考试,他说我的名次、年龄和分数的乘积是4074,我的名次、年龄和成绩各是多少?
三、几何图形
1.平面图形
⑴多边形的内角和
N边形的内角和=(N-2)×180°
⑵等积变形(位移、割补)
①三角形内等底等高的三角形
②平行线内等底等高的三角形
练习:
1、如图,一长方形被一条直线分成两个长方形,这两个长方形的宽的比为1∶3,若阴影三角形面积为1平方厘米,则原长方形面积为______平方厘米.
③公共部分的传递性
④极值原理(变与不变)
练习:
1、如图,在长方形ABCD中,AB=6厘米,BC=8厘米,四边形EFHG的面积是3平方厘米,阴影部分的面积和是______平方厘米.
⑶三角形面积与底的正比关系
S1︰S2=a︰b;S1︰S2=S4︰S3或者S1×S3=S2×S4
⑷相似三角形性质(份数、比例)
①;S1︰S2=a2︰A2
③S1︰S3︰S2︰S4=a2︰b2︰ab︰ab;
④S=(a+b)2
⑸燕尾定理
S△ABG:
S△AGC=S△BGE:
S△GEC=BE:
EC;
S△BGA:
S△BGC=S△AGF:
S△GFC=AF:
FC;
S△AGC:
S△BCG=S△ADG:
S△DGB=AD:
DB;
⑹差不变原理
知5-2=3,则圆点比方点多3。
⑺隐含条件的等价代换
例如弦图中长短边长的关系。
⑻组合图形的思考方法
①化整为零
②先补后去
③正反结合
2.立体图形
⑴规则立体图形的表面积和体积公式
练习:
1、一根圆柱形圆钢长2米,截去5分米以后原来的表面积增加45平方厘米,原来的圆柱体剩下的体积是()立方厘米。
2、把一个长宽高分别是6厘米,5厘米,4厘米的长方体截成两个长方体以后,这两个长方体的表面积之和最大是()平方厘米。
3、一个长方体的侧面、前面和底面的面积分别是12平方分米、8平方分米和6平方分米,并且长、宽、高均为整分米,它的体积是()立方米。
4、如图,在棱长为3的正方体中由上到下,由左到右,由前到后,有三个底面积是1的正方形高为3的长方体的洞,则所得物体的表面积是多少?
⑵不规则立体图形的表面积
整体观照法
⑶体积的等积变形
①水中浸放物体:
V升水=V物
②测啤酒瓶容积:
V=V空气+V水
练习:
1、一个高3分米,底面直径为20厘米的圆柱形水桶里装满水,水中放着一个底面直径为18厘米,高为15厘米的铁质圆锥体,当这个铁质圆锥体取出后,会发生怎样的变化?
结果如何?
2、有A、B两个容器,如图,先把A容器装满水,然后将水倒入B容器,B容器中水的深度是多少厘米?
3、如右图,是一个棱长为4分米的正方体零件,它的上、下、左、右面上各有一个半径为2厘米的圆孔,孔深为1分米,这个零件的表面积是多少?
体积是多少?
⑷三视图与展开图
最短线路与展开图形状问题
⑸染色问题
几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。
四、典型应用题
1.植树问题
①开放型与封闭型
②间隔与株数的关系
练习:
1、沿公路一旁埋电线杆301根,每相邻的两根的间距是50米。
后来全部改装,只埋了201根。
求改装后每相邻两根的间距。
2.方阵问题
外层边长数-2=内层边长数
(外层边长数-1)×4=外周长数
外层边长数2-中空边长数2=实面积数
3.列车过桥问题
①车长+桥长=速度×时间
②车长甲+车长乙=速度和×相遇时间
③车长甲+车长乙=速度差×追及时间
列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题
车长=速度和×相遇时间
车长=速度差×追及时间
4.年龄问题差不变原理
练习:
1、父亲48岁,儿子21岁。
问几年前父亲的年龄是儿子的4倍?
5.鸡兔同笼假设法的解题思想
鸡兔同笼的公式:
解法1:
(兔的脚数×总只数-总脚数)÷(兔的脚数-鸡的脚数)=鸡的只数
总只数-鸡的只数=兔的只数
解法2:
(总脚数-鸡的脚数×总只数)÷(兔的脚数-鸡的脚数)=兔的只数
总只数-兔的只数=鸡的只数
解法3:
总脚数÷2—总头数=兔的只数总只数—兔的只数=鸡的只数
练习:
1、小明要买一本49元的书,他手上有贰元和伍元的纸币各10张。
请问他有______种付钱方法?
(不用找钱)
2、在一个停车场,共有24辆车,其中汽车是4个轮子,摩托车是3个轮子,这些车共有86个轮子,那么三轮摩托车有______辆.
3、一个运输队包运1998套玻璃茶具。
运输合同规定:
每套运费以1.6元计算,每损坏一套,不仅不得运费,还要从总费中扣除赔偿费18元。
结果这个队实际得运费3059.6元。
在运输过程中被损坏的茶具套数是________
4、甲、乙两件商品成本共600元.已知甲商品按45%的利润定价,乙商品按40%的利润定价;后来甲打8折出售,乙打9折出售,结果共获利润110元.两件商品中,成本较高的那件商品的成本是 元.
6.牛吃草问题原有草量=(牛吃速度-草长速度)×时间
练习:
1、牧场上一片青草,每天牧草都匀速生长。
这片牧草可供10头牛吃20天,或者可供15头牛吃10天。
问:
可供25头牛吃几天?
2、一牧场上的青草每天都匀速生长。
这片青草可供27头牛吃6周或供23头牛吃9周。
那么,可供21头牛吃几周?
7.平均数问题
练习:
1、小明在期中考试中,语文得78分,外语得90分,政治得82分,历史得80分,数学的成绩比五门功课的平均成绩高6分,小明的数学成绩得()分
2、甲、乙、丙三种糖果每千克分别是14元、10元、8元.现把甲种糖果4千克,乙种糖果3千克,丙种糖果5千克混合在一起,问买2千克这种混合糖果需多少元?
8.盈亏问题分析差量关系
总差额的求法可以分为以下四种情况:
第一次多余,第二次不足,总差额=多余+不足
第一次正好,第二次多余或不足,总差额=多余或不足
第一次多余,第二次也多余,总差额=大多余-小多余
第一次不足,第二次也不足,总差额=大不足-小不足
练习:
1、欢欢每天早上步行上学,如果每分走50米,则要迟到5分,如果每分走70米,则可提前5分到校.欢欢到学校的路程是______.
2、李老师给学生发练习本,每人5本还多23本;每人7本还多7本,这个班有学生()人,一共有()本练习本。
3、参加美术小组的同学,每个人分的相同的支数的色笔,如果小组10人,则多25支,如果小组有12人,色笔多余5支。
求每人分得几支?
共有多少支色铅笔?
9.和差问题
练习:
1、某加工厂甲班和乙班共有工人94人,因工作需要临时从乙班调46人到甲班工作,这时乙班比甲班人数少12人,求原来甲班和乙班各有多少人?
10.和倍问题
练习:
1、在一个减法算式里,被减数,减数和差的和是120,而差是减数的3倍,差等于()
2、一天甲、乙、丙三个同学做数学题.已知甲比乙多做了6道,丙做的是甲的2倍,比乙多22道,则他们一共做了______道数学题.
3、汽车运输场有大小货车115辆,大货车比小货车的5倍多7辆,运输场有大货车和小汽车各有多少辆?
11.差倍问题
练习:
1、在一个三角形中,第一个内角的度数是第二个内角的3倍,第三个内角的度数是第二个内角的一半,第一个内角度数是()
12.逆推问题还原法,从结果入手
练习:
1、妈妈买来一些苹果,第一天吃去又个,第二天吃去剩下的又个,第三天吃去再剩下的又个,这时剩下3个苹果,问妈妈共买来多少个苹果?
2、某人有一批书让李借走一半加一本,让张借走剩下的一半加2本,再剩下的书让王借走一半加3本,最后剩下2本,问某人原来共有多少本书?
3、3只猴子吃篮子里的桃子,第一只猴子吃了,第二只猴子吃了剩下的,第三只猴子吃了第二只猴子吃剩下的,最后篮子里还剩12只桃子。
问篮子里原来有多少个桃子?
13.代换问题列表消元法等价条件代换
五、行程问题
1.相遇问题路程和=速度和×相遇时间
练习:
1、甲乙两个人同时骑车相向而行,甲的速度每小时行11千米,乙的速度每小时行9千米,两个人相遇时离中点1.5千米,问甲乙两地相距多少千米?
2、两辆汽车分别从AB两地同时出发,在距中点40千米处相遇,甲行全程需10小时,乙行全程需15小时。
求AB两地距离。
(用多种方法解答)
2.追及问题路程差=速度差×追及时间
(1)追及距离除以速度差等于追及时间.
追及时间乘以速度差等于追及距离.
追及距离除以追及时间等于速度差.
(2)速度差×追及时间=追及路程
追及路程÷速度差=追及时间(同向追及)
甲路程—乙路程=追及时相差的路程
3.流水行船
顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速
船速=(顺水速度+逆水速度)÷2水速=(顺水速度-逆水速度)÷2
练习:
1、一只船在河里航行,顺流而行时航速为每小时20千米.已知此船顺水航行3小时和逆水航行5小时所行的路程相等,问船速和水速分别为多少?
2、一只轮船从甲地开往乙地顺水而行,每小时行28千米,到乙地后,又逆水航行,回到甲地。
逆水比顺水多行2小时,已知水速每小时4千米。
求甲乙两地相距多少千米?
4.多次相遇
线型路程:
甲乙共行全程数=相遇次数×2-1
环型路程:
甲乙共行全程数=相遇次数
其中甲共行路程=单在单个全程所行路程×共行全程数
5.环形跑道
6.行程问题中正反比例关系的应用
路程一定,速度和时间成反比。
速度一定,路程和时间成正比。
时间一定,路程和速度成正比。
7.钟面上的追及问题。
①时针和分针成直线;
②时针和分针成直角。
8.结合分数、工程、和差问题的一些类型。
9.行程问题时常运用“时光倒流”和“假定看成”的思考方法。
六、计数问题
1.加法原理:
分类枚举
2.乘法原理:
排列组合
3.容斥原理:
①总数量=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC
②常用:
总数量=A+B-AB
练习:
1、在自然数1到1000中,不能被7和13整除的数有()个
4.抽屉原理:
至多至少问题
5.握手问题
在图形计数中应用广泛
①角、线段、三角形,
②长方形、梯形、平行四边形
③正方形
练习:
1、一块砖头长20厘米,宽12厘米,厚6厘米,要堆成正方体至少需要这样的砖头()块。
2、一本故事书共100页,从第1页到100页共用了()个数字。
七、分数问题
1.量率对应
练习:
1、一本书,已看了130页,剩下的准备8天看完,如果每天看的页数相等,3天看的页数恰好是全书的5/22,这本书共有多少页?
问参加演出的男、女生各多少人?
3、希望小学五年级有学生360人,其中男生占,后来又转来了几名男生,这时男生占五年级总人数的60%,转来的男生有多少人?
2.以不变量为“1”
练习:
1、某班原来男生人数是女生人数的2/5,后来转来1名男生,这时男生和女生人数比是3:
7,现在男、女生各多少人?
2、有一堆糖果,其中奶糖占45%,再放入16块水果糖后,奶糖就只占25%,那么,这堆糖中有奶糖多少块?
3.利润问题
练习:
1、一本数学辞典售价a元,利润是成本的20%,如果把利润提高到30%,那么应提高售价______元.
2、14甲,乙两种商品成本共2200元,甲商品按20%的利润定价,乙商品按15%的利润定价,后来都按照定价的九折出售。
结果仍获利润131元,求甲种商品的成本?
3、甲、乙两件商品成本共600元.已知甲商品按45%的利润定价,乙商品按40%的利润定价;后来甲打8折出售,乙打9折出售,结果共获利润110元.两件商品中,成本较高的那件商品的成本是 元.
4.浓度问题
练习:
1、有含盐15%的盐水20千克,要使盐水含盐20%,需要加盐__________千克.
2、甲乙两个容积相同的瓶子分别装满盐水,已知甲瓶中盐、水的比是2︰9,乙瓶中盐、水的比是3︰10,现在把甲、乙两瓶水混合在一起,则混合盐水中,盐与盐水的比是()。
倒三角原理
例:
5.工程问题
①合作问题
练习:
1、一份稿件1万字,甲每分钟打120字,乙每分钟打80字,现甲单独打字打若干分钟后,因有事由乙接着的打,两人共用了90分钟,甲打字用了多少分钟?
2、一件工作,甲独做10小时完成,乙独做12小时完成,丙独做15小
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- 关 键 词:
- 2012 12 29 小升初奥数 知识点 梳理
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