高考文科数学一轮总复习命题及其关系充分条件与必要条件Word文档格式.docx
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不大于
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)“x2+2x-3<
0”是命题.( )
(2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则﹁q”.( )
(3)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.( )
(4)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( )
(5)q不是p的必要条件时,“p
q”成立.( )
答案:
(1)×
(2)×
(3)√ (4)√ (5)√
命题“若a>
b,则a+c>
b+c”的否命题是( )
A.若a≤b,则a+c≤b+c
B.若a+c≤b+c,则a≤b
C.若a+c>
b+c,则a>
b
D.若a>
b,则a+c≤b+c
解析:
选A.命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定,所以题中命题的否命题为“若a≤b,则a+c≤b+c”,故选A.
(2018·
高考天津卷)设x∈R,则“x3>
8”是“|x|>
2”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
选A.由x3>
8可得x>
2,由|x|>
2可得x>
2或x<
-2,故“x3>
2”的充分而不必要条件.故选A.
设m∈R,命题“若m>
0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是________.
把命题“若m>
0,则方程x2+x-m=0有实根”的条件与结论“换位”又“换质”得到逆否命题是“若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”.
若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0
已知p:
a<
0,q:
a2>
a,则﹁p是﹁q的________条件(填:
充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要).
﹁p:
a≥0;
﹁q:
a2≤a,即0≤a≤1,故﹁p是﹁q的必要不充分条件.
必要不充分
四种命题的相互关系及其真假判断(师生共研)
(1)(2019·
长春质量检测
(二))命题“若x2<
1,则-1<
x<
1”的逆否命题是( )
A.若x2≥1,则x≥1或x≤-1
B.若-1<
1,则x2<
1
C.若x>
1或x<
-1,则x2>
D.若x≥1或x≤-1,则x2≥1
(2)(2019·
广东中山一中第二次统测)下列命题中为真命题的是( )
A.命题“若x>
y,则x>
|y|”的逆命题
B.命题“若x>
1,则x2>
1”的否命题
C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题
D.命题“若x2>
0,则x>
1”的逆否命题
【解析】
(1)命题的形式是“若p,则q”,由逆否命题的知识,可知其逆否命题为“若﹁q,则﹁p”的形式,所以“若x2<
1”的逆否命题是“若x≥1或x≤-1,则x2≥1”.故选D.
(2)命题“若x>
|y|”的逆命题为“若x>
|y|,则x>
y”,是真命题,故A正确;
命题“若x>
1”的否命题为“若x≤1,则x2≤1”,是假命题,故B错误;
命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题为“若x≠1,则x2+x-2≠0”,是假命题,故C错误;
命题“若x2>
1”的逆否命题为“若x≤1,则x2≤0”,是假命题,故D错误,选A.
【答案】
(1)D
(2)A
(1)判断命题真假的两种方法
(2)由原命题写出其他三种命题的方法
由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,将原命题的条件与结论互换即得逆命题,将原命题的条件与结论同时否定即得否命题,将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题.
1.命题“若a2+b2=0,则a=0且b=0”的逆否命题是( )
A.若a2+b2≠0,则a≠0且b≠0
B.若a2+b2≠0,则a≠0或b≠0
C.若a=0且b=0,则a2+b2≠0
D.若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0
选D.“若a2+b2=0,则a=0且b=0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0”,故选D.
2.已知集合P=
,Q={x|x=
,k∈Z},记原命题:
“若x∈P,则x∈Q”,那么,在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是( )
A.0 B.1
C.2D.4
选C.因为P=
=
,Q=
,
所以PQ,
所以原命题“若x∈P,则x∈Q”为真命题,
则原命题的逆否命题为真命题.
原命题的逆命题“若x∈Q,则x∈P”为假命题,
则原命题的否命题为假命题,所以真命题的个数为2.
充分条件、必要条件的判断(师生共研)
(1)(2018·
高考北京卷)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( )
C.充分必要条件
(2)(2018·
高考天津卷)设x∈R,则“
<
”是“x3<
1”的( )
【解析】
(1)因为|a-3b|=|3a+b|,所以(a-3b)2=(3a+b)2,所以a2-6a·
b+9b2=9a2+6a·
b+b2,又因为|a|=|b|=1,所以a·
b=0,所以a⊥b;
反之也成立.故选C.
(2)由
,得0<
1,所以0<
x3<
1;
由x3<
1,得x<
1,不能推出0<
1.所以“
1”的充分而不必要条件.故选A.
【答案】
(1)C
(2)A
充分条件、必要条件的三种判断方法
(1)定义法:
根据p⇒q,q⇒p进行判断.
(2)集合法:
根据p,q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法:
适用于“不易直接正面判断”的情况,可将命题转化为另一个等价的又易于判断真假的命题,再去判断.常用的是逆否等价法,如下:
①﹁q是﹁p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件;
②﹁q是﹁p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件;
③﹁q是﹁p的充要条件⇔p是q的充要条件;
④﹁q是﹁p的既不充分也不必要条件⇔p是q的既不充分也不必要条件.
1.设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
选A.由A⊆C,B⊆∁UC,易知A∩B=∅,但A∩B=∅时未必有A⊆C,B⊆∁UC,如图所示,
所以“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的充分不必要条件.
2.已知p:
|x+1|>
2,q:
5x-6>
x2,则p是q的( )
选B.由|x+1|>
2得x<
-3或x>
1,所以p:
由5x-6>
x2得2<
3,所以q:
2<
3,所以p是q的必要不充分条件.
3.已知p:
x+y≠-2,q:
x,y不都是-1,则p是q的( )
选A.因为p:
x≠-1或y≠-1,
所以﹁p:
x+y=-2,﹁q:
x=-1且y=-1,
因为﹁q⇒﹁p但﹁p
﹁q,所以﹁q是﹁p的充分不必要条件,即p是q的充分不必要条件.故选A.
充分条件、必要条件的应用(典例迁移)
已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若“x∈P”是“x∈S”的必要条件,求m的取值范围.
【解】 由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,
所以P={x|-2≤x≤10},
由“x∈P”是“x∈S”的必要条件,知S⊆P.
则
所以0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时,“x∈P”是“x∈S”的必要条件,
即所求m的取值范围是[0,3].
[迁移探究1] (变结论)若本例条件不变,问是否存在实数m,使“x∈P”是“x∈S”的充要条件.
解:
若“x∈P”是“x∈S”的充要条件,则P=S,
所以
即不存在实数m,使“x∈P”是“x∈S”的充要条件.
[迁移探究2] (变结论)本例条件不变,若“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
由例题知P={x|-2≤x≤10},
因为“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件,
所以P⇒S且S
P.
所以[-2,10][1-m,1+m].
或
所以m≥9,即m的取值范围是[9,+∞).
根据充分条件、必要条件求解参数范围的方法
把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.
[注意] 在求参数范围时,要注意边界或区间端点值的检验,从而确定取舍.
已知p:
-4<
x-a<
4,q:
(x-2)(x-3)<
0,且q是p的充分条件,则实数a的取值范围为( )
A.-1<
6B.-1≤a≤6
C.a<
-1或a>
6D.a≤-1或a≥6
选B.设q,p表示的范围分别为集合A,B,则A=(2,3),B=(a-4,a+4).因为q是p的充分条件,则有A⊆B,即
所以-1≤a≤6.
等价转化思想在充要条件中的应用
等价转化是一种重要的数学思想,体现了“把未知问题化归到已有知识范围内求解”的求解策略.对于一个难以入手的命题,可以把命题转化为易于解决的等价命题,每一个等价命题都能提供一种解题思路.
≤2,q:
1-m≤x≤1+m(m>
0),且﹁p是﹁q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
【解】 因为﹁p是﹁q的必要不充分条件,所以p是q的充分不必要条件.
由q:
1-m≤x≤1+m,则q:
Q={x|1-m≤x≤1+m,m>
0}.
由
≤2,解得-3≤x≤13,
所以p:
P={x|-3≤x≤13}.
因为p是q的充分不必要条件,则PQ,
所以m≥12.
故实数m的取值范围为[12,+∞).
本例涉及参数问题,直接解决较为困难,先用等价转化思想,将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决.一般地,在涉及字母参数的取值范围的充分、必要条件问题中,常常要利用集合的包含、相等关系来考虑,这是解此类问题的关键.
1.如果x,y是实数,那么“x≠y”是“cosx≠cosy”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
选C.法一:
设集合A={(x,y)|x≠y},B={(x,y)|cosx≠cosy},则A的补集C={(x,y)|x=y},B的补集D={(x,y)|cosx=cosy},显然CD,所以BA,于是“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分条件.
法二(等价转化法):
因为x=y⇒cosx=cosy,而cosx=cosy
x=y,所以“cosx=cosy”是“x=y”的必要不充分条件,故“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分条件.
2.函数f(x)=
有且只有一个零点的充分不必要条件是( )
A.a<
0 B.0<
C.
<
1D.a≤0或a>
选A.因为函数f(x)的图象过点(1,0),所以函数f(x)有且只有一个零点⇔函数y=-2x+a(x≤0)没有零点⇔函数y=2x(x≤0)的图象与直线y=a无公共点.由数形结合,可得a≤0或a>
1.又因为{a|a<
0}{a|a≤0或a>
1},故选A.
[基础题组练]
1.(2019·
山西45校联考)“若a≥2或a≤-2,则a2≥4”的否命题是( )
A.若a≤2,则a2≤4
B.若a≥2,则a2≤4
C.若-2<
2,则a2<
4
D.若a≥2,则a2<
选C.将原命题的条件和结论同时否定之后可得否命题,故原命题的否命题为“若-2<
4”.故选C.
2.(2019·
湖北五校联考)已知直线l1:
mx-2y+1=0,l2:
x-(m-1)y-1=0,则“m=2”是“l1平行于l2”的( )
选C.由直线l1与直线l2平行得-m(m-1)=1×
(-2),得m=2或m=-1,经验证,当m=-1时,直线l1与l2重合,舍去,所以“m=2”是“l1平行于l2”的充要条件,故选C.
3.(2019·
南昌摸底调研)已知m,n为两个非零向量,则“m·
n<
0”是“m与n的夹角为钝角”的( )
选B.设m,n的夹角为θ,若m,n的夹角为钝角,则
θ<
π,则cosθ<
0,则m·
0成立;
当θ=π时,m·
n=-|m|·
|n|<
0成立,但m,n的夹角不为钝角.故“m·
0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件,故选B.
4.已知命题α:
如果x<
3,那么x<
5;
命题β:
如果x≥3,那么x≥5;
命题γ:
如果x≥5,那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中,下列说法正确的是( )
①命题α是命题β的否命题,且命题γ是命题β的逆命题;
②命题α是命题β的逆命题,且命题γ是命题β的否命题;
③命题β是命题α的否命题,且命题γ是命题α的逆否命题.
A.①③B.②
C.②③D.①②③
选A.本题考查命题的四种形式,逆命题是把原命题中的条件和结论互换,否命题是把原命题中的条件和结论都加以否定,逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得,故①正确,②错误,③正确.
5.“(x+1)(y-2)=0”是“x=-1且y=2”的________条件.
因为(x+1)(y-2)=0,所以x=-1或y=2,所以(x+1)(y-2)=0⇒/x=-1且y=2,x=-1且y=2⇒(x+1)(y-2)=0,所以是必要不充分条件.
6.对于原命题:
“已知a、b、c∈R,若ac2>bc2,则a>b”,以及它的逆命题、否命题、逆否命题,真命题的个数为________.
原命题为真命题,故逆否命题为真;
逆命题:
若a>b,则ac2>bc2为假命题,故否命题为假命题,所以真命题的个数为2.
2
7.若命题“ax2-2ax-3>
0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是________.
由题意知ax2-2ax-3≤0恒成立,
当a=0时,-3≤0成立;
当a≠0时,得
解得-3≤a<
0,故-3≤a≤0.
[-3,0]
8.已知函数f(x)=2sin
(x∈R).设p:
x∈
,q:
m-3<
f(x)<
m+3.若p是q的充分条件,求实数m的取值范围.
因为p:
⇒2x-
∈
所以f(x)∈[1,2],
又因为p是q的充分条件,
解得-1<
m<
4,即m的取值范围是(-1,4).
[综合题组练]
河北石家庄模拟)下列选项中,说法正确的是( )
A.若a>
b>
0,则lna<
lnb
B.向量a=(1,m),b=(m,2m-1)(m∈R)垂直的充要条件是m=1
C.命题“角α的终边在第一象限,则α是锐角”的逆否命题为真命题
D.已知函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的,则命题“若f(a)·
f(b)<
0,则f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题
选D.因为函数y=lnx(x>
0)是增函数,所以若a>
0,则lna>
lnb,故A错误;
若a⊥b,则m+m(2m-1)=0,解得m=0,故B错误;
(特例法)互为逆否的两个命题是等价命题,而角α的终边在第一象限,角α不一定是锐角,如α=-315°
,该角的终边落在第一象限,但不是锐角,故C错误;
命题“若f(a)·
0,则f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点”的逆命题“若f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,则f(a)·
0”是假命题,如函数f(x)=x2-2x-3在区间[-2,4]上的图象连续不断,且在区间(-2,4)内有两个零点,但f(-2)·
f(4)>
0,故D正确.故选D.
2.(应用型)(2019·
陕西西安模拟)若“x>
2m2-3”是“-1<
4”的必要不充分条件,则实数m的取值范围是( )
A.[-3,3]B.(-∞,-3]∪[3,+∞)
C.(-∞,-1]∪[1,+∞)D.[-1,1]
选D.因为“x>
4”的必要不充分条件,所以(-1,4)(2m2-3,+∞),所以2m2-3≤-1,解得-1≤m≤1,故选D.
3.有下列四个命题:
①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;
②“面积相等的三角形全等”的否命题;
③“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题;
④“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题.
其中真命题为________(填写所有真命题的序号).
①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题是“若x,y互为倒数,则xy=1”,显然是真命题,故①正确;
②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”,显然是真命题,故②正确;
③若x2-2x+m=0有实数解,则Δ=4-4m≥0,解得m≤1,所以“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”是真命题,故其逆否命题是真命题,故③正确;
④若A∩B=B,则B⊆A,故原命题错误,所以其逆否命题错误,故④错误.
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