中考数学专题大讲堂第三讲对辅助圆的思考及探究Word版Word下载.docx
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中考数学专题大讲堂第三讲对辅助圆的思考及探究Word版Word下载.docx
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MN,连接A¢
C,则A¢
C
长度的最小值是.
〖分析〗△AMN沿MN所在直线翻折过程中,始终都保持着MA=MA’,即A点的运动轨迹满足于圆的基本概念,则A点的运动轨迹是以M为圆心,MA为半径的一个圆,则A¢
的最小值即转化到点C到⊙M的上的最小值问题,这时就可以得到A¢
C最小值是CM—半径,求出CM的长即可,如下图.
2.(2015年无锡惠山区二模)如图,在Rt△ABC中,∠B=60°
,BC=3,D为BC边上的三等分点,BD=2CD,E为AB边上一动点,将△DBE沿DE折叠到△DB¢
E的位置,连接AB¢
,则线段AB¢
的最小值为.
〖分析〗△DBE沿DE折叠过程中,与上题一样,始终满足于DB=DB¢
,与1相似,即作出辅助圆⊙D,以D为圆心,DB为半径的圆.A为圆外一点,求AB’的最小值即用AD—半径即可,如下图.
Ⅱ.圆轨迹中的线段最值
3.(2016年无锡惠山区一模)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,以A(4,3)为圆心,
1为半径作圆.P点为圆上一动点,连结OP.点B为OP的中点,点C坐标为(2,0),求BC的取值范围.
〖分析〗点P的运动轨迹是圆,B为OP中点,随着P的运动而运动,则根据“瓜豆原理”,
B的运动轨迹也是一个圆.我们需要确定的是B所在圆的圆心及半径,则就可以解出此题.为
确定圆心,则连接OA,取OA中点Q.连接BQ,BQ=1AP=1,则B的运动轨迹是以Q
22
1
为圆心,
2
为半径的圆.再求出CB的最大和最小值=CQ±
半径即可.(如下图)
4.(2017年无锡外国语中学一模)如图,点O在线段AB上,OA=1,OB=3,以O为圆心,
OA长为半径作圆O.点M在圆O上运动,连接MB,以MB为腰作等腰Rt△MBC,使
∠MBC=90°
,M.B.C三点为逆时针顺序,连接AC,则AC长的取值范围是.
〖分析〗点M的运动轨迹是圆,点C是由BM旋转90°
得出,则根据“瓜豆原理”初步确定点C的运动轨迹也是一个圆.我们需要确定的是B所在圆的圆心及半径,则就可以解出
此题.为确定圆心,连接OM,将OM也绕着点B旋转90°
,确定O¢
,连接O¢
C.易证
△BOM≌△BO¢
C,得出OM=O¢
C=1,则可得出点C的运动轨迹是以O¢
1为半径的圆.再求出AC的最大和最小值=AO¢
±
Ⅲ.直角三角形中的辅助圆
5.(2017年江阴校级一模)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°
,AB=BC
=2,P是△ABC所在平面内一点,且满足PA⊥PB,则PC的取值范围为.
〖分析〗因为∠APB=90°
,由90°
所对的弦是直径得出,构造⊙O.以AB中点O为圆心,1为半径作圆,则P是在⊙O上运动,确定CP的最小值为OC—半径即可.(如下图)
6.(2016年无锡天一中学二模)如图,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF.连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H.若正方形
的边长为2,则线段DH长度的最小值是.
〖分析〗因为AE=DF,易得△ABE≌△DCF、△AGD≌△CGD,则∠ABE=∠GAD=
∠DCF.因为∠GAD+∠BAH=90°
,所以∠BAH+∠ABE=90°
,所以∠AHB=90°
.则点H是在以AB为直径的圆上运动.确定DH的最小值为OD—半径即可.(如下图)
Ⅳ.定弦、定角中的辅助圆
7.(2017年无锡滨湖区期中考试)如图,在正方形ABCD,AB=2
,若点P满足PD=2,
且∠BPD=90°
,请求出AP的长.
〖分析〗因为∠BAD=∠BPD=90°
,则可认为B、A、P、D四点是在以BD为直径的圆上,设BD的中点为O,则如图,共圆.得到∠BDA=∠APB=45°
,得出∠DPE=45°
,则在Rt
△PED中,得出DE=PE=
,在Rt△AED中,AD=2
,得出AE=
,则可得
AP=6-
.如下图即可.
8.(2017年威海中考)如图,△ABC为等边三角形,AB=2,若P为△ABC内一动点,且满足∠PAB=∠ACP,则线段PB长度的最小值.
〖分析〗因为△ABC为等边三角形,满足∠PAB=∠ACP,则可确定∠APC=120°
,而∠APC所对的边恒定为AC,且长度为定值,则由圆周角的性质可以得出P点的运动轨迹是一个弧,点P是在△APC的外接圆上运动,确定BP的最小值为OB—半径即可.(如下图)
这也是我们定弦定角定理的一般模型.
9.(2016年无锡惠山区二模)如图,已知A、B是半径为2的⊙O上的两动点,以AB为直角边在⊙O内作等腰Rt△ABC,∠B=90°
,连接OC,则OC的最小值为.
〖分析〗因为△ABC为等腰Rt△,则∠BCA=45°
为定值,延长BC交⊙O于点D,则∠
ACD=135°
,连接AD.因为∠B=90°
,则AD为⊙O的直径,即AD=4为定值,则满足于上述例7的定弦定角定理模型,可分析得出点C是在一个圆上运动,则需要找圆心.设
圆心为O¢
,因为∠ACD=135°
,则其所对的圆心角∠AO¢
D=90°
,则O¢
是在⊙O上,半径
O¢
D=2.连接O¢
C,则当O¢
、O、C三点共线的时候,OC的值最小,为
22-2.(如下图)
二证明角度关系或求值
Ⅰ.角度的倍数关系
1.(2016年江苏学大教师月考)如图,AB=AC=AD,如果∠DAC是∠CAB的k倍,那么∠DBC是∠BDC的()倍
A.kB.2kC.3kD.不能确定
〖分析〗因为AB=AC=AD,则B、C、D三点可以看成是在以点A为圆心,AB为半径的圆上.则∠DBC与∠CAD是同弧所对的圆周角和圆心角,∠BDC与∠CAB是同
弧所对的圆周角和圆心角.∠DAC是∠CAB的k倍,则∠DBC也是∠BDC的k倍.
Ⅱ.角度求值问题
2.(2015年无锡惠山区校级月考)已知在正方形ABCD中,两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动,点C点D在第一象限,点E为正方形ABCD的对称中心,连结OE,证明OE平分角∠AOB.
〖分析〗因为∠AOB=∠AEB=90°
,则可以说明A、O、B、E四点共圆,以AB的中点O¢
为圆心,O¢
A为半径的圆.这种有一组对角为90°
的四边形称为损矩形,即可采用四点共圆的技巧去解决.很明显,∠EBA与∠AOE是同弧所对的圆周角,则∠EBA=∠AOE=45°
,即可说明OE平分角∠AOB.(如下图)
Ⅲ.角度最值问题
3.(2015年南京市校级月考)如图,O是半径为2,AB、CD是互相垂直的两条直径,点P是O上任意一点,过点P作PM⊥AB于M,PN⊥CD于N,点Q是MN的中点,当点P沿着圆周从D运动到点C时,tan∠QCN的最大值为.
〖分析〗因为PM⊥AB,PN⊥CD,则四边形MONP为矩形,得到对角线
MN=OP=2.说明OQ的长度恒定为1,确定点Q是在以O为圆心,1为半径的
圆上,则当CQ与圆相切时,即是∠QCO最大,tan∠QCN的值最大.(如下图)
三最值存在问题
Ⅰ.线段范围
1.(2011年河池中考)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°
,AB=3,BC=4,P是BC边上的动点.设BP=x,若能在AC边上找到一点Q,使∠BQP=90°
,则x的取值范围是.
〖分析〗因为∠ABC=90°
,则由直径所对的圆周角等于90°
,得出以BP为直径的圆与线段AC有交点,得出题目的解题技巧.则当⊙O与AC相切时,x的值最小,当点P到达C点时,x的值最大.(如下图)
2.(2015年无锡外国语二模)在平面直角坐标系中,已知△AOB是等边三角形,点A的坐标是(4,0),点B在第一象限,若N为直线y=-x-2上一点,过B作直线l⊥x轴,在l
上是否存在一点M,使得∠OMA=2∠ONA,且这样的点N有且只有一个.若存在,请直接写出点M的坐标;
若不存在,请说明理由.
〖分析〗因为题目中满足∠OMA=2∠ONA,在图中我们可以看出以M为圆心,OM为半径的圆正好满足于此条件,则可以理解为辅助圆.若这样的点N有且只有一个,则说明⊙M
与直线y=-x-2相切即可,同时也要注意图形的
对称性,M存在另外一个点,与图中的M点关于x轴对称即可.(如左图)
Ⅱ.路程长或面积问题
3.(2015年无锡惠山区校级月考)如图,矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上,点B的坐标为(7,3),点E在边AB上,且AE=1,已知点P为y轴上一动点,连接
EP,过点O作直线EP的垂线段,垂足为点H,在点P从点F(0,程中,点H的运动路径长为.
25
)运动到原点O的过
4
,且OE为定长,则点H在以OE为直径的圆上运动.点P由点F为起点,O为终点运动,则点H的运动轨迹是一段弧,圆心角为∠OO¢
H,
则求出∠OO¢
H的度数即可,而∠OO¢
H=2∠OEF,求出∠OEF的度数即可.(如下图)
4.(2015年无锡外国语月考)如图,圆O的半径为2,弦AB=2,点P为优弧AB上一动点,BC⊥BP交直线PA于点C,则△ABC的最大面积为.
〖分析〗因为BC半径为2,弦AB=2,则∠P=30°
,BC⊥BP,则∠C=60°
.因为∠C=60°
,且AB=2,则可以得出点C是在△ABC的外接圆上运动,也可以理解为我们上面讲解的定弦定角定理.要使得△ABC的面积最大,则C到AB的距离最大,如下图即可.
在辅助圆方面还需要学生多多的做练习,理解我们出现辅助圆的情况的一般要求,同时具体情况具体分析,需要学生具有很强的临场发挥能力,这部分的知识点活跃在模拟考试及中考中,还是需要学生能理解掌握,方便与学生能运用技巧性方法去解决实际困难问题.
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