凸函数的性质及其应用论文.doc
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黄山学院2008届数学与应用数学专业学年论文
凸函数性质及其应用
摘要本文首先给出了凸函数的几种定义,然后给出了凸函数的几种重要性质,最后举例说明了凸函数在微分学、积分学、及在证明不等式中的应用.
关键词凸函数的积分性质;凸函数的不等式
AbstractInthisarticle,firstwelistseveralkindofdefinitionsforconvexfunctions,thenwegiveseveralimportantpropertiesofconvexfunctions;finallywediscusstheapplicationofconvexfunctionsindifferentialcalculus,integralcalculus,andtheproofofinequality.
Keywordsintegralpropertiesofconvexfunctions;inequalityofconvexfunctions
凸函数是一类非常重要的函数,广泛应用于数学规划、控制论、黎曼几何、复分析等领域.本文先给出凸函数的几种等价定义,然后列出重要的相关性质,最后给出在微分学、积分学、以及在证明不等式中应用.
1凸函数的定义及其相互关系
定义1设在区间I上有定义,在区间I称为是凸函数当且仅当:
有上式中“”改成“<”则是严格凸函数的定义.
定义2设在区间I上有定义,在区间I称为是凸函数当且仅当:
有
定义3设在区间I上有定义,在区间I称为是凸函数当且仅当:
有
定义4在区间I上有定义,当且仅当曲线的切线恒保持在曲线以下,则成为凸函数.若除切点之外,切线严格保持在曲线下方,则称曲线为严格凸的.
引理1定义2与定义3等价.
引理2若连续,则定义1,2,3等价.
2凸函数的性质
定理1设在区间I上有定义,则以下条件等价(其中各不等式要求对任意,保持成立):
(i)在I上为凸函数
(1)
(ii)
(2)
(iii)(3)
(iv)(4)
推论1若在区间I上为凸函数,则I上任意三点,有.
推论2若在区间I上的凸函数,则过的弦的斜率是x的增函数(若为严格凸的,则严格增).
推论3若是区间I上的凸函数,则I上任意四点s 推论4若是区间I上的凸函数,则对I上的任一内点x,单侧导数皆存在,皆为增函数,且这里表示的全体内点组成之集合.(若为严格凸的,则与为严格递增的). 证明因为内点,故使得,从而(利用推论2),.再由推论2所述,当递增时,也递增.故由单调有界原理知,如下极限存在且(x)=.同理,在此式中,令时,可知存在,且.最后由推论3中的不等式重新取相应的极限,可知与皆为增函数. 推论5若在区间I上为凸的,则在任一内点上连续. 事实上由推论4知与存在,所以在处左右都连续. 定理2设函数在区间上有定义,则为凸函数的充要条件是: ,使得,有. 证明(必要性)因为凸函数,由上面的推论4知,存在且.由此任取一则时有.因,所以对任一: 恒有. (充分性)设是区间I上的任意三点,由已知条件,由此令和,可以得到,由定理1可知为凸的. 定理3设在区间I上有导数,则在I上为凸函数的充要条件是递增. 证明(充分性),不妨设及记,则,或 (1) 由于 (1)式等价于 (2) 应用定理,使得 , 但, . 故 (2)式左端= 按已知条件递增,得知,从而上式0, (2)式获证. (必要性)由定理1的推论4,在内为递增的,因存在,故亦在内为递增的,若I有右端点b,按照已知条件f在b点有左导数,易知: 同理,若I有左端点a,则即在I上为递增的. 推论若在区间I上有二阶导数,则在I上为凸函数的充要条件是: 定理4(不等式)若为上的凸函数,则,,有. 证明应用数学归纳法.当时,由定义1命题显然成立.设时命题成立,即对任何 与都有 现设及(i=1,2,…k+1),. 令i=1,2,…,k,则.由数学归纳法假设可推得 = = 即对任何正整数,上述不等式成立. 推论设在区间I上是凸函数,则对于任意的和都有. 3凸函数的应用 3.1在微分学中的应用 我们讨论了凸函数的有界性,左右函数极限和性质. 例1设函数在区间I上为凸函数,试证: 在I上的任一闭子区间上有界. 证明设为任一闭子区间: ①(证明在上有上界)取. 因为凸函数,所以其中.故在上有上界; ②(证明在上有下界)记为的中点,则,有关于的对称点,因为凸函数,所以, 从而,即为在上的下界. 例2设为区间内的凸函数,试证: 在I上的任一内闭区间上满足条件. 证明要证明在区间上满足条件,即要证明: 使得有 (1) 因为,故可取充分小,使得与此若取.由凸性,(其中分别表示在上的上下界),从而 (2) 若可取由的凸性,有,从而由此可得 (2)式成立. 若,则 (2)式明显成立.这就证明了 (2)式对一切皆成立.因此 (2)式当与互换位置也成立,故有,令则 (1)式也获证. 例3设为区间内的凸函数,并且有界,试证极限与存在. 证明设时为内任意三点,根据的凸性,当x递增时也递增.又因为, 根据单调有界原理,有极限, 从而亦存在. 3.2凸函数的积分性质 将凸性与函数的连续性(甚至单侧连续性)、单调性等联系起来,应用到积分学中可以得到许多好的结论,我们举例如下: 例4设为区间上连续的凸函数.试证: ,有. 证明令则, (1) 同理,令,亦有 从而, (2) 注意与关于中点对称.由于是凸函数, 故由 (2)式得.另外,由 (1)式,应用的凸性 . 例5设是上的凸函数,求证: (1)为上的凸函数. 证明为上的凸函数,因此它在内连续,在上有界.由此知积分 (1)有意义.,令时 (2) 恒有 [因 (2)] = (因的凸性) 所以是上的凸函数. 例6设函数在上递增,试证函数为凸函数. 证明因递增,积分有意义.且 故由定理1知为凸函数. 例7设为上的凸函数,证明有 (1) 证明因为凸函数,由定理1推论4,存在且递增(当).故 (1)中的积分有意义.对任作一分划有参看定理2,我们有 于是由. (1)式知 . 将分划无限分细,令 同理有 3.3利用凸函数的性质证明不等式 利用凸函数证明不等式已经有了许多结果,我们所做的就是由定理4证明了不等式,并且利用不等式证明了几个复杂的不等式. 例8设证明 证明由于函数在区间上是凸函数,由凸函数的性质,即定理4有 由于不可能同时相等,从而有 例9设函数是区间上的凸函数,对于 则 证明由于,则由定理1中(4)式,有 即 令,对上式两边求和,有 即 例10设及则有不等式成立: 当且仅当与成正比例时等号成立. 证明取=,,因为,所以在上为凸函数,由定理4得: 即,亦即 令则有,于是有 令,则有 当与成正比例时,即(为正常数,) 当与不成正比例时,不全相等,又因为在为严格凸函数,故严格不等式成立. 例11设和是两组正数,.证明. 证明要证原不等式即要证明. 令,则由于,所以为凹函数,由不等式 即得所证. 例12证明: . 证明设,则由于 (用不等式) 所以 由于不等式中等号成立的条件是均为常数,而,这实际上是不可能的,所以上式中的等号不成立. 例13证明不等式,其中均为正数. 证明设,由可见在时为严格凸函数.由不等式有, 从而.即 又因,所以. 例14应用不等式证明: 设,有 证明取函数,.因为是区间上严格凹函数,则对及 1.,则上式等号成立; 2.若不全相等,则由不等式① 即 ② 即 因为在上单调递增,综合①②结论得 ,命题成立. 参考文献 [1]裘兆泰等.《数学分析学习指导》,科学出版社,2004年. [2]徐利治等.《大学数学解题法诠释》第一版,安徽教育出版社,1999年. [3]徐利治等.《数学分析的方法和例题选讲》,高等教育出版社,1984年. [4]裴礼文.《数学分析中的典型问题和方法》,高等教育出版社,1988年. [5]张从军.《数学分析》,安徽大学出版社,2000年. [6]欧阳光中、姚允龙.《数学分析概要二十讲》,复旦大学出版社,1999年. [7]张筑生.《数学分析新讲》,北京大学出版社,1991年. [8]华东师范大学数学系,《数学分析》第三版,高等教育出版社,2001年. 11
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- 函数 性质 及其 应用 论文