电大形成性考核微积分初步形成性考核册答案14汇编.docx
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电大形成性考核微积分初步形成性考核册答案14汇编
微积分初步形成性考核作业
(一)解答
函数
极限和连续
、填空题(每小题2分,共20分)
1.
函数
f(x)
1的定义域是(2,3)一(3,•:
:
)
In(x-2)
2.
函数
f(x)
1—
:
的定义域是(-:
:
5)_
5-x
3.
函数
f(x)
ln(x2)「X2
的定义域是(-2,-1)一(-1,2]
4.
函数
2
f(x-1)=x-2x7,则
2
f(x)=x6_
函数
f(x)=*
厂2
x十2x兰0,则
xc
ex>0
f(0)=2
函数
f(x「1)=x2-2x,则f(x)二x2-1
函数
x-2x-3
的间断点是x--1
9.若lim叱=2,则k—tsinkx
10.若
sin3xlim
x—0kx
二、单项选择题(每小题2分,共24分)
-xx
e亠e
1.设函数y,则该函数是(B).
2
A•奇函数B.偶函数C•非奇非偶函数
2.设函数y=x2sinx,则该函数是(A).
A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数
D.既奇又偶函数
D.既奇又偶函数
3•函数
f(x)
的图形是关于
D)对称.
4.
下列函数中为奇函数是(C).
A.
xsinx
B.InxC.
ln(x..1x2)
5.
1
函数y二
•ln(x-5)的定义域为(D).
x+4
A.
x-5B.
x-4C.x
-5且x=0
6.
函数f(x)=
1
的定义域是(
D).
A.y=xB.x轴C.y轴D.坐标原点
In(x—1)
D.xx2
D.x-5且x^-4
A.(1,:
:
)B.(0,1)_•(1,:
:
)
C.(0,2)(2「:
)
D.(1,2)一(2,:
:
)
设f(x1)=x
-1,则f(x)二(c)
x(x1)
x(x-2)
D.(x2)(x-1)
F列各函数对中,
(D)中的两个函数相等.
f(x)=(•x)2,
g(x)二x
B.f(x)=.x2,g(x)二xC.f(x)二lnx2,
当x—;0时,下列变量中为无穷小量的是(
B.Sin-x
C.ln(1x)
10.当k
时,
函数f(x)=*
x21,
k,
D.
-1
11.当k
时,
函数f(x)=」ex+2,
•k,
x严0
在x=0处连续.
x=0
12.函数
f(x)二
x-3
x2-3x2的间断点是(A)
C.x=1,x=2,x=3
D•无间断点
三、解答题(每小题7分,共56分)
2•计算极限
x2+5x-6lim
x1x-1
2
解:
x5x-6(x-1)(x6)x67
lim2limlim
x1x-1x:
1(X1)(x-1)xHx12
解:
2
l:
_X
-6x8,:
一(x-2)(x-4)―
x-22
limo
x)4x2
limlim
-5x4x—4(x-1)(x-4)i
4x—1「3
5.
计算极限
x2—6x+8
lim
li^n2
x2x-5x6
4•计算极限lim
2
x「6x8
x2-5x4
=Tim——
x1_X1
7•计算极限
sin4x
百1—x-1lim
x50
|im(1-x-1)(d-x1)
xesin4x(、1-X1)
8.
计算极限lim
x屮
=lim
x一0
-X
sin4x(.1-x1)
4x
1
(、1-x1)
sin4x
x4—2
ll
解:
sin4x广sin4x(Jx+4+2)
lim:
lim
x—x4-2xx4-2)(..x42)
..sin4x(Jx+4+2)厂.rsim4xz“
=lim4lim[(、x42)=16
x_oxx_p4x
微积分初步形成性考核作业
(二)解答(除选择题)
导数、微分及应用
、填空题(每小题2分,共20分)
L1
1.曲线f(x)iX1在(1,2)点的斜率是一
2
2•曲线f(x)=eX在(0,1)点的切线方程是y二xT
1
3•曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程是x•2y-3=0
2
4.
xln2
2一x
5•若y=x(x-1)(x-2)(x-3),贝Uy(0)=_-6_
6•已知f(X)=X33x,则f(3)=2727ln3.
&若f(x)二xe」,则f(0)=二2
2
9•函数y=3(x—1)的单调增加区间是[1,邑)
2
10.函数f(x)=ax21在区间(0,•:
:
)内单调增加,贝Ua应满足a一0
二、单项选择题(每小题2分,共24分)
2
1.函数y=(x•1)在区间(-2,2)是(D)
A
.单调增加
B.单调减少
C
.先增后减
D.先减后增
2.
满足方程
y=f(x)的(C).
T(X)-U的点
定是函数
A
.极值点
B.最值点
C.驻点
D.间断点
3.
若f(x)二
:
e“cosx,贝U
f(0)=(
C).
A.
2
B.1
C.-1
D.-2
4.设y=Ig2x,贝Udy=(B).
6.曲线y=e2x1在x=2处切线的斜率是(C).
B.f(x)在x=x0处不连续,则一定在x0处不可导.
C.可导函数的极值点一定发生在其驻点上•
D.若f(x)在[a,b]内恒有f(x):
:
:
0,则在[a,b]内函数是单调下降的.10.若函数f(x)在点X0处可导,则(B)是错误的.
A.函数f(x)在点X0处有定义B.limf(x)=A,但A=f(x0)
C.函数f(x)在点X0处连续D.函数f(x)在点x°处可微
11.下列函数在指定区间|(~°°严)|上单调增加的是(B).
x2
A.sinxB.eC.xD.3-x
12.下列结论正确的有(A).
A.X。
是f(x)的极值点,且「(切存在,则必有f'(X0)=0
B.X0是f(x)的极值点,贝UX0必是f(x)的驻点
C.若「(血)=0,则X0必是f(x)的极值点
D.使f(x)不存在的点X0,--定是f(x)的极值点
三、解答题(每小题7分,共56分)
1
1.设y=x2ex,求y.
11111
1
解:
y=2xexxex
(2)=2xex-ex=(2x-1)ex
x
2.设y=sin4xcos3x,求y.
解:
y=4cos4x「3cos2xsinx
3•设y二eR丄,求y•
x
8.设cos(xy)ey=1,求dy.
解:
两边对C0S(xy)e^1求导,得:
-(1y)sinXy)yey=0
-sinXy)_ysinXy)ye0
[ey-sin(xy)]y=sinX■y)
sinX+y)
丫ey_sinx(+y)
dy=ydx="dX
ey—sin(x+y)
微积分初步形成性考核作业(三)解答(填空题除外)
不定积分,极值应用问题
一、填空题(每小题2分,共20分)
2
1•若f(x)的一个原函数为lnx,则f(x)二。
x.
2.若f(x)的一个原函数为x-e,贝Uf(x)二。
3.若f(x)dx=xexc,贝Hf(x)=.
4.若f(x)dx二sin2xc,则f(x).
5.若f(x)dx=xlnxc,贝Uf(x)二.
6.若f(x)dx=cos2xc,则f(x)二.
2
7.dedx=.
8.(sinx)dx二.
9.若f(x)dx二F(x)c,贝Uf(2x-3)dx二
10.若f(x)dx=F(x)c,则xf(1-x2)dx=.
二、单项选择题(每小题2分,共16分)
1.下列等式成立的是(A).
A.—f(x)dx=f(x)B.f(x)dx=f(x)
dx
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C•df(x)dx=f(x)
D•df(x)=f(x)
3若f(x)dx二x2e2x-c,
则f(x)二(A).
2x
A.2xe(1x)
22x
B.2xe
2x
C.2xe
D.xe2x
4若f(x)=X、.X(X0),
f(x)dx=(A).
B.
x2xc
C.X23x2c
2
D.
5以下计算正确的是(A
*(1x2)
C•dX=d..x
%:
V
6xf(x)dx=(A)
A.xf(x)「f(x)c
12
C.1xf(x)c
D.
解:
1
Inxdx=d(-)
x
B.xf(x)c
(x1)f(x)c
xf(x)dx二xdf(x)二xf(x)-f(x)dx二xf(x)-f(x)c
A-2x
A•a
B•
.2x
-2a2Xln
adxC.a_2xdx
8果等式
.f(x)e
1
:
dx
1
八「C
,则f(x)二(B)
1
1
11
A.
B.
2
C.
D.2
X
X
XX
_2x
7dadx=(a)•
解:
两边求导,得:
f(x)e「/2
x
D•a_2xdxc
三、计算题(每小题7分,共35分)
解:
IJ
dx=3dx-xdxsinxdxx
10
2.(2x-1)dx
111
解:
(2x—1)10dx(2x-1)10d(2x-1)(2x-1)101c
2'210+1
111
(2x-1)c
22
1
sin
3.—dx
x
.1
sin_111
解:
一dx--sind(-)=cosc
xxxx
2.欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地,并在正中用一堵墙将其隔成两
块,问这块土地的长和宽选取多大尺寸,才能使所用建筑材料最省?
216
解:
设矩形的长为x米,则矩形的宽为竺米,从而所用建筑材料为:
x
叫=2-驾,令=0得:
x=18(取正值),这时空=12
dxxdxx
由于根据实际问题,确实有最小值,故当矩形的长为18米,宽为12米时,才能使所用
建筑材料最省
五、证明题(本题5分)
函数f(x)=x-ex在(-:
:
0)是单调增加的.
证明:
因为f(x)=1-ex,当x•(-:
:
0)时,f(x)=1-ex.0
所以函数f(x)二x-ex在(-:
:
0)是单调增加的.
微积分初步形成性考核作业(四)解答
定积分及应用、微分方程
一、填空题(每小题2分,共20分)
i22
1.(sinxcos2x-x)dx=
°3
n
2.J;(x-4x+cosx)dx=2.
~2
3•已知曲线y二f(x)在任意点x处切线的斜率为x,且曲线过(4,5),则该曲线的方程
2x2
3
7.
&微分方程y"=y,y(0)=1的特解为y=ex
9.微分方程y'3y=0的通解为y=ce*
10.微分方程(y),4xy⑷二y7sinx的阶数为4
二、单项选择题(每小题2分,共20分)
1.在切线斜率为2x的积分曲线族中,通过点(1,4)的曲线为(A).
22
A.y=x+3B.y=x+4
C.
y=x22
D.y=x21
2.若
1
0(2xk)dx=
=2,
则k=(A).
A.
1
B.
-1C.0
D.1
)•
3.下列定积分中积分值为0的是(A
1-—dx
-j2
1ex■e
-j
_x
dx
2
(x3cosx)dx
-Tt
(x2sinx)dx
4•设
f(x)是连续的奇函数,
则定积分
-a
f(x)dx=(
0
2f(x)dx
-a
0
f(x)dx
-a
a
0f(x)dx
5.
2」sinxdx二(D
).
一:
1
—dx
x
B.二
A.yx2lny=y
y
C.yxy=e
9.
微分方程y=0的通解为(C).
10.下列微分方程中为可分离变量方程的是(
A.史二xy;B.鱼
dxdx
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dydy
C.xysinx;D.x(yx)
dxdx
三、计算题(每小题7分,共56分)
ln2-
1.e(1ex)dx
解:
2.
解:
3.
解:
4.
解:
;1(1ex)2dx
e15Inx
X
dx
e15Inxdx
1x
ln221
二0(1ex)2d(1ex^3(1
3
x\3
e)
In2
亠8
o3
19
~3
e
1(1
5Inx)dIn
1
x=一
5
e
d(15Inx)d(15lnx)
-(15Inx)2
2
°xexdx
fxexdx=
-0
xsinxdx
o
e
xd
11
x
二xe
i
exdx
二e_e
=e_(e_1)=1
二x
0xsin2dx
xx
=20xsind(?
)=一2°xd
xcos-
2
x
=-2(xcos—
2
"0"cos2d(2*4sin2
兀
=4
o
5.jxsinxdx
JtJTj[Tt
解:
J;xsinxdx=-『xdcosx=-(xcosx,-『cosxdx)
=sinx(2=1
6•求微分方程,•乂=x2T满足初始条件y
(1)=7的特解.
x4
解:
微分方程的通解为y=e"皿[q(x)^^X)d> 12 这里p(x),q(x)二x1x 将初始条件y (1)=7代入上式,解得c=1 4 11i 所以微分方程的特解为y(―x4•—x2•1) x42 7.求微分方程y--=2xsin2x的通解。 x 解: 微分方程的通解为y乂一卩以角q(x)e•PgdXdxc] 1 这里p(x),q(x)=2xsin2x x 代入得微分方程的通解为y=x(-cos2x-c) 四、证明题(本题4分) aa 证明等式^f(x)dx=0【f(「x)f(x)]dx。 a0a 证明: f(x)dxf(x)dxf(x)dx 0 考虑积分.f(x)dx,令x=-t,则dx=-dt,从而£ 0 」(x)dx= 00aa af(—t)[—dt]=—.af(—t)dt=0f(—t)dt=0f(—x)dx a0a 所以f(x)dxf(x)dx亠if(x)dx '~a■a'0 aaa =0f(-x)dx0f(x)dx=Jf(-x)f(x)]dx 4.xsin2xdx 11 xco2xsin2x 24 5.xe"dx 解: xe»dx--xde^=(xe^-e»dx)--xe。 _e。 c 四、极值应用题(每小题12分,共24分) 1.设矩形的周长为120厘米,以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。 试求矩形的边 长为多少时,才能使圆柱体的体积最大。 解: 设矩形的一边长为x厘米,则另一边长为60-x厘米,以60-x厘米的边为轴旋转一周得一圆柱体,则体积V为: V=瞅2(60-x),即: V=60二x2-二x3 dV2人dV/曰 120”: x-3: x,令0,得: dxdx x=0(不合题意,舍去),x=40,这时60-x=20 由于根据实际问题,有最大体积,故当矩形的一边长为40厘米、另一边长为60厘米时,才能使圆柱体的体积最大。 114丄12丄 代入得微分方程的通解为y(―x4•—x2•c) x42
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