高等数学重积分总结Word下载.docx
- 文档编号:4027199
- 上传时间:2023-05-02
- 格式:DOCX
- 页数:21
- 大小:23.32KB
高等数学重积分总结Word下载.docx
《高等数学重积分总结Word下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高等数学重积分总结Word下载.docx(21页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
表示平面地区D
f(x,y)
(,
)d
的面积。
(2)若在D上f(x,y)≤0,则上述曲顶柱体在Oxy面的下方,二重积分
f(x,y)d的值是负的,其绝对值为该曲顶柱体的体积
(3)若f(x,y)在D的某些子地区上为正的,在D的另一些子地区上为负的,
则
f(x,y)d表示在这些子地区上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy平面之上
的曲顶柱体体积减去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积).
3.二重积分的性质,即线性、地区可加性、有序性、估值不等式、二重
积分中值定理都与一元定积分近似。
有序性常用于比较两个二重积分的大小,
估值不等式常用于预计一个二重积分的取值范围,在用估值不等式对一个二
重积分估值的时候,一般情况须按求函数f(x,y)在闭地区D上的最大值、最
小值的方法求出其最大值与最小值,再应用估值不等式获得取值范围。
【主要观点梳理】
1.二重积分的定义
设二元函数f(x,y)在闭地区D上有定义且有界.
切割
用随意两组曲线切割D成n个小地区
1,
2,,n,同时用
i表
示它们的面积,i1,2,
n.此中随意两小块
i和
j(i
j)除界限外无公共点。
i既表示第i小块,又表示第i小块的面积.
近似、乞降对随意点(i,i)
i,作和式
n
f(
i,
i)
i.
i1
取极限
若i为
i的直径,记
n},若极限lim
max{
1,2,
f(i,i)
i
存在,且它不依靠于地区D的分法,也不依靠于点(
i)的取法,称此极限为
f(x,y)在D上的二重积分.记为
称f(x,y)为被积函数,D为积分地区,x、y为积分变元,d为面积微元(或面积元素).
2.二重积分
f(x,y)d的几何意义
(1)若在D上f(x,y)≥0,则f(x,y)d
表示以地区D为底,以f(x,y)为曲顶
的曲顶柱体的体积.
(2)若在D上f(x,y)≤0,则上述曲顶柱体在Oxy面的下方,二重积分
(3)若f(x,y)在D的某些子地区上为正的,在D的另一些子地区上为负的,
则f(x,y)d表示在这些子地区上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy平面之上
3.二重积分的存在定理
3.1若f(x,y)在有界闭地区D上连续,则f(x,y)在D上的二重积分必存在(即
f(x,y)在D上必可积).
3.2如有界函数f(x,y)在有界闭地区D上除掉有限个点或有限个圆滑曲线
外都连续,则f(x,y)在D可积.
4.二重积分的性质
二重积分有与定积分近似的性质.假定下边各性质中所波及的函数f(x,y),
g(x,y)在地区D上都是可积的.
性质1有限个可积函数的代数和必然可积,且函数代数和的积分等于各
函数积分的代数和,即
性质2被积函数中的常数因子能够提到积分号前面,即
性质3若D能够分为两个地区D1,D2,它们除界限外无公共点,则
性质4若在积分地区D上有f(x,y)=1,且用S(D)表示地区D的面积,
性质5若在D上到处有f(x,y)≤g(x,y),则有
推论f(x,y)df(x,y)d.
DD
性质6(估值定理)若在D上到处有m≤f(x,y)≤M,且S(D)为地区D的面
积,则
性质7(二重积分中值定理)设f(x,y)在有界闭地区D上连续,则在D上
存在一点(,),使
【基本问题导引】
依据二重积分的几何意义或性质求解以下各题:
1.a2dxdy
,此中D{(x,y)|x2
y2
a2}
2.设D是由x轴,y轴与直线x
y
1所围成的地区,则
I1
(x
y)2d,I2
y)3d的大小关系
是
.
【稳固拓展提升】
1.若f(x,y)在有界闭地区D上连续,且在D的任一子地区D*上有
f(x,y)d
0,试证明在D内恒有f(x,y)=0
D*
2.预计I
(xxy
x2
y2)dxdy的值,此中D{(x,y)|0x2,0y1}.
3.设f(x,y)是有界闭地区D:
x2
a2上的连续函数,则
lim
1
f(x,y)dxdy的值为多少?
a
2
a0
【数学思想方法】
二重积分是一元函数定积分的推行与发展,它们都是某种形式的和的极
限,即切割乞降、取极限,故可用微元法的思想来理解二重积分的观点与性
质。
9.2在直角坐标系中二重积分的计算
本章的要点是二重积分的计算问题,而直角坐标系中二重积分的
计算问题要点是怎样确立积分地区及确立X型地区仍是Y型地区,这也是本
章的难点。
直角坐标系中二重积分计算的基本技巧:
(1)在定积分计算中,假如D的形状不可以简单地用近似
1(x)
y2(x)或
ax
b
1(y)
x
2(y)的形式来表示,则我们能够将
D分红若干块,并由积分性
cy
d
质
对右端各式进行计算。
(2)互换积分序次不单要考虑到地区D的形状,还要考虑被积函数
的特色。
假如依据某一积分序次的积分比较困难,若互换积分序次后,因为
累次积分的积分函数(一元积分)形式发生变化,可能会使新的积分序次下的积
分简单计算,进而达成积分的求解。
可是不论是先对x积分,再对y积分,还
是先对y积分,再对x积分最后计算的结果应当是同样的。
一般的办理方法是
由积分限确立积分地区D,并依据新的积分序次将二重积分化成二次积分。
详细步骤以下:
①确立D的界限曲线,画出D的草图;
②求出D界限曲线的交点坐标;
③将D的界限曲线表示为x或y的单值函数;
④考虑能否要将D分红几块;
⑤用x,y的不等式表示D.
注:
在积分序次选择时,应试虑以下几个方面的内容:
(ⅰ)保证各层积分
的原函数能够求出;
(ⅱ)若D为X型(Y型),先对x(y)积分;
(ⅲ)若D既为X型
又为Y型,且知足(ⅰ)时,要使对D的分块最少。
(3)利用对称性等公式简化计算设f(x,y)在地区D上连续,则
①当地区D对于x轴对称
若f(x,y)
f(x,y),则
(,)d
=0;
fxy
f(x,y),则
=2f(x,y)d
,此中D1为D在x轴上方
D1
部分。
②当地区D对于y轴对称
若f(x,y)
f(x,y)d=0;
若
,则
,此中D2为D在y轴右边
f(x,y)
D2
③当地区D对于x轴和y轴都对称
f(x,y)f(x,y)
或
=4
,此中D1为D在第一
f(x,
y)f(x,y)f(x,y)
f(x,y)d
象限部分。
④轮换对称式
设D对于直线
对称,则
=fyx
一.判断题
1.
xydxdy=4xydxdy,D:
4;
D1:
4,x0,y0(
)
2.若f为连续函数,则
2x
f(x,y)dx
dx
f(x,y)dy
dy
(
直角坐标系中二重积分计算
当被积函数f(x,y)0且在D上连续时,
若D为X-型地区
D:
1(x)
2(x)
o
f(x,y)dxdy
f(x,y)dy
dx
1(x)
若D为Y–型地区D:
1(y)
2(y)
c
f(x,y)dxdy
2(y)
dy
f(x,y)dx
1(y)
说明:
若积分地区既是X–型地区又是Y–型地区,则有
1.(1992)计算I12dy1
exdx1
dyexdx.
4
2.设f(x)
xeydy,计算1
f(x)dx.
9.3在极坐标系中二重积分的计算
极坐标系中二重积分计算的基本技巧:
(1)一般地,假如积分地区是圆域、扇形域或圆环形域,且被积函数为
f(x2y2),
f(y),f(x)等形式时,计算二重积分时,常常采纳极坐标系来计算。
xy
1.若二重积分的积分地区D是1x2
4,则
dxdy=
。
2.设D:
a2,x
0,(a
0).将二重积分I
化为极坐标形式的二
次积分,则I
3.设D:
a2
x2
y2b2
0a
b.将二重积分I
利用极坐标系计算二重积分
在极坐标系下,用齐心圆r=常数及射线
=常数,分划地区D为
k
(k
n)。
f(rcos
rsin)rdrd
特别地
若D:
1(
r
2(
则有
rsin
)rdrd
1()
f(rcos,rsin)rdr
rsin)rdr
)rdrd
f(rcos,rsin)rdr
1.计算二重积分:
|1
y2|d
此中D:
y2
4.
1,x
0,y
0.
计算二重积分:
ln(x2
1)d.
9.4二重积分的应用
二重积分的应用主要在几何方面和物理方面。
几何应用之一是求曲线所
围成的面积,应用之二是求曲面所围成的立体的体积;
物理应用主假如平面
薄片的质量。
(1)空间立体的体积V
设空间立体由曲面1:
zf(x,y)与2:
zg(x,y)所围成,在xoy面投影
为平面地区D,而且f(x,y)g(x,y).则
V[f(x,y)g(x,y)]d或Vdv.
(2)曲面面积S
设圆滑曲面
为:
z
z(x,y),则S
1zx
zy
2dxdy,此中Dxy为在xoy面
Dxy
上的投影地区。
同理可得:
x
x(y,z),则S
1xy
xz
2dydz,此中Dyz为
Dyz
在yoz面上的投影地区。
y
y(x,z),则S
1yx
yz
2dxdz,此中Dxz为在xoz面
Dxz
(3)平面薄片的质量
设平面薄片的面密度为(x,y),物体所占地区为D,则它的质量为
m(x,y)d,此中dm(x,y)d,称为质量元素。
内容总结
(1)第九章二重积分
比较二重积分的大小,预计二重积分的取值范围
(2)2.明确二重积分的几何意义
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高等数学 积分 总结
![提示](https://static.bingdoc.com/images/bang_tan.gif)