北京中考各区县数学一模第题.doc
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北京中考各区县数学一模第题.doc
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2015年北京中考数学一模第28题(教师版)
(2015顺义一模)28.如图,△ABC中,AB=AC,点P是三角形右外一点,且∠APB=∠ABC.
(1)如图1,若∠BAC=60°,点P恰巧在∠ABC的平分线上,PA=2,求PB的长;
(2)如图2,若∠BAC=60°,探究PA,PB,PC的数量关系,并证明;
(3)如图3,若∠BAC=120°,请直接写出PA,PB,PC的数量关系.
(2015怀柔一模)28.在等边△ABC外侧作直线,点关于直线的对称点为D,连接BD,CD,其中CD交直线
于点E.
(1)依题意补全图1;
(2)若∠PAB=30°,求∠ACE的度数;
图1
图2
(3)如图2,若60°<∠PAB<120°,判断由线段AB,CE,ED可以构成一个含有多少度角的三角形,并证明.
(2015石景山一模)28.在△中,.
(1)如图1,直线是的垂直平分线,请在图1中画出点关于直线的对称点,连接,,与交于点;
(2)将图1中的直线沿着方向平移,与直线交于点,与直线交于点,过点作直线的垂线,垂足为点.
①如图2,若点在线段上,请猜想线段,,之间的数量关系,并证明;
②若点在线段的延长线上,直接写出线段,,之间的数量关系.
(2015朝阳一模)28.在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,点D在射线BC上(不与点B、C重合),连接AD,将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE,连接BE.
(1)如图1,点D在BC边上.
①依题意补全图1;
②作DF⊥BC交AB于点F,若AC=8,DF=3,求BE的长;
(2)如图2,点D在BC边的延长线上,用等式表示线段AB、BD、BE之间的数量关系
(直接写出结论).
图2
图1
(2015海淀一模)28.在菱形中,,点是对角线上一点,连接,,将线段绕点逆时针旋转并延长得到射线,交的延长线于点.
(1)依题意补全图形;
图1图2备用图
备用图
(2)求证:
;
(3)用等式表示线段,,之间的数量关系:
_____________________________.
(2015东城一模)28.已知:
Rt△A′BC′和Rt△ABC重合,∠A′C′B=∠ACB=90°,∠BA′C′=∠BAC=30°,现将Rt△A′BC′绕点B按逆时针方向旋转角α(60°≤α≤90°),设旋转过程中射线C′C和线段AA′相交于点D,连接BD.
(1)当α=60°时,A’B过点C,如图1所示,判断BD和A′A之间的位置关系,不必证明;
(2)当α=90°时,在图2中依题意补全图形,并猜想
(1)中的结论是否仍然成立,不必证明;
(3)如图3,对旋转角α(60°<α<90°),猜想
(1)中的结论是否仍然成立;若成立,请证明你的结论;若不成立,请说明理由.
图1图2图3
(2015平谷一模)28.
(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=80°,∠A+∠C=180°,点M是AD边上一点,把射线BM绕点B顺时针旋转40°,与CD边交于点N,请你补全图形,求MN,AM,CN的数量关系;
图1
图2
图3
(2)如图2,在菱形ABCD中,点M是AD边上任意一点,把射线BM绕点B顺时针旋,与CD边交于点N,连结MN,请你补全图形并画出辅助线,直接写出AM,CN,MN的数量关系是 ;
(3)如图3,正方形ABCD的边长是1,点M,N分别在AD,CD上,若△DMN的周长为2,则△MBN的面积最小值为 .
(2015门头沟一模)28.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,DE⊥BC于E,连接CD.
(1)如图1,如果∠A=30°,那么DE与CE之间的数量关系是.
(2)如图2,在
(1)的条件下,P是线段CB上一点,连接DP,将线段DP绕点D逆时针旋转60°,得到线段DF,连接BF,请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系,并证明你的结论.
(3)如图3,如果∠A=α(0°<α<90°),P是射线CB上一动点(不与B、C重合),连接DP,将线段DP绕点D逆时针旋转2α,得到线段DF,连接BF,请直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系(不需证明).
图1图2图3
(2015通州一模)28.在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是对角线AC上任意一点,F是线段BC延长线上一点,且CF=AE,连接BE、EF.
(1)如图1,当E是线段AC的中点时,易证BE=EF.
(2)如图2,当点E不是线段AC的中点,其它条件不变时,请你判断
(1)中的结论:
.
(填“成立”或“不成立”)
图1图2图3
(3)如图3,当点E是线段AC延长线上的任意一点,其它条件不变时,
(1)中的结论是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
(2015房山一模)28.如图1,已知线段BC=2,点B关于直线AC的对称点是点D,点E为射线CA上一点,且ED=BD,连接DE,BE.
(1)依题意补全图1,并证明:
△BDE为等边三角形;
(2)若∠ACB=45°,点C关于直线BD的对称点为点F,连接FD、FB.将△CDE绕点D顺时针旋转α度(0°<α<360°)得到△,点E的对应点为E′,点C的对应点为点C′.
①如图2,当α=30°时,连接.证明:
=;
②如图3,点M为DC中点,点P为线段上的任意一点,试探究:
在此旋转过程中,线段PM长度的取值范围?
图1
图2
图3
(2015延庆一模)28.已知,点P是△ABC边AB上一动点(不与A,B重合)分别过点A,B向直线CP作垂线,垂足分别为E,F,Q为边AB的中点.
(1)如图1,当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是,QE与QF的数量关系是;
(2)如图2,当点P在线段AB上不与点Q重合时,试判断QE与QF的数量关系,并给予证明;
(3)如图3,当点P在线段BA的延长线上时,此时
(2)中的结论是否成立?
请画出图形并给予证明.
(2015燕山一模)28.△ABC中,∠ABC=45°,AH⊥BC于点H,将△AHC绕点H逆时针旋转90°后,点C的对应点为点D,直线BD与直线AC交于点E,连接EH.
图2
图1
(1)如图1,当∠BAC为锐角时,
①求证:
BE⊥AC;
②求∠BEH的度数;
(2)当∠BAC为钝角时,
请依题意用实线补全图2,并用等式表示出线段EC,ED,EH之间的数量关系.
(2015西城一模)
△ABC中,AB=AC.取BC边的中点D,作DE⊥AC于点E,取DE的中点F,连接BE,AF交于点H.
(1)如图1,如果,那么,;
(2)如图2,如果,猜想的度数和的值,并证明你的结论;
(3)如果,那么.(用含的表达式表示)
(2015丰台一模)28.在△ABC中,CA=CB,CD为AB边的中线,点P是线段AC上任意一点(不与点C重合),过点P作PE交CD于点E,使∠CPE=∠CAB,过点C作CF⊥PE交PE的延长线于点F,交AB于点G.
(1)如果∠ACB=90°,
①如图1,当点P与点A重合时,依题意补全图形,并指出与△CDG全等的一个三角形;
②如图2,当点P不与点A重合时,求的值;
(2)如果∠CAB=a,如图3,请直接写出的值.(用含a的式子表示)
图2
图1
图3
(2015顺义一模)28.解:
(1)∵AB=AC,∠BAC=60°,
∴△ABC是等边三角形,∠APB=∠ABC,[来源:
学|科|网Z|X|X|K]
∴∠APB=60°,………………..…………………………………………..…...………1分
又∵点P恰巧在∠ABC的平分线上,
∴∠ABP=30°
∴∠PAB=90°.
∴BP=2AP,
∵AP=2,
∴BP=4.………………..………………………………..…………………….….…2分[来源:
学*科*网]
(2)结论:
PA+PC=PB.
证明:
在BP上截取PD,使PD=PA,连结AD.…………………….…….……3分
∵∠APB=60°,
∴△ADP是等边三角形,
∴∠DAP=60°,
∴∠1=∠2,PA=PD,
又∵AB=AC,
∴△ABD≌△ACP,…………………………………………….………….………4分
∴PC=BD,
∴PA+PC=PB.………………..……………………..…………………….………5分
(3)结论:
PA+PC=PB.………………..…..…….…………………...………7分
[来源:
学科网]
(2015怀柔一模)28.解:
(1)补全图形,如图1所示.……………………………1分
(2)连接AD,如图2.∵点D与点B关于直线AP对称,∴AD=AB,∠DAP=∠BAP=30°.
∵AB=AC,∠BAC=60°.∴AD=AC,∠DAC=120°.
图1
图2
∴2∠ACE+60°+60°=180°∴∠ACE=30°……………………………3分
(3)线段AB,CE,ED可以构成一个含有60°角的三角形.……………………………4分
证明:
连接AD,EB,如图3.
∵点D与点B关于直线AP对称,
图3
∴AD=AB,DE=BE,
可证得∠EDA=∠EBA.
∵AB=AC,AB=AD.
∴AD=AC,∴∠ADE=∠ACE.
∴∠ABE=∠ACE.设AC,BE交于点F,
又∵∠AFB=∠CFE.∴∠BAC=∠BEC=60°.
∴线段AB,CE,ED可以构成一个含有60°角的三角形.………7分
(2015石景山一模)
(2015朝阳一模)28.解:
(1)正确画出图形.……………1分
(2)①.……………2分
证明:
过点作⊥于点.……3分
∵⊥于点,,⊥,
∴四边形为矩形.
图1
∴,∥.
∴.……………4分
由
(1)和平移可知,
∠==∠,
∠=.
∴∠=∠=90°.
图2
∵,
∴△≌△.
图3
G
∴.………………………5分
∴.
即.……………6分
②.………………7分
(2015海淀一模)28.解:
(1)①补全图形,如图1所示.………………………1分
②由题意可知AD=DE,∠ADE=90°.
∵DF⊥BC,
∴∠FDB=90°.
图1
∴∠ADF=∠EDB.……………………………………2分
∵∠C=90°,AC=BC,
∴∠ABC=∠DFB=90°.
∴DB=DF.
∴△ADF≌△EDB.……………………………………3分
∴AF=EB.
在△ABC和△DFB中,
∵AC=8,DF=3,
∴AC=,DF=.………………………………………………………………4分
AF=AB-BF=
即BE=.…………………………………………………………………………5分
(2)BD=BE+AB.……………………………………………………………………7分
(2015东城一模)28.(本小题满分7分)
(1)补全图形,如图1所示.…………………………………………………………1分
图1图2
(2)方法一:
证明:
连接BE,如图2.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC.
,
.
是菱形ABCD的对角线,
∴.……………………………………………………………2分
.
由菱形的对称性可知,
,
.……………………………………………………………………3分
.
.
,
.…………………………………………………………4分
.
在与中,
∴≌.
.………………………………………………………………………………5分
方法二:
证明:
连接BE,设BG与EC交于点H,如图3.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC.
,
.
是菱形ABCD的对角线,
∴.………………………2分
.
由菱形的对称性可知,
,.
……………………………………………3分
,图3
.………………………………………………4分
.
在与中,
∴≌.
.………………………………………………………………………………5分
(3).…………………………………………………………………7分
(2015平谷一模)28.解:
(1)当时,.------------1分
(2)补全图形如图1,
仍然成立;------------3分
(3)猜想仍然成立.
图1
证明:
作,,垂足分别为点,如图2,则.
∵,
∴.
∵,
∴,.
∴.
图2
在和中,
∴.
∴.
在和中,
∴.
∴.
∵,
∴为等腰三角形.
∴------------7分
(2015门头沟一模)28.解:
(1)
………………………………………………………1
延长DA到点E,使AE=CN,连接BE
∵∠BAD+∠C=180°.
∴∠EAB=∠C.
又∵AB=BC,AE=CN,
∴△ABE≌△CBN.
∴∠EBA=∠CBN,BE=BN.…………………………………………………………2
∴∠EBN=∠ABC.
∵∠ABC=80°,∠MBN=40°,
∴∠EBM=∠NBM=40°.
∵BM=BM,
∴△EBM≌△NBM.
∴EM=NM.…………………………………………………………………………3
∴MN=AM+CN.……………………………………………………………………4
(2)
……………………………………………………5
MN (3)…………………………………………………………………………8 (2015通州一模28.(本小题满分7分) 解: (1)DE=EC.……………………………………………………………………1分 (2)DE、BF、BP三者之间的数量关系是BF+BP=DE.…………………2分 理由如下: [来源: 学#科#网Z#X#X#K] ∵∠ACB=90°,D是AB的中点,∠A=30° ∴DC=DB,∠CDB=60°. ∵线段DP绕点D逆时针旋转60°得到线段DF, ∴∠PDF=60°,DP=DF. 又∵∠CDB=60°,∴∠CDB-∠PDB=∠PDF-∠PDB, ∴∠CDP=∠BDF.[来源: 学&科&网] ∴△DCP≌△DBF.………………………………………………………3分 ∴CP=BF. 而CP=BC-BP, ∴BF+BP=BC,……………………………………………………………4分 在Rt△CDE中,∠DEC=90°, ∴, ∴CE=DE, ∴BC=2CE=DE, ∴BF+BP=DE.………………………………………………………5分 (3)BF+BP=2DEtanα,BF-BP=2DEtanα.……………………………………7分 ) (2015房山一模)28. 图1 解: (1)补全图形,如图1所示;……1分 证明: 由题意可知: 射线CA垂直平分BD ∴EB=ED 又∵ED=BD ∴EB=ED=BD ∴△EBD是等边三角形………………2分 图2 (2)①证明: 如图2: 由题意可知∠BCD=90°,BC=DC 又∵点C与点F关于BD对称 ∴四边形BCDF为正方形, ∴∠FDC=90°, ∵ ∴ 由 (1)△BDE为等边三角形 ∴,ED=BD ∴…………………3分 又∵旋转得到的 图3 (1) ∴ ∴ ∴…………………………4分 图3 (2) ②线段PM的取值范围是: 设射线CA交BD于点O, I: 如图3 (1) 当,D、M、P、C共线时,PM有最小值. 此时DP=DO=,DM=1 ∴PM=DP-DM=………………………5分 II: 如图3 (2) 当点P与点重合,且P、D、M、C共线时,PM有最大值. 此时DP=DE′=DE=DB=,DM=1 ∴PM=DP+DM=………………………6分 ∴线段PM的取值范围是: [来源: 学科网ZXXK] ………………7分 (2015延庆一模)28. -----------2分 解: (1)AE∥BF,QE=QF, (2)QE=QF, 证明: 如图2,延长EQ交BF于D, ----------3分 ∵AE∥BF, ∴∠AEQ=∠BDQ, 在△BDQ和△AEQ中 -----------4分 ∴△BDQ≌△AEQ(ASA), ∴QE=QD, ∵BF⊥CP, ∴FQ是Rt△DEF斜边上的中线, -----------5分 ∴QE=QF=QD, 即QE=QF. (3) (2)中的结论仍然成立, 证明: 如图3, 延长EQ、FB交于D, ∵AE∥BF, ∴∠AEQ=∠D, 在△AQE和△BQD中 ,图3 -----------6分 ∴△AQE≌△BQD(AAS), ∴QE=QD, ∵BF⊥CP, -----------7分 ∴FQ是Rt△DEF斜边DE上的中线, ∴QE=QF. 说明: 第三问画出图形给1分 (2015燕山一模) 28. (1)①证明: ∵AH⊥BC于点H,∠ABC=45°, ∴△ABH为等腰直角三角形, ∴AH=BH,∠BAH=45°, ∴△AHC绕点H逆时针旋转90°得△BHD, 图1-1 由旋转性质得,△BHD≌△AHC, ∴∠1=∠2.………………………1分 ∵∠1+∠C=90°, ∴∠2+∠C=90°, ∴∠BEC=90°,即BE⊥AC.………………………2分 ②解法一: 如图1-1, ∵∠AHB=∠AEB=90°, ∴A,B,H,E四点均在以AB为直径的圆上,………………………3分 ∴∠BEH=∠BAH=45°.………………………4分 解法二: 如图1-2, 过点H作HF⊥HE交BE于F点,∴∠FHE=90°, 即∠4+∠5=90°. 又∵∠3+∠5=∠AHB=90°, ∴∠3=∠4. 在△AHE和△BHF中, 图1-2 ∴△AHE≌△BHF,………………………3分 ∴EH=FH. ∵∠FHE=90°,∴△FHE是等腰直角三角形, ∴∠BEH=45°.………………………4分 (2)补全图2如图;………………………5分 图2-2 EC-ED=EH.………………………7分[来源: 学§科§网] (2015西城一模) 28.解: (1)90,.………………………………………………………………………2分 (2)结论: ,. 证明: 如图8,连接AD. ∵AB=AC,∠BAC=60°, ∴△ABC是等边三角形. ∵D为BC的中点, ∴AD⊥BC. 图8 ∴∠1+∠2=90°. 又∵DE⊥AC, ∴∠DEC=90°. ∴∠2+∠C=90°. ∴∠1=∠C=60°. 设AB=BC=k(), 则,. ∵F为DE的中点, ∴,. ∴,. ∴.…………………………………………………………3分 又∵∠1=∠C, ∴△ADF∽△BCE.…………………………………………………4分 ∴,…………………………………………………5分 ∠3=∠4. 又∵∠4+∠5=90°,∠5=∠6, ∴∠3+∠6=90°. ∴.………………………………………………………6分 (3).………………………………………………………………7分 注: 写或其他答案相应给分. (2015丰台一模)28. (1) ①作图.…….1分 (或).…….2分 ②过点P作
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