安徽省蚌埠二中2010年高中自主招生考试数学试题及答案.doc
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2010年普通高中自主招生考试
科学素养(数学)测试题
命题人:
赵永琴方志审题人:
程鸣
◆注意事项:
1.本卷满分150分,考试时间120分钟;
2.所有题目必须在答题卷上作答,否则不予计分。
一、选择题(每小题5分,共30分。
每小题均给出了A、B、C、D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,不填、多填或错填均得0分)
1、有一正方体,六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6,有三个人从不同的角度观察的
结果如图所示。
如果记6的对面的数字为,2的对面的数字为,那么的值为
A.3 B.7 C.8 D.11
1
1
x
y
O
2、右图是某条公共汽车线路收支差额与乘客量的图像(收支差额=车票收入-支出费用)
y
A
1
1
x
y
O
A
1
1
x
y
O
A
1
1
x
y
O
由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出两条建议:
建议
(1)是不改变车票价格,减少支出费用;建议
(2)是不改变支出费用,提高车票价格。
下面给出四个图像(如图所示)则
1
1
x
O
A
②
①
③
]]\\
④
A.①反映了建议
(2),③反映了建议
(1)B.①反映了建议
(1),③反映了建议
(2)
C.②反映了建议
(1),④反映了建议
(2)D.④反映了建议
(1),②反映了建议
(2)
3、已知函数,并且是方程的两个根,则
实数的大小关系可能是
A. B. C. D.
4、记=,令,称为,,……,这列数的“理想数”。
已知,,……,的“理想数”为2004,那么8,,,……,的“理想数”为
A.2004B.2006C.2008D.2010
5、以半圆的一条弦(非直径)为对称轴将弧折叠后
与直径交于点,若,且,则的
长为
A.B.C.D.4
6、某汽车维修公司的维修点环形分布如图。
公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件。
在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件,但调整只能在相邻维修点之间进行。
那么要完成上述调整,最少的调动件次(件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为
A. B. C. D.
二、填空题(每小题6分,共48分)
7、若表示不超过的最大整数(如等),则
_________________。
8、在中,分别是上的点,,交于点,若,则四边形的面积为________。
9、有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各三面,在每种颜色的旗帜上分别标有号码1、2、3,现任意抽取3面,它们的颜色与号码均不相同的概率是___________。
10、已知抛物线经过点A(4,0)。
设点C(1,-3),请在抛物线的对称轴上确定一点D,使得的值最大,则D点的坐标为_______。
11、三角形纸片内有100个点,连同三角形的顶点共103个点,其中任意三点都不共线。
现以这些点为顶点作三角形,并把纸片剪成小三角形,则这样的三角形的个数为__________。
12、已知点(1,3)在函数的图像上。
正方形的边在轴上,点是对角线的中点,函数的图像又经过、两点,则点的横坐标为__________。
13、按下列程序进行运算(如图)
输入
是
乘以3
减去2
大于244
停止
否
X
规定:
程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算。
若,则运算进行_______次才停止;若运算进行了次才停止,则的取值范围是________________。
14、给你两张白纸一把剪刀。
你的任务是:
用剪刀剪出下面给定的两个图案,你可以将纸片任意折叠,但只能沿直线剪一刀,要得到下面两个图案,在不实际折叠的情况下,想象一下,该如何折叠?
用虚线画出折痕,用实线画出剪的这一刀(分别在旁边的白纸上画出来)
图1图2
三、解答题(本大题共5小题,)
15、已知:
如图在Rt△ABC中,斜边AB=5厘米,BC=厘米,AC=b厘米,>b,且、b是方程的两根。
⑴求和b的值;
⑵与开始时完全重合,然后让固定不动,将以1厘米/秒的速度沿所在的直线向左移动。
①设x秒后与的重叠部分的面积为y平方厘米,
求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围;
②几秒后重叠部分的面积等于平方厘米?
16、已知⊙过点(3,4),点与点关于轴对称,过作⊙的切线交轴于点。
⑴求的值;
⑵如图,设⊙与轴正半轴交点为,点、是线段上的动点(与点不重合),连接并延长、交⊙于点、,直线交轴于点,若是以为底的等腰三角形,试探索的大小怎样变化,请说明理由。
y
H
A
D
O
O
C
P
F
y
G
D
E
x
B
x
17、青海玉树发生7.1级强震,为使人民的生命财产损失降到最低,部队官兵发扬了连续作战的作风。
刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令:
一分队立即出发前往距营地30千米的镇,二分队因疲劳可在营地休息小时再往镇参加救灾。
一分队出发后得知,唯一通往镇的道路在离营地10千米处发生塌方,塌方地形复杂,必须由一分队用1小时打通道路。
已知一分队的行进速度为千米/时,二分队的行进速度为千米/时。
⑴若二分队在营地不休息,问要使二分队在最短时间内赶到A镇,一分队的行进速度至少为多少千米/时?
⑵若=4千米/时,二分队和一分队同时赶到A镇,二分队应在营地休息几小时?
18、如图1、2是两个相似比为:
的等腰直角三角形,将两个三角形如图3放置,小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合。
⑴在图3中,绕点旋转小直角三角形,使两直角边分别与交于点,如图4。
求证:
;
⑵若在图3中,绕点旋转小直角三角形,使它的斜边和延长线分别与交于点,如图5,此时结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由。
D
A
C
B
图3
B
A
C
图2
D
图1
D
B
F
E
图5
C
D
B
A
C
F
E
A
图4
⑶如图,在正方形中,分别是边上的点,满足的周长等于正方形的周长的一半,分别与对角线交于,试问线段、、能否构成三角形的三边长?
若能,指出三角形的形状,并给出证明;若不能,请说明理由。
N
F
M
E
B
D
A
C
19、定义:
在平面内,我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量。
平面向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向。
其中大小相等,方向相同的向量叫做相等向量。
如以正方形的四个顶点中某一点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出8个不同
的向量:
、、、、、、、(由于和是相等向量,因此只算一个)。
图一
⑴作两个相邻的正方形(如图一)。
以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为,试求的值;
⑵作个相邻的正方形(如图二)“一字型”排开。
以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为,试求的值;
图二
…
共n个正方形
⑶作个相邻的正方形(如图三)排开。
以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为,试求的值;
图三
⑷
共
m
个正方形相连
作个相邻的正方形(如图四)排开。
以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为,试求的值。
参考答案和评分标准
一、选择题(每小题5分,共30分)
1、B2、B3、D4、C5、A6、B
二、填空题(每小题6分,共48分)
7、20008、9、10、(2,-6)11、20112、13、4,
图1
图2
14、
(本题的答案不唯一,其它画法相应给分)
三、解答题(本大题共5小题,)
15、⑴=4,b=3
⑵①y=(0x4)
②经过3秒后重叠部分的面积等于平方厘米。
16、⑴
B
O
C
P
F
y
G
D
E
x
(2)试探索的大小怎样变化,请说明理由.
解:
当、两点在上运动时(与点不重合),的值不变
过点作于,并延长交于,连接,
M
N
T
交于。
因为为等腰三角形,,
所以平分
所以弧BN=弧CN,所以,
所以
所以=
即当、两点在上运动时(与点不重合),的值不变。
17、⑴一分队的行进速度至少为千米/时。
⑵要使二分队和一分队同时赶到A镇,二分队应在营地不休息。
18、⑴在图4中,由于,将绕点旋转,得,
、。
连接
在中有
又垂直平分
代换得
在图5中,由,将绕点旋转,得
连接
在中有
又可证≌,得V
代换得
(3)将绕点瞬时针旋转,得,且
N
F
M
E
B
D
A
C
G
因为的周长等于正方形周长的一半,所以
化简得从而可得≌,
推出
此时该问题就转化为图5中的问题了。
由前面的结论知:
,再由勾股定理的逆定理知:
线段、、可构成直角三角形。
19、⑴
⑵
图四
⑶=34[来源:
Z,xx,k.Com]
⑷=2()+4()
共n个正方形相连
8
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