初中几何习题集(绝对经典不做后悔).doc
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初中几何经典习题集(不做后悔)
1.如图3,在Rt△ABC中,∠B=90°,它的内切圆分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F,连接AD与内切圆相交于另一点P,连接PC、PE、PF、FD,且PC⊥PF.
求证:
(1)△PFD∽△PDC;
(2)
2.如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,点D是上一点,
弦DE⊥AB交AC于F,交AB于H,交⊙O于E,P是ED延长线上一点,连PC.
(1)若PC=PF,判断PC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若,,求的值.
3.如图,BC是半圆O的直径,EC是切线,C是切点,割线EDB交半圆O于D,A是半圆O上一点,AD=DC,EC=3,BD=2.5
(1)求tan∠DCE的值;
(2)求AB的长.
4.如图,P是⊙O外一点,割线PA、PB分别与⊙O相交于A、C、B、D四点,PT切⊙O于点T,点E、F分别在PB、PA上,且PE=PT,∠PFE=∠ABP.
(1)求证:
PD·PF=PC·PE;
(2)若PD=4,PC=5,AF=,求PT的长.
5.已知AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于E,F是DC延长线上的一点,FA、FB与⊙O分别交于M、G,GE与⊙O交于点N。
(1)求证:
AB平分∠MAN;
(2)若⊙O的半径为5,FE=2CE=6,求线段AN的长。
6.已知:
如图,∠ACB=60°,CE为∠ACB的角平分线,O为射线CE上的一点,⊙O切AC于点D.
(1)求证:
BC与⊙O相切;
(2)若⊙O的半径为6,P为⊙O上一点,且使得∠DPC=90°,求DP的长
7.如图,点P为△ABC的内心,延长AP交△ABC的外接圆于D,在AC延长线上有一点E,满足AD=AB·AE,求证:
DE是⊙O的切线.
1.已知:
如图,点为等腰直角三角形的重心,,直线过点,过三点分别作直线的垂线,垂足分别为点.
(1)当直线与平行时(如图1),请你猜想线段和三者之间的数量关系并证明;
图1图2图3
(2)当直线绕点旋转到与不平行时,分别探究在图2、图3这两种情况下,上述结论是否还成立?
若成立,请给予证明;若不成立,线段三者之间又有怎样的数量关系?
请写出你的结论,不需证明.
.在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D为AC的中点.
2.如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠B=30°,AD为BC边上的中线,E为AD上一动点,设DE=nEA,连结CE并延长交AB于点F,过点F作FG∥AC交AD(或延长线)于点G。
(1)当n=1时,则=,=。
(2)如图2,当n=时,求证:
FG2=FE·FC;
(3)如图3,当n=时,。
(2)过点D作DH∥CF交AB于点H,设AF=x,则BH=HF=nx。
∵∠B=30°,∴AC=AB=
(2n+1)x(4分),过点C作CM⊥AB于点M,∵∠ACM=∠B=30°,∴MC=ACcos∠ACM=ACcos30°
=(2n+1)x·=x,AM=AC=×(2n+1)x=x,∴MF=AF-AM=x-x
=x,∴FC2=MF2+MC2=(x)2+(x)2=x2,∵,∴FE=HD=FC,∴FE·FC=FC2,,∴,即
(6分),∴当n=时,FC2=x2=x2,FE·FC=FC2=x2,∴x2=FE·FC。
∵FG∥AC,∴,∴FG=AC=x=x,∴FC2=x2=FE·FC。
(8分)
(3)过点D作DH∥CF交AB于点H,设BH=x,则HF=x,FA=4x,∴,∴n=(10分)。
3. 在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D为AC的中点.
(1)如图1,E为线段DC上任意一点,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF,连结CF,过点F作FH⊥FC,交直线AB于点H.判断FH与FC的数量关系并加以证明.
(2)如图2,若E为线段DC的延长线上任意一点,
(1)中的其他条件不变,你在
(1)中得出的结论是否发生改变,直接写出你的结论,不必证明.
A
A
B
B
D
E
C
F
H
D
C
E
F
H
图1图2
1.如图已知:
C是以AB为直径的半圆O上一点,CH⊥AB于点H,直线AC与过B点的切线相交于点D,E为CH中点,连接AE并延长交BD于点F,直线CF交直线AB于点G.
(1)求证:
点F是BD中点;
(2)若FB=FE=2,求⊙O的半径.
2.如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,CD平分∠ACB交⊙O于点D,交AB于点F,弦AE⊥CD于点H,连接CE、OH.
(1)求证:
△ACE∽△CFB;
(2)若AC=6,BC=4,求OH的长.
3.如图,已知AD是△ABC外角∠EAC的平分线,交BC的延长线于点D,延长DA交△ABC的外接圆于点F,连结FB、FC。
(1);
(2)若AB是△ABC的外接圆的直径,∠EAC=1200,BC=6cm,求AD的长。
4.如图,PA为⊙O的切线,A为切点,PBC是过点O的割线,PA=10,PB=5,∠BAC的平分线与BC和⊙O分别交于点D和E,求的值。
5.如图,P是⊙O直径AB延长线上一点,割线PCD交⊙O于C、D两点,弦DF⊥AB于点H,CF交AB于点E。
(1)求证:
;
(2)若DE⊥CF,∠P=150,⊙O的半径为2,求弦CF的长。
6.如图,BD是⊙O的直径,OA⊥OB,M是劣弧上一点,过点M点作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点,MD与OA交于N点.
(1)求证:
PM=PN;
(2)若BD=4,PA=AO,过点B作BC∥MP交⊙O于C点,求BC的长.
7.如图,AB是⊙O是直径,过A作⊙O的切线,在切线上截取AC=AB,连结OC交⊙O于D,连结BD并延长交AC于E,⊙F是△ADE的外接圆,⊙F在AE上.
求证:
(1)CD是⊙F的切线;
(2)CD=AE.
8.已知:
在三角形ABC中,D为AC上一点,且AD=DC+CB.过D点作AC的垂线交外接圆于点M.
求证:
M为优弧AB中点.
9.在圆O中,有一个内接△ABC,过点A和B作切线PA和PB相交于点P,过点P作PQ平行于BC交AC于Q,连接QO并延长交BC于H,求证:
BH=CH
10.△ABC内接于圆O,AB为圆直径,PA是过点A的直线∠PAC=∠B,
(1)求证:
PA是圆O切线
(2)如果弦CD交AB于E,CD的延长线交PA于F,AC=8,
CE:
ED=6:
5,AE:
EB=2:
3,求AB长和∠ECB的正切值
11.AB是半圆的直径,D为AB上一点,CD垂直AB,CD交半圆于E,CT是半圆
的切线,切点为T求证:
已知PAB是圆的割线,交圆于A、B两点,PC切圆于C,∠CPB的平分线交AC于E,交BC于F求证:
(1)
(2)
P是圆外一点,过P作PA切圆于A点,连PO交圆于B点,AC为弦,若∠P=∠BAC,PA=15
PB=5,求BC的长
1.在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交AC与E,交BC与D.求证:
(1)D是BC的中点;
(2)
2.正三角形内接于圆O,P是劣弧BC上任意点,PA交BC于E,求证:
(1)PA=PB+PC
(2)
3.已知:
如图,在中,,,,以为直径的交于点,点是的中点,OB,DE相交于点F.
(1)求证:
是⊙O的切线;
(2)求EF:
FD的值.
4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,半径为1的⊙A与边AB、AC分别交于点D、E,DE、BC的延长线相交于点P.
D
E
BCP
A
(1)当∠B=30°时,联结AP,若△AEP与△BDP相似,求CE的长;
(2)若CE=2,BD=BC,求∠BPD的正切值.
5.如图,⊙O中弦AC,BD交于F,过F点作EF∥AB,交DC延
长线于E,过E点作⊙O切线EG,G为切点
求证:
EF=EG
·
A
D
H
E
M
C
B
O
6.已知:
△ABC中,H为垂心(各边高线的交点),O为外心,且OM⊥BC于M.
(1)求证:
AH=2OM;
(2)若∠BAC=600,求证:
AH=AO.
1.点A、B、C在同一直线上,在直线AC的同侧作和,连接AF,CE.取AF、CE的中点M、N,连接BM,BN,MN.
(1)若和是等腰直角三角形,且(如图1),则是 三角形.
(2)在和中,若BA=BE,BC=BF,且,(如图2),则是 三角形,且.
(3)若将
(2)中的绕点B旋转一定角度,(如同3),其他条件不变,那么
(2)中的结论是否成立?
若成立,给出你的证明;若不成立,写出正确的结论并给出证明.
2.如图所示,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,DE∥BC,如图①,然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度,得到图②,然后将BD、CE分别延长至M、N,使DM=BD,EN=CE,得到图③,请解答下列问题:
(1)若AB=AC,请探究下列数量关系:
①在图②中,BD与CE的数量关系是________________;
②在图③中,猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系,并证明你的猜想;
(2)若AB=k·AC(k>1),按上述操作方法,得到图④,请继续探究:
AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系,直接写出你的猜想,不必证明.
3.以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt,连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究:
AM与DE的位置及数量关系.
(1)如图①当为直角三角形时,AM与DE的位置关系是,
线段AM与DE的数量关系是;
(2)将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后,如图②所示,
(1)问中得到的两个结论是否发生改变?
并说明理由.
如图,抛物线经过的三个顶点,已知轴,点在轴上,点在轴上,且.
(1)求抛物线的对称轴;
(2)写出三点的坐标并求抛物线的解析式;
(3)探究:
若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点,是否存在是等腰三角形.若存在,求出所有符合条件的点坐标;不存在,请说明理由.
A
C
B
y
x
0
如图,在平面直角坐标系中,开口向下的抛物线与x轴交于A、B两点,D是抛物线的顶点,O为坐标原点.A、B两点的横坐标分别是方程
的两根,且cos∠DAB=.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)作AC⊥AD,AC交抛物线于点C,求点C的坐标及直线AC的函数解析式;
(3)在
(2)的条件下,在x轴上方的抛物线上是否存在一点P,使△APC的面积最大?
如果存在,请求出点P的坐标和△APC的最大面积;如果不存在,请说明理由.
(3)存在点P(4,3),使S△APC最大=54.………………………………………………1分
理由如下:
作CG⊥x轴于G,PF∥y轴交x轴于Q,交AC于F.设点P的横坐标是h,
则G(10,0),P(h,),F(h,-h-2)
∴PF=………………………………1分
△PCF的高等于QG.
S△APC=S△APF+S△PCF
=PF·AQ+PF·QG
=PF(AQ+QG)=PF·AG……………………………………………1分
=
=
∴当h=4时,S△APC最大=54.点P的坐标为(4,3).……………………………1分
1.在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的半圆O交BC于点D,DE⊥AC,垂足为E.
A
B
C
D
E
O
·
(1)求证:
点D是BC的中点;
(2)判断DE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(3)如果⊙O的直径为9,cosB=,求DE的长.
A
D
C
M
N
B
E
2.如图内接于圆,,直线切圆于点,弦相交于点。
(1)求证≌;
(2)若
3.已知C点在⊙O直径BE的延长线上,CA切⊙O于A点,CD是∠ACB的平分线交AE于点F,交AB于点D。
(1)求∠ADF的度数;
(2)若AB=AC,求的值。
4.AB是⊙O的直径,AC是弦,∠BAC的平分线AD交⊙O于点D,DE⊥AC,交AC
的延长线于点E,OE交AD于点F.
(I)求证:
DE是⊙O的切线;
(II)若的值.
5.如图:
AB是⊙O的直径,C、F为⊙O上的点,CA是的角平分线,过点C
作CD⊥AF,交AF的延长线于D点,CM⊥AB,垂足为M,求证:
(I)DC是⊙O的切线;
(II)MB=DF。
6.如右图梯形ABCD内接于圆O,AD//BC,过B引圆O切线分别交DA、CA延长线于E、F
求证:
(1)
(2)已知BC=8,CD=5,AF=6,求EF长
1.如图①,将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上),使点B落在AD边上的点M处,点C落在点N处,MN与CD交于点P,连接EP.
(1)如图②,若M为AD边的中点,
①,△AEM的周长=_____cm;
②求证:
EP=AE+DP;
(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合),△PDM的周长是否发生变化?
请说明理由.
2.在□ABCD中,BC=2AB,M为AD的中点,设∠ABC=α,过点C作直线AB的垂线,垂足为点E,连ME。
(1)如图①,当α=900,ME与MC的数量关系是;∠AEM与∠DME的关系
是。
(2)如图②,当600<α<900时,请问:
(1)中的两个结论是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由。
(3)如图③,当00<α<600时,请在图中画出图形,ME与MC的数量关系是;∠AEM与∠DME的关系是。
(证明)
图①图②图③
.如图1,Rt△ABC≌Rt△EDF,∠ACB=∠F=90°,∠A=∠E=30°.△EDF绕着边AB的中点D旋转,DE,DF分别交线段AC于点M,K.
(1)观察:
①如图2、图3,当∠CDF=0°或60°时,AM+CK_______MK(填“>”,“<”或“=”).
②如图4,当∠CDF=30°时,AM+CK___MK(只填“>”或“<”).
(2)猜想:
如图1,当0°<∠CDF<60°时,AM+CK_______MK,证明你所得到的结论.
图1
图2
图3
(第23题)
图4
(3)如果,请写出∠CDF的度数和的值.
如图,已知抛物线与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,-1).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点E是线段AC上一动点,过点E作DE⊥x轴于点D,连结DC,当△DCE的面积最大时,求点D的坐标;点D的坐标为(1,0)
(3)在直线BC上是否存在一点P,使△ACP为等腰三角形,若存在,求点P的坐标,P1(,-)P2(-,)P3(1,-2)P4(,-)
1.已知:
如图,AB为⊙O的弦,过点O作AB的平行线,交
⊙O于点C,直线OC上一点D满足∠D=∠ACB.
(1)判断直线BD与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若⊙O的半径等于4,,求CD的长.
(第19题)
2.在Rt△ABC中,∠C=90,BC=9,CA=12,∠ABC的平分线BD交AC于点D,
DE⊥DB交AB于点E,⊙O是△BDE的外接圆,交BC于点F
(1)求证:
AC是⊙O的切线;
(2)联结EF,求的值.
3.内接于,为直径,弦于,是的中点,连结并延长交的延长线于点,连结,分别交、于点、.
(1)求证:
是的外心;
(2)若,求的长;
(3)求证:
.
4.已知ABC中,AB=AC,D是ABC外接圆劣弧上的点(不与点A,C重合),延长BD至E。
(1)求证:
AD的延长线平分CDE;
(2)若BAC=30,ABC中BC边上的高为2+,求ABC外接圆的面积。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
5.已知:
如图,AB是⊙O的直径,E是AB延长线上的一点,D是⊙O上的一点,且AD平分∠FAE,ED⊥AF交AF的延长线于点C.
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若AF∶FC=5∶3,AE=16,求⊙O的直径AB长
6.⊙O是△ABC的外接圆,FH是⊙O的切线,切点为F,
FH∥BC,连结AF交BC于E,∠ABC的平分线BD交AF于D,连结BF.
H
(1)证明:
AF平分∠BAC;
(2)证明:
BF=FD;
(3)若EF=4,DE=3,求AD的长.
1.如图1,点C位线段BG上一点,分别以BC、CG为边向外作正方形BCDA和正方形CGEF,使点D落在线段FC上,连结AE,点M位AE中点
(1)求证:
MD=MF,MD⊥MF
(2)如图2,将正方形CGEF绕点C顺时针旋转45°,其他条件不变,探究:
线段MD、MF的关系,并加以证明;
(3)如图3,将正方形AGEF绕点C旋转任意角度后,其他条件不同,探究:
线段MD、MF的关系,并加以证明。
2.已知:
在△ABC中AB=AC,点D为BC边的中点,点F是AB边上一点,点E在线段DF的延长线上,∠BAE=∠BDF,点M在线段DF上,∠ABE=∠DBM.
(1)中考资源网如图1,当∠ABC=45°时,求证:
AE=MD;
(2)中考资源网如图2,当∠ABC=60°时,则线段AE、MD之间的数量关系为:
。
中考资源网
(3)中考资源网在
(2)中考资源网的条件下延长BM到P,使MP=BM,连接CP,若AB=7,AE=,
求tan∠ACP的值.
3.已知:
在中,于点D,点E在AC上,BE交CD于点G,交AB于点F。
如图甲,当时,且时,则有;
(1)如图乙①,当时,且时,则线段EF与EG的数量关系是:
EF_____EG;
(2)如图乙②,当时,且时,请探究线段EF与EG的数量关系,并证明你的结论;
(3)当时且时,则线段EF与EG的数量关系,并直接写出你的结论(不论证明);
4.如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,-3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
(1)求这个二次函数的表达式.()
(2)连结PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POPC,那么是否存在点P,使四边形POPC为菱形?
若存在,请求出此时点P的坐标
(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
(2)P点的坐标为(,)(3)P点的坐标为,75/8
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