二次函数考点、知识点、例题(全).doc
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二次函数考点、知识点、例题(全).doc
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二次函数
命题点
年份
各地命题形式
考查频次
2015考查方向
二次函数的图象和性质
2014
云南(T12填)
填空1个
近3年考查2次,主要考查对图象的认识与性质的理解,预计2015年考查的可能性较大.
2013
昭通(T9选)
选择1个
确定二次函数的解析式
2014
昆明(T23解),曲靖(T24解)
解答2个
高频考点:
近3年考查12次,主要考查求二次函数的解析式,一般出现在压轴题中,预计2015年考查的可能性很大.
2013
昆明(T23解),曲靖(T24解),大理(T23解),昭通(T25解),玉溪(T23解),普洱(T23解),德宏(T23解),红河(T23解),西双版纳(24解)
解答9个
2012
云南(T23解)
解答1个
考点1二次函数的概念
一般地,形如①(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量,a、b、c分别为函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
考点2二次函数的图象和性质
函数
二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
a
a>0
a<0
图象
开口方向
抛物线开口向②,并向上无限延伸
抛物线开口向③,并向下无限延伸
对称轴
直线x=-
直线x=-
顶点坐标
(-,)
(-,)
最值
抛物线有最低点,当x=-时,y有最小值,y最小值=
抛物线有最高点,当x=-时,y有最大值,y最大值=
增减性
在对称轴的左侧,即当x<-时,y随x的增大而④;在对称轴的右侧,即当x>-a时,y随x的增大而⑤,简记左减右增
在对称轴的左侧,即当x<-时,y随x的增大而⑥;在对称轴的右侧,即当x>-时,y随x的增大而⑦,简记左增右减
【易错提示】二次函数的增减性一定要分在对称轴的左侧或右侧两种情况讨论.
考点3二次函数的图象与字母系数的关系
字母或代数式
字母的符号
图象的特征
a
a>0
开口向⑧
|a|越大开口越⑩
a<0
开口向⑨
b
b=0
对称轴为⑪轴
ab>0(b与a同号)
对称轴在y轴⑫侧
ab<0(b与a异号)
对称轴在y轴⑬侧
c
c=0
经过⑭
c>0
与y轴⑮半轴相交
c<0
与y轴⑯半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有交点(顶点)
b2-4ac>0
与x轴有不同交点
b2-4ac<0
与x轴交点
特殊关系
当x=1时,y=
当x=-1时,y=
若a+b+c>0,即当x=1时,y0
若a+b+c<0,即当x=1时,y0
考点4确定二次函数的解析式
方法
适用条件及求法
一般式
若已知条件是图象上的三个点或三对自变量与函数的对应值,则可设所求二次函数解析式为.
顶点式
若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(最小值),可设所求二次函数为.
交点式
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1,0),(x2,0),可设所求的二次函数为.
【易错提示】
(1)用顶点式代入顶点坐标时横坐标容易弄错符号;
(2)所求的二次函数解析式最后要化成一般式.
考点5二次函数与一元二次方程以及不等式之间的关系
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象与轴的交点的坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
二次函数与不等式
抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方的部分点的纵坐标都为正,所对应的x的所有值就是不等式ax2+bx+c0的解集;在x轴下方的部分点的纵坐标均为负,所对应的x的值就是不等式ax2+bx+c0的解集.
考点6二次函数的应用
利用二次函数解决实际问题的步骤
(1)通过阅读理解题意;
(2)分析题目中的变量与常量,以及它们之间的关系;
(3)依据数量关系或图形的有关性质列出函数表达式;
(4)根据问题的实际意义或具体要求确定自变量的取值范围;
(5)利用二次函数的有关性质,在自变量的取值范围内.
1.二次函数y=(x-h)2+k的图象平移时,主要看顶点坐标的变化,一般按照“横坐标加减左右移”、“纵坐标加减上下移”的方法进行.
2.二次函数的图象由对称轴分开,在对称轴的同侧具有相同的性质,在顶点处有最大值或最小值,如果自变量的取值中不包含顶点,那么在取最大值或最小值时,要依据其增减性而定.
3.求二次函数图象与x轴的交点的方法是令y=0解关于x的方程;求函数图象与y轴的交点的方法是令x=0得y的值,最后把所得的数值写成坐标的形式.
命题点1二次函数的图象和性质
例1(2013·昭通)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中正确的是()
A.a>0B.3是方程ax2+bx+c=0的一个根
C.a+b+c=0D.当x<1时,y随x的增大而减小
方法归纳:
解决此类问题应注意观察所给抛物线的特征,逐个排除不符合的选项.
1.(2014·上海)如果将抛物线y=x2向右平移1个单位,那么所得的抛物线的表达式是()
A.y=x2-1B.y=x2+1C.y=(x-1)2D.y=(x+1)2
2.(2012·巴中)对于二次函数y=2(x+1)(x-3),下列说法正确的是()
A.图象的开口向下B.当x>1时,y随x的增大而减小
C.当x<1时,y随x的增大而减小D.图象的对称轴是直线x=-1
3.(2014·云南)抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标为.
4.(2014·珠海)如图,对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1,0),(3,0)两点,则它的对称轴为.
5.(2014·滨州)已知二次函数y=x2-4x+3.
(1)用配方法求其函数的顶点C的坐标,并描述该函数的函数值随自变量的增减而增减的情况;
(2)求函数图象与x轴的交点A,B的坐标(A在B的左侧),及△ABC的面积.
命题点2二次函数的图象与系数的关系
例2抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列说法正确的是()
A.b2-4ac<0B.abc<0C.-<-1D.a-b+c<0
方法归纳:
解决此类问题应当了解a,b,c,Δ=b2-4ac,a+b+c,a-b+c的符号判定的方法,同时还要观察对称轴x=.
1.(2014·黔东南)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列4个结论:
①abc<0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④b2-4ac>0.
其中正确结论的有()
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
2.(2014·陕西)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,则下列结论中正确的是()
A.c>-1B.b>0C.2a+b≠0D.9a+c>3b
3.(2014·巴中)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则下列叙述正确的是()
A.abc<0B.-3a+c<0
C.b2-4ac≥0D.将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y=ax2+c
命题点3确定二次函数的解析式
例3(2013·泰州)如图,在平面直角坐标系xOy中,边长为2的正方形OABC的顶点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上,二次函数y=x2+bx+c的图象经过B,C两点.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)结合函数的图象探索:
当y>0时x的取值范围.
【思路点拨】
(1)通过正方形的边长得出点B,C的坐标,然后代入函数解析式列方程求解;
(2)求出函数图象与x轴的交点坐标,结合图象求解.
【解答】
方法归纳:
求二次函数的解析式,通常采用待定系数法,根据题目给出的条件选择不同的函数表达式,这样便于计算.
1.(2013·安徽)已知二次函数图象的顶点坐标为(1,-1),且经过原点(0,0),求该函数的解析式.
2.(2014·宁波)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D,求点D的坐标;
(3)在同一坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x在什么范围内时,一次函数的值大于二次函数的值.
1.(2013·益阳)抛物线y=2(x-3)2+1的顶点坐标是()
A.(3,1)B.(3,-1)C.(-3,1)D.(-3,-1)
2.(2014·宿迁)若将抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,则所得抛物线的解析式为()
A.y=(x+2)2+3B.y=(x-2)2+3C.y=(x+2)2-3D.y=(x-2)2-3
3.(2013·泰安)设A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=-(x+1)2+m上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为()
A.y1>y2>y3B.y1>y3>y2C.y3>y2>y1D.y2>y1>y3
4.(2014·东营)若函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点,那么m的值为()
A.0B.0或2C.2或-2D.0,2或-2
5.(2014·毕节)抛物线y=2x2,y=-2x2,y=x2共有的性质是()
A.开口向下B.对称轴是y轴C.都有最低点D.y随x的增大而减小
6.(2014·黄石)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则函数值y>0时,x的取值范围是()
A.x<-1B.x>3C.-1<x<3D.x<-1或x>3
7.(2014·新疆)对于二次函数y=(x-1)2+2的图象,下列说法正确的是()
A.开口向下B.对称轴是x=-1C.顶点坐标是(1,2)D.与x轴有两个交点
8.(2014·淄博)如图,二次函数y=x2+bx+c的图象过点B(0,-2).它与反比例函数y=的图象交于点A(m,4),则这个二次函数的解析式为()
A.y=x2-x-2B.y=x2-x+2C.y=x2+x-2D.y=x2+x+2
9.(2013·广安)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴是直线x=1.下列结论:
①abc>0,②2a+b=0,③b2-4ac<0,④4a+2b+c>0.
其中正确的是()
A.①③B.只有②C.②④D.③④
10.(2014·长沙)抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是.
11.(2013·北京)请写出一个开口向上,并且与y轴交于点(0,1)的抛物线的解析式.
12.已知函数y=-3(x-2)2+4,当x=时,函数取得最大值为.
13.(2013·河南)点A(2,y1),B(3,y2)是二次函数y=x2-2x+1的图象上两点,则y1与y2的大小关系为y1 14.(2014·安徽)某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为. 15.(2013·温州)如图,抛物线y=a(x-1)2+4与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D,连接BD.已知点A的坐标为(-1,0). (1)求抛物线的解析式; (2)求梯形COBD的面积. 16.(2014·龙东)如图,二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于A(-3,0)和B(1,0)两点,交y轴于点C,点C,D是二次函数图象上的一对对称点,一次函数的图象过点B,D. (1)请直接写出D点的坐标; (2)求二次函数的解析式; (3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围. 1.(2014·荆州)将抛物线y=x2-6x+5向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度后,得到的抛物线解析式是() A.y=(x-4)2-6B.y=(x-4)2-2C.y=(x-2)2-2D.y=(x-1)2-3 2.(2014·黔东南)已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为(m,0),则代数式m2-m+2014的值为() A.2012B.2013C.2014D.2015 3.(2014·长沙)函数y=与y=ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是() 4.(2014·泰安)已知函数y=-(x-m)(x-n)(其中m<n)的图象如图所示,则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是() 5.(2014·凉山)下列图形中阴影部分的面积相等的是() A.②③B.③④C.①②D.①④ 6.(2014·枣庄)已知二次函数y=ax2+bx+c的x,y的部分对应值如下表: x -1 0 1 2 3 y 5 1 -1 -1 1 则该二次函数图象的对称轴为() A.y轴B.直线x=C.直线x=2D.直线x= 7.(2014·烟台)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(-1,0),对称轴为直线x=2,下列结论: 其中正确的结论有() ①4a+b=0; ②9a+c>3b; ③8a+7b+2c>0; ④当x>-1时,y的值随x的值的增大而增大. A.1个B.2个C.3个D.4个 8.(2014·齐齐哈尔)如图,已知抛物线的顶点为A(1,4),抛物线与y轴交于点B(0,3),与x轴交于C,D两点.点P是x轴上的一个动点. (1)求此抛物线的解析式; (2)当PA+PB的值最小时,求点P的坐标. 9.(2014·徐州)某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系: y=ax2+bx-75.其图象如图. (1)销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大? 最大利润为多少元? (2)销售单价在什么范围时,该种商品每天的销售利润不低于16元? 参考答案 考点解读 ①y=ax2+bx+c②上③下④减小⑤增大⑥增大⑦减小⑧上⑨下⑩小 ⑪y⑫左⑬右⑭原点⑮正⑯负唯一两个不同没有a+b+c a-b+c><y=ax2+bx+cy=a(x-h)2+ky=a(x-x1)(x-x2)x 横>< 各个击破 例1B 解析: 根据抛物线的开口向下,可判断a<0,故A错误;由抛物线与x轴的交点(-1,0)和对称轴x=1可知抛物线与x轴的另一个交点是(3,0),故B正确;由当x=1时,y=a+b+c≠0,故C错误;从图象即可看出,当x<1时,y随x的增大而增大,故D错误.故选B. 题组训练 1.C2.C3.(1,2)4.直线x=2 5. (1)y=x2-4x+3=x2-4x+4-1=(x-2)2-1, ∴其函数的顶点C的坐标为(2,-1), ∴当x≤2时,y随x的增大而减小;当x>2时,y随x的增大而增大. (2)令y=0,则x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3, ∴A(1,0),B(3,0),AB=|1-3|=2. 过点C作CD⊥x轴于D,则△ABC的面积=AB·CD=×2×1=1. 例2C解析: 由图象与x轴有2个交点可判断A错误;根据图象的开口方向、对称轴、与y轴的交点可判断a<0,<-1,c>0,即abc>0,故B错误,C正确;由当x=-1时,y=a-b+c>0可判断D错误.故答案选C. 题组训练 1.B2.D3.B 例3 (1)由题意可得: B(2,2),C(0,2), 将B,C坐标代入y=x2+bx+c,得c=2,b=, ∴二次函数的解析式是y=x2+x+2. (2)解x2+x+2=0,得x1=3,x2=-1. 由图象可知: y>0时x的取值范围是-1<x<3. 题组训练 1.设二次函数的解析式为y=a(x-1)2-1(a≠0), ∵函数图象经过原点(0,0), ∴a(0-1)2-1=0,解得a=1, ∴该函数解析式为y=(x-1)2-1. 2. (1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过B(0,-1), ∴二次函数解析式为y=ax2+bx-1. ∵二次函数y=ax2+bx-1的图象过A(2,0)和C(4,5)两点, ∴解得 ∴y=x2-x-1. (2)当y=0时,x2-x-1=0, 解得x=2或x=-1, ∴D(-1,0). (3)如图,当-1<x<4时,一次函数的值大于二次函数的值. 整合集训 基础过关 1.A2.B3.A4.D5.B6.D7.C8.A9.C 10.(2,5)11.y=x2+112.2413.<14.y=a(1+x)2 15. (1)把A(-1,0)代入y=a(x-1)2+4,得 0=4a+4,∴a=-1. ∴y=-(x-1)2+4. (2)当x=0时,y=3,∴OC=3. ∵抛物线y=-(x-1)2+4的对称轴是直线x=1,∴CD=1. ∵A(-1,0),∴B(3,0),∴OB=3. ∴S梯形COBD==6. 16. (1)D(-2,3). (2)把点A,B代入y=ax2+bx+3中,得 解得 ∴二次函数的解析式为y=-x2-2x+3. (3)x<-2或x>1. 能力提升 1.B2.D3.D4.C5.A6.D 7.B提示: ∵抛物线的对称轴为直线x==2,∴b=-4a,即4a+b=0,故①正确; ∵当x=-3时,y<0,∴9a-3b+c<0,即9a+c<3b,故②错误; ∵抛物线与x轴的一个交点为(-1,0),∴a-b+c=0, 而b=-4a,∴a+4a+c=0,即c=-5a,∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a, ∵抛物线开口向下,∴a<0,∴8a+7b+2c>0,故③正确; 观察图象,④明显错误,即正确的结论是①③2个. 8. (1)∵抛物线顶点坐标为(1,4), ∴设y=a(x-1)2+4, 由于抛物线过点B(0,3), ∴3=a(0-1)2+4,解得a=-1. ∴解析式为y=-(x-1)2+4, 即y=-x2+2x+3. (2)作点B关于x轴的对称点E(0,-3),连接AE交x轴于点P. 设AE解析式y=kx+b,则 解得 ∴yAE=7x-3. 当y=0时,x=,∴点P坐标为(,0). 9. (1)y=ax2+bx-75图象过点(5,0),(7,16), ∴解得 y=-x2+20x-75的顶点坐标是(10,25). 当x=10时,y最大=25. 答: 销售单价为10元时,该种商品每天的销售利润最大,最大利润为25元. (2)∵函数y=-x2+20x-75图象的对称轴为直线x=10, 可知点(7,16)关于对称轴的对称点是(13,16), 又∵函数y=-x2+20x-75图象开口向下, ∴当7≤x≤13时,y≥16. 答: 销售单价不少于7元且不超过13元时,该种商品每天的销售利润不低于16元.
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