二次函数最大利润辅导(带答案).doc
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二次函数最大利润辅导(带答案).doc
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二次函数最大利润应用题姓名_______2018.10.7
1.多个变量,只能确定一个自变量,其余都是因变量(函数),即x(自变量)→y(函数)→z(函数)→w(函数);
2.求最大利润,先建立二次函数关系式,再由对称轴求最值(注意:
对称轴是否在取值范围内)。
1.某大众汽车经销商在销售某款汽车时,以高出进价20%标价.已知按标价的九折销售这款汽车9辆与将标价直降0.2万元销售4辆获利相同.
(1)求该款汽车的进价和标价分别是多少万元?
(2)若该款汽车的进价不变,按
(1)中所求的标价出售,该店平均每月可售出这款汽车20辆;若每辆汽车每降价0.1万元,则每月可多售出2辆.求该款汽车降价多少万元出售每月获利最大?
最大利润是多少?
解:
(1)设进价为x万元,则标价是1.2x万元,由题意得:
1.2x×0.9×9﹣9x=(1.2x﹣0.2)×4﹣4x,
解得:
x=10,所以售价为1.2x=1.2×10=12(万元),
答:
进价为10万元,标价为12万元;
(2)设该款汽车降价a万元,利润为w万元,由题意得:
w=(20+×2)(12﹣10﹣a),
=﹣20(a﹣)2+45,∵﹣20<0,
∴当a=时,w最大=45,答:
该款汽车降价0.5万元出售每月获利最大,最大利润是45万元.
2.某电子厂商投产一种新型电子产品,每件制造成本为18元,试销过程中发现,每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100.(利润=售价﹣制造成本)
(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)当销售单价为多少元时,厂商每月能获得350万元的利润?
当销售单价为多少元时,厂商每月能获得最大利润?
最大利润是多少?
(3)根据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不能高于32元,如果厂商要获得每月不低于350万元的利润,那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元?
解:
(1)z=(x﹣18)y=(x﹣18)(﹣2x+100)
=﹣2x2+136x﹣1800,
∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+136x﹣1800(x>18);
(2)由z=350,得350=﹣2x2+136x﹣1800,解这个方程得x1=25,x2=43
所以,销售单价定为25元或43元,
将z=﹣2x2+136x﹣1800
=﹣2(x﹣34)2+512(x>18),
答;当销售单价为34元时,每月能获得最大利润,最大利润是512万元;
(3)结合
(2)及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象可知,当25≤x≤43时z≥350,
又售价不能高于32元,得25≤x≤32,
根据一次函数的性质,得y=﹣2x+100中y随x的增大而减小,
∴当x=32时,每月的销量最少,故制造成本最低.最低成本是18×(﹣2×32+100)=648(万元),
答:
每月最低制造成本为648万元.
3.某企业生产并销售某种产品,假设销售量与产量相等,图中折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位:
元)、销售价y2(单位:
元)与产量x(单位:
kg)之间的函数关系.
(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义;
(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式;
(3)当该产品产量为多少时,获得的利润最大?
最大利润是多少?
解:
(1)点D的横坐标、纵坐标的实际意义:
当产量为130kg时,该产品每千克生产成本与销售价相等,都为42元;
(2)设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y=k1x+b1,
∵y=k1x+b1的图象过点(0,60)与(90,42),
∴∴
∴这个一次函数的表达式为;y=﹣0.2x+60(0≤x≤90);
(3)设y2与x之间的函数关系式为y=k2x+b2,
∵经过点(0,120)与(130,42),
∴,解得:
∴这个一次函数的表达式为y2=﹣0.6x+120(0≤x≤130),
设产量为xkg时,获得的利润为W元,
当0≤x≤90时,W=x[(﹣0.6x+120)﹣(﹣0.2x+60)]=﹣0.4(x﹣75)2+2250,
∴当x=75时,W的值最大,最大值为2250;
当90≤x≤130时,W=x[(﹣0.6x+120)﹣42]=﹣0.6(x﹣65)2+2535,
由﹣0.6<0知,当x>65时,W随x的增大而减小,
∵90≤x≤130∴当x=90时,W值最大,W=﹣0.6(90﹣65)2+2535=2160,
因此当该产品产量为75kg时,获得的利润最大,最大值为2250.
4.某企业接到一批粽子生产任务,按要求在15天内完成,约定这批粽子的出厂价为每只6元,为按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只,y与x满足下列关系式:
y=.
(1)李明第几天生产的粽子数量为420只?
(2)如图,设第x天每只粽子的成本是p元,p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画.若李明第x天创造的利润为w元,求w与x之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大,最大利润是多少元?
(利润=出厂价﹣成本)
(3)设
(2)小题中第m天利润达到最大值,若要使第(m+1)天的利润比第m天的利润至少多48元,则第(m+1)天每只粽子至少应提价几元?
解:
(1)设李明第n天生产的粽子数量为420只,由题意可知:
30n+120=420,解得n=10.
答:
第10天生产的粽子数量为420只.
(2)由图象得,当0≤x≤9时,p=4.1;
当9≤x≤15时,设P=kx+b,把点(9,4.1),(15,4.7)代入得,,
解得,∴p=0.1x+3.2,
①0≤x≤5时,w=(6﹣4.1)×54x=102.6x,当x=5时,w最大=513(元);
②5<x≤9时,w=(6﹣4.1)×(30x+120)=57x+228,
∵x是整数,∴当x=9时,w最大=741(元);
③9<x≤15时,w=(6﹣0.1x﹣3.2)×(30x+120)=﹣3x2+72x+336,
∵a=﹣3<0,∴当x=﹣=12时,w最大=768(元);
综上,当x=12时,w有最大值,最大值为768.
(3)由
(2)可知m=12,m+1=13,
设第13天提价a元,由题意得,w13=(6+a﹣p)(30x+120)=510(a+1.5),
∴510(a+1.5)﹣768≥48,解得a=0.1.
答:
第13天每只粽子至少应提价0.1元.
5.某公司销售一种进价为20元/个的计算器,其销售量y(万个)与销售价格x(元/个)的变化如下表:
价格x(元/个)
…
30
40
50
60
…
销售量y(万个)
…
5
4
3
2
…
同时,销售过程中的其他开支(不含进价)总计40万元.
(1)观察并分析表中的y与x之间的对应关系,用所学过的一次函数,反比例函数或二次函数的有关知识写出y(万个)与x(元/个)的函数解析式.
(2)求出该公司销售这种计算器的净得利润z(万元)与销售价格x(元/个)的函数解析式,销售价格定为多少元时净得利润最大,最大值是多少?
(3)该公司要求净得利润不能低于40万元,请写出销售价格x(元/个)的取值范围,若还需考虑销售量尽可能大,销售价格应定为多少元?
解:
(1)根据表格中数据可得出:
y与x是一次函数关系,
设解析式为:
y=ax+b,
则,解得:
,故函数解析式为:
y=﹣x+8;
(2)根据题意得出:
z=(x﹣20)y﹣40
=(x﹣20)(﹣x+8)﹣40
=﹣x2+10x﹣200,
=﹣(x﹣50)2+50,
故销售价格定为50元/个时净得利润最大,最大值是50万元.
(3)当公司要求净得利润为40万元时,即﹣(x﹣50)2+50=40,解得:
x1=40,x2=60.
如上图,通过观察函数y=﹣(x﹣50)2+50的图象,可知按照公司要求使净得利润不低于40万元,则销售价格的取值范围为:
40≤x≤60.
而y与x的函数关系式为:
y=﹣x+8,y随x的增大而减少,
因此,若还需考虑销售量尽可能大,销售价格应定为40元/个.
6.某商家经销一种绿茶,用于装修门面已投资3000元,已知绿茶每千克成本50元,在第一个月的试销时间内发现,销量w(kg)随销售单价x(元/kg)的变化而变化,具体变化规律如下表所示
销售单价x(元/kg)
…
70
75
80
85
90
…
销售量w(kg)
…
100
90
80
70
60
…
设该绿茶的月销售利润为y(元)(销售利润=单价×销售量﹣成本﹣投资).
(1)请根据上表,写出w与x之间的函数关系式(不必写出自变量x的取值范围);
(2)求y与x之间的函数关系式(不必写出自变量x的取值范围).并求出x为何值时,y的值最大?
(3)若在第一个月里,按使y获得最大值的销售单价进行销售后,在第二个月里受物价部门干预,销售单价不得高于90元,要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元,那么第二个月里应该确定销售单价为多少元?
解:
(1)设w=kx+b,将(70,100),(75,90)代入上式得:
,解得:
,
则w=﹣2x+240;
(2)y=(x﹣50)•w=(x﹣50)•(﹣2x+240)
=﹣2x2+340x﹣9000,
=﹣2(x﹣85)2+2450,故当x=85时,y的值最大为2450.
(3)故第1个月还有3000﹣2450=550元的投资成本没有收回,
则要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元,即y=2250才可以,
可得方程﹣2(x﹣85)2+2450=2250,
解这个方程,得x1=75,x2=95;
根据题意,x2=95不合题意应舍去.
答:
当销售单价为每千克75元时,可获得销售利润2250元,即在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元.
7.某科技开发公司研制出一种新型的产品,每件产品的成本为2400元,销售单价定为3000元,在该产品的试销期间,为了促销,鼓励商家购买该新型产品,公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时,每件按3000元销售;若一次购买该种产品超过10件时,每多购买一件,所购买的全部产品的销售单价均降低10元,但销售单价均不低于2600元.
(1)商家一次购买这种产品多少件时,销售单价恰好为2600元?
(2)设商家一次购买这种产品x件,开发公司所获得的利润为y元,求y(元)与x(件)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
(3)该公司的销售人员发现:
当商家一次购买产品的件数超过某一数量时,会出现随着一次购买的数量的增多,公司所获得的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多,公司所获得的利润越大,公司应将最低销售单价调整为多少元?
(其它销售条件不变)
解:
(1)设件数为x,依题意,得3000﹣10(x﹣10)=2600,解得x=50,
答:
商家一次购买这种产品50件时,销售单价恰好为2600元;
(2)当0≤x≤10时,y=(3000﹣2400)x=600x,
当10<x≤50时,y=[3000﹣10(x﹣10)﹣2400]x,即y=﹣10x2+700x
当x>50时,y=(2600﹣2400)x=200x
∴y=
(3)由y=﹣10x2+700x可知抛物线开口向下,当x=﹣=35时,利润y有最大值,
此时,销售单价为3000﹣10(x﹣10)=2750元,
答:
公司应将最低销售单价调整为2750元.
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