勾股数规律.doc
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勾股数规律
规律一:
在勾股数(3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)(9,40,41)中,发现:
由(3,4,5)有:
32=9=4+5
由(5,12,13)有:
52=25=12+13
由(7,24,25)有:
72=49=24+25
由(9,40,41)有:
92=81=40+41.
即在一组勾股数中,当最小边为奇数时,它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和。
因此,我们把它推广到一般,从而可得出以下公式:
∵(2n+1)2=4n2+4n+1=(2n2+2n)+(2n2+2n+1)
∴(2n+1)2+(2n2+2n)2=(2n2+2n+1)2(n为正整数)
勾股数公式一:
(2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1)(n为正整数)
规律二:
在勾股数(6,8,10)、(8,15,17)、(10,24,26)中,发现:
由(6,8,10)有:
62=36=2×(8+10)
由(8,15,17)有:
82=64=2×(15+17)
由(10,24,26)有:
102=100=2×(24+26)
即在一组勾股数中,当最小边为偶数时,它的平方刚好等于两个连续整数之和的二倍,推广到一般,从而可得出另一公式:
∵(2n)2=4n2=2[(n2-1)+(n2+1)]
∴(2n)2+(n2-1)2=(n2+1)2(n≥2且n为正整数)
勾股数公式二:
(2n,n2-1,n2+1)(n≥2且n为正整数)
利用以上两个公式,我们可以快速写出各组勾股数。
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