初二四边形压轴题.docx
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初二四边形压轴题.docx
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1、如图,四边形OABC与四边形ODEF都是正方形。
(1)当正方形ODEF绕点O在平面内旋转时,AD与CF有怎样的数量和位置关系?
并证明你的结论;
(2)若OA=,正方形ODEF绕点O旋转,当点D转到直线OA上时,恰好是30°,试问:
当点D转到直线OA或直线OC上时,求AD的长。
(本小题只写出结论,不必写出过程)
解:
(1)∵四边形OABC与四边形ODEF为正方形,
∴在△AOD和 △COF中,AO=OC,∠AOD=∠COF,OD=OF,
∴△AOD≌△COF.
∴AD=CF.
(2)AD⊥CF.
理由:
∵△AOD≌△COF,
∴∠OCF=∠OAD,
∴∠APQ+∠OAD=∠CPO+∠OCF=90°.
∴∠AQP=90°,即AD⊥CF.
(3)当正方形ODEF绕O点在平面内旋转时,
(1)和
(2)中的结论依然成立.
2、如图,一次函数的图像与轴分别相交于点A、B,以AB为边作正方形ABCD。
(1)求点A、B、D的坐标;
(2)设点M在轴上,如果△ABM为等腰三角形,求点M的坐标。
(1)∵当y=0时,2x+4=0,x=-2.
∴点A(-2,0).(1分)
∵当x=0时,y=4.
∴点B(0,4).(1分)
过D作DH⊥x轴于H点,(1分)
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=∠AOB=∠AHD=90°,AB=AD.(1分)
∴∠BAO+∠ABO=∠BAO+∠DAH,
∴∠ABO=∠DAH.(1分)
∴△ABO≌△DAH.(1分)
∴DH=AO=2,AH=BO=4,
∴OH=AH-AO=2.
∴点D(2,-2).(1分)
3、如图,正方形ABCD的边长为1,点P为BC边上的任意一点(可与点B或C重合),分别过B、D作AP的垂线段,垂足分别是B1、D1.猜想:
(DD1)2+(BB1)2的值,并对你的猜想加以证明.
猜想:
(DD1)2+(BB1)2的值是1;
证明如下:
在△ADD1和△ABB1中
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,
∵AD1⊥DD1,BB1⊥AB1,
∴∠DD1A=∠AB1B=90°,
∵∠DAD1+∠B1AB=∠B1AB+∠ABB1,
∴∠DAD1=∠ABB1,
∴△ADD1≌△BAB1,
∴AD1=BB1,
∵(DD1)2+(BB1)2=(DD1)2+(AD1)2=AD2=1,
∴(DD1)2+(BB1)2=1;
4、菱形ABCD中,点E、F分别在BC、CD边上,且。
(1)如果=60°,求证:
AE=AF;
(2)若∠B=60°,点E,F分别为BC和CD的中点,求证:
△AEF为等边三角形.
证明:
(1)由菱形ABCD可知:
AB=AD,∠B=∠D,
∵BE=DF,
∴△ABE≌△ADF(SAS),
∴AE=AF;(4分)
(2)连接AC,
∵菱形ABCD,∠B=60°
∴△ABC为等边三角形,∠BAD=120°,(2分)
∵E是BC的中点,
∴AE⊥BC(等腰三角形三线合一的性质),
∴∠BAE=30°,同理∠DAF=30°,(2分)
∴∠EAF=60°,由
(1)可知AE=AF,
∴△AEF为等边三角形(2分).
5如图,在正方形ABCD中,点E在边AB上(点E与点A、B不重合)。
在点E作FG⊥DE,FG与边BC相交于点F,与边DA的延长线相交于点G。
(1)由几个不同的位置,分别测量BF、AG、AE的长,从中你能发现BF、AG、AE的数量之间具有怎样的关系?
并证明你所得到的结论。
(2)连接DF,如果正方形的边长为2,设AE=,△DFG的面积为,求与之间的函数解析式,并写出函数的定义域。
(3)如果正方形的边长为2,FG的长为,求点C到直线DE的距离。
(1)要寻找3条线段的数量关系,往往采用作辅助线截长或补短的方法,然后找到其中的关系,本题证明三角形全等是关键.
(2)由
(1)可知DE=FG,∴△DGF的底与高可以关键勾股定理用含x的式子表示出来,所以解析式就可以表示出来.
(3)要解决本题,关键题意作出辅助线是关键,利用三角形的面积公式建立两个不同的式子是问题解决.
【解析】
(1)BF+AG=AE.
证明:
过点F作FH⊥DA,垂足为H,
∵在正方形ABCD中,∠DAE=∠B=90°,
∴四边形ABFH是矩形,
∴FH=AB=DA,
∵DE⊥FG,
∴∠G=90°-∠ADE=∠DEA,
又∴∠DAE=∠FHG=90°,
∴△FHG≌△DAE,
∴GH=AE,即HA+AG=AE,
∵BF=HA,
∴BF+AG=AE.
(2)∵△FHG≌△DAE,
∴FG=DE=,
∵S△DGF=FG•DE,
∴y=,
∴解析式为:
y=,定义域为0<x<2.
(3)连接CE,作CP⊥DE于P,S△CDE=CD•AD=2,
∴S△CDE=DE•CP=2,
∵DE=FG=,
∴•CP=2,
∴CP=,
∴点C到直线DE的距离为.
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