二次函数与平行四边形周矶中学专题复习.doc
- 文档编号:4118354
- 上传时间:2023-05-06
- 格式:DOC
- 页数:18
- 大小:1.84MB
二次函数与平行四边形周矶中学专题复习.doc
《二次函数与平行四边形周矶中学专题复习.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《二次函数与平行四边形周矶中学专题复习.doc(18页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
2013年中考数学专题复习二次函数与平行四边形
22.(2012宜宾)如图,抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l:
y=x﹣5上.
(1)求抛物线顶点A的坐标;
(2)设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点C.D(C点在D点的左侧),试判断△ABD的形状;
(3)在直线l上是否存在一点P,使以点P、A.B.D为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
考点:
二次函数综合题。
解答:
解:
(1)∵顶点A的横坐标为x==1,且顶点A在y=x﹣5上,
∴当x=1时,y=1﹣5=﹣4,
∴A(1,﹣4).
(2)△ABD是直角三角形.
将A(1,﹣4)代入y=x2﹣2x+c,可得,1﹣2+c=﹣4,∴c=﹣3,
∴y=x2﹣2x﹣3,∴B(0,﹣3)
当y=0时,x2﹣2x﹣3=0,x1=﹣1,x2=3
∴C(﹣1,0),D(3,0),
BD2=OB2+OD2=18,AB2=(4﹣3)2+12=2,AD2=(3﹣1)2+42=20,
BD2+AB2=AD2,
∴∠ABD=90°,即△ABD是直角三角形.
(3)存在.
由题意知:
直线y=x﹣5交y轴于点A(0,﹣5),交x轴于点F(5,0)
∴OE=OF=5,又∵OB=OD=3
∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形
∴BD∥l,即PA∥BD
则构成平行四边形只能是PADB或PABD,如图,
过点P作y轴的垂线,过点A作x轴的垂线并交于点C
设P(x1,x1﹣5),则G(1,x1﹣5)
则PC=|1﹣x1|,AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|
PA=BD=3
由勾股定理得:
(1﹣x1)2+(1﹣x1)2=18,x12﹣2x1﹣8=0,x1=﹣2,4
∴P(﹣2,﹣7),P(4,﹣1)
存在点P(﹣2,﹣7)或P(4,﹣1)使以点A.B.D.P为顶点的四边形是平行四边形.
25.(2012年四川省绵阳市)如图14所示,在直角坐标系中,O是坐标原点,点A在y轴正半轴上,二次函数y=ax2++c的图象F交x轴于B、C两点,交y轴于M点,其中B(-3,0),M(0,-1)。
已知AM=BC。
图14
图15
[1]求二次函数的解析式;
[2]证明:
在抛物线F上存
在点D,使A、B、C、D四
点连接而成的四边形恰好
是平行四边形,并请求出
直线BD的解析式;
[3]在[2]的条件下,设直
线l过D且分别交直线BA、
BC于不同的P、Q两点,
AC、BD相交于N。
①若直线l⊥BD,如图14所
示,试求[1/BP]+[1/BQ]的值;
②若l为满足条件的任意直线。
如图15所示,①中的结论还成立吗?
若成立,证明你的猜想;若不成立,请举出反例。
25.解:
[1]∵二次函数y=ax2+16x+c的图象经过点B[-3,0],M[0,-1],
∴,
解得a=1/6,c=-1。
∴二次函数的解析式为:
y=[x2/6]+[x/6]-1。
[2]由二次函数的解析式为:
y=[x2/6]+[x/6]-1,
令y=0,得[x2/6]+[x/6]-1=0,
解得x1=-3,x2=2,∴C[2,0),∴BC=5;
令x=0,得y=-1,∴M[0,-1],OM=1。
又AM=BC,∴OA=AM-OM=4,∴A[0,4]。
设AD∥x轴,交抛物线于点D,如图1所示,
则yD=[x2/6]+[x/6]-1=OA=4,
解得x1=5,x2=-6[位于第二象限,舍去]
∴D点坐标为[5,4]。
∴AD=BC=5,
又∵AD∥BC,
∴四边形ABCD为平行四边形。
即在抛物线F上存在点D,使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形。
设直线BD解析式为:
y=kx+b,∵B[-3,0],D[5,4],
∴,
解得:
k=1/2,b=3/2,
∴直线BD解析式为:
y=[x/2]+[3/2]。
[3]在Rt△AOB中,AB==5,又AD=BC=5,∴▱ABCD是菱形。
①若直线l⊥BD,如图14所示.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∴AC∥直线l,
∴BA/BP=BC/BQ=BN/BD=1/2,
∵BA=BC=5,
∴BP=BQ=10,
∴1/BP+1/BQ=[1/10]+[1/10]=1/5;
②若l为满足条件的任意直线,如图15所示,此时①中的结论依然成立,理由如下:
∵AD∥BC,CD∥AB,
∴△PAD∽△DCQ,
∴AP/CD=AD/CQ,
∴AP•CQ=AD•CD=5×5=25。
∴[1/BP]+[1/BQ]=(1/[AB+AP])+(1/[BC+CQ])
=(1/[5+AP])+(1/[5+CQ])
=([5+AP]+[5+CQ])/([5+AP][5+CQ])
=10+AP+CQ25+5(AP+CQ)+AP•CQ
=[10+AP+CQ]/(50+5[AP+CQ])
=1/5。
28.(四川成都2012年本小题满分l2分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数(为常数)的图象与x轴交于点A(,0),与y轴交于点C.以直线x=1为对称轴的抛物线(为常数,且≠0)经过A,C两点,并与x轴的正半轴交于点B.
(1)求的值及抛物线的函数表达式;
(2)设E是y轴右侧抛物线上一点,过点E作直线AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E,使得以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积;若不存在,请说明理由;
(3)若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点,过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于,两点,试探究是否为定值,并写出探究过程.
解:
(1)m=,
(2).
(3)定值1
26.(2012山西)综合与实践:
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A.B两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.
(1)求直线AC的解析式及B.D两点的坐标;
(2)点P是x轴上一个动点,过P作直线l∥AC交抛物线于点Q,试探究:
随着P点的运动,在抛物线上是否存在点Q,使以点A.P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请直接写出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)请在直线AC上找一点M,使△BDM的周长最小,求出M点的坐标.
考点:
二次函数综合题。
解答:
解:
(1)当y=0时,﹣x2+2x+3=0,解得x1=﹣1,x2=3.
∵点A在点B的左侧,
∴A.B的坐标分别为(﹣1,0),(3,0).
当x=0时,y=3.
∴C点的坐标为(0,3)
设直线AC的解析式为y=k1x+b1(k1≠0),
则,
解得,
∴直线AC的解析式为y=3x+3.
∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴顶点D的坐标为(1,4).
(2)抛物线上有三个这样的点Q,
①当点Q在Q1位置时,Q1的纵坐标为3,代入抛物线可得点Q1的坐标为(2,3);
②当点Q在点Q2位置时,点Q2的纵坐标为﹣3,代入抛物线可得点Q2坐标为(1+,﹣3);
③当点Q在Q3位置时,点Q3的纵坐标为﹣3,代入抛物线解析式可得,点Q3的坐标为(1﹣,﹣3);
综上可得满足题意的点Q有三个,分别为:
Q1(2,3),Q2(1+,﹣3),Q3(1﹣,﹣3).
(3)点B作BB′⊥AC于点F,使B′F=BF,则B′为点B关于直线AC的对称点.连接B′D交直线AC与点M,则点M为所求,
过点B′作B′E⊥x轴于点E.
∵∠1和∠2都是∠3的余角,
∴∠1=∠2.
∴Rt△AOC~Rt△AFB,
∴,
由A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3)得OA=1,OB=3,OC=3,
∴AC=,AB=4.
∴,
∴BF=,
∴BB′=2BF=,
由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB,
∴,
∴,即.
∴B′E=,BE=,
∴OE=BE﹣OB=﹣3=.
∴B′点的坐标为(﹣,).
设直线B′D的解析式为y=k2x+b2(k2≠0).
∴,
解得,
∴直线B'D的解析式为:
y=x+,
联立B'D与AC的直线解析式可得:
,
解得,
∴M点的坐标为(,).
24.(二0一二年东营市本题满分11分)已知抛物线经过
A(2,0).设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B.
(1)求b的值,求出点P、点B的坐标;
(2)如图,在直线y=x上是否存在点D,使四边形OPBD为平行四边形?
若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;
A
P
B
x
y
O
(第24题图)
(3)在x轴下方的抛物线上是否存在点M,使△AMP≌△AMB?
如果存在,试举例验证你的猜想;如果不存在,试说明理由.
24.解:
(1)由于抛物线经过A(2,0),
所以,
解得.…………………………1分
所以抛物线的解析式为.(*)
将(*)配方,得,
所以顶点P的坐标为(4,-2)…………………………2分
令y=0,得,
解得.所以点B的坐标是(6,0).………………3分
(2)在直线y=x上存在点D,使四边形OPBD为平行四边形.……4分
理由如下:
设直线PB的解析式为+b,把B(6,0),P(4,-2)分别代入,得解得
A
P
B
x
y
O
第24题答案图
C
M
D
所以直线PB的解析式为.…………………………5分
又直线OD的解析式为
所以直线PB∥OD.…………………………6分
设设直线OP的解析式为,把P(4,-2)代入,得
解得.如果OP∥BD,那么四边形OPBD为平行四边形.…………7分
设直线BD的解析式为,将B(6,0)代入,得0=,所以
所以直线BD的解析式为,
解方程组得所以D点的坐标为(2,2)…………………8分
(3)符合条件的点M存在.验证如下:
过点P作x轴的垂线,垂足为为C,则PC=2,AC=2,由勾股定理,可得AP=4,PB=4,又AB=4,所以△APB是等边三角形,只要作∠PAB的平分线交抛物线于M点,连接PM,BM,由于AM=AM,∠PAM=∠BAM,AB=AP,可得△AMP≌△AMB.因此即存在这样的点M,使△AMP≌△AMB.…………………………11分
26.(2012丹东)已知抛物线与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,点A的坐标是(-1,0),O是坐标原点,且.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)直接写出直线BC的函数表达式;
(3)如图1,D为y轴的负半轴上的一点,且OD=2,以OD为边作正方形ODEF.将正方形ODEF以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向移动,在运动过程中,设正方形ODEF与△OBC重叠部分的面积为s,运动的时间为t秒(0<t≤2).
求:
①s与t之间的函数关系式;
②在运动过程中,s是否存在最大值?
如果存在,直接写出这个最大值;如果不存在,请说明理由.
A
B
C
D
E
F
O
x
y
(4)如图2,点P(1,k)在直线BC上,点M在x轴上,点N在抛物线上,是否存在以A、M、N、P为顶点的平行四边形?
若存在,请直接写出M点坐标;若不存在,请说明理由.
y
x
O
B
A
P
C
图1
图2
第26题图
G
D1
E1
F1
O1
H
A
B
C
D
E
F
O
x
y
26.解:
(1)∵A(-1,0),
∴C(0,-3)………1′
∵抛物线经过A(-1,0),
C(0,-3)
∴
∴
∴y=x2-2x-3…………………3′
(2)直线BC的函数表达式为y=x-3…………………5′
(3)当正方形ODEF的顶点D运动到直线BC上时,设D点的坐标为(m,-2),
根据题意得:
-2=m-3,∴m=1…………………6′
①当0<t≤1时
S1=2t…………………7′
当1<t≤2时
S2=-=2t-
=-…………………9′
②当t=2秒时,S有最大值,最大值为……………10′
(4)M1(-,)M2(,)
M3(,)M4(,)………………14′
27.(江苏南通2012本小题满分12分)
如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,点D是BC边的中点.点P从点B出发,以acm/s(a>0)的速度沿BA匀速向点A运动;点Q同时以1cm/s的速度从点D出发,沿DB匀速向点B运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设它们运动的时间为ts.
(1)若a=2,△BPQ∽△BDA,求t的值;
(2)设点M在AC上,四边形PQCM为平行四边形.
①若a=,求PQ的长;
②是否存在实数a,使得点P在∠ACB的平分线上?
若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.
【考点】相似三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;勾股定理;平行四边形的性质.
【专题】几何综合题.
【分析】
(1)由△ABC中,AB=AC=10厘米,BC=12厘米,D是BC的中点,根据等腰三角形三线合一的性质,即可求得BD与CD的长,又由a=2,△BPQ∽△BDA,利用相似三角形的对应边成比例,即可求得t的值;
(2)①首先过点P作PE⊥BC于E,由四边形PQCM为平行四边形,易证得PB=PQ,又由平行线分线段成比例定理,即可得方程52t10=12(6-t)6,解此方程即可求得答案;
②首先假设存在点P在∠ACB的平分线上,由四边形PQCM为平行四边形,可得四边形PQCM是菱形,即可得PB=CQ,PM:
BC=AP:
PB,及可得方程组,解此方程组求得t值为负,故可得不存在.
【解答】解:
(1)△ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,D是BC的中点,
∴BD=CD=12BC=6cm,
∵a=2,
∴BP=2tcm,DQ=tcm,
∴BQ=BD-QD=6-t(cm),
∵△BPQ∽△BDA,
∴BPBD=BQAB,
即2t6=6-t10,
解得:
t=1813;
(2)①过点P作PE⊥BC于E,
∵四边形PQCM为平行四边形,
∴PM∥CQ,PQ∥CM,PQ=CM,
∴PB:
AB=CM:
AC,
∵AB=AC,
∴PB=CM,
∴PB=PQ,
∴BE=12BQ=12(6-t)cm,
∵a=52,
∴PB=52tcm,
∵AD⊥BC,
∴PE∥AD,
∴PB:
AB=BE:
BD,
即52t10=12(6-t)6,
解得:
t=32,
∴PQ=PB=52t=154(cm);
②不存在.理由如下:
∵四边形PQCM为平行四边形,
∴PM∥CQ,PQ∥CM,PQ=CM,
∴PB:
AB=CM:
AC,
∵AB=AC,∴PB=CM,∴PB=PQ.
若点P在∠ACB的平分线上,则∠PCQ=∠PCM,
∵PM∥CQ,
∴∠PCQ=∠CPM,
∴∠CPM=∠PCM,
∴PM=CM,
∴四边形PQCM是菱形,
∴PQ=CQ,
∴PB=CQ,
∵PB=atcm,CQ=BD+QD=6+t(cm),
∴PM=CQ=6+t(cm),AP=AB-PB=10-at(cm),
即at=6+t①,
∵PM∥CQ,
∴PM:
BC=AP:
AB,
∴6+t12=10-at10,
化简得:
6at+5t=30②,
把①代入②得,t=-611,
∴不存在实数a,使得点P在∠ACB的平分线上.
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识.此题难度较大,注意数形结合思想与方程思想的应用.
24.(株洲市2012年本题满分10分)
如图,一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点,抛物线过A、B两点。
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)作垂直x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于M,交这个抛物线于N。
求当t取何值时,MN有最大值?
最大值是多少?
(3)在
(2)的情况下,以A、M、N、D为顶点作平行四边形,求第四个顶点D的坐标。
备用图
24.解:
(1)易得A(0,2),B(4,0)………1分
将x=0,y=2代入………2分
将x=4,y=0代入
………3分
(2)由题意易得………4分
………5分
当………6分
(3)、由题意可知,D的可能位置有如图三种情形
………7分
当D在y轴上时,设D的坐标为(0,a)
由AD=MN得,
从而D为(0,6)或D(0,-2)………8分
当D不在y轴上时,由图可知
易得
由两方程联立解得D为(4,4)………9分
故所求的D为(0,6),(0,-2)或(4,4)…10分
25.(湖南郴州2012)如图,已知抛物线经过A(4,0),B(2,3),C(0,3)三点.
(1)求抛物线的解析式及对称轴.
(2)在抛物线的对称轴上找一点M,使得MA+MB的值最小,并求出点M的坐标.
(3)在抛物线上是否存在一点P,使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形?
若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】解:
(1)∵抛物线经过A(4,0),B(2,3),C(0,3)三点,
∴,解得。
∴抛物线的解析式为:
,其对称轴为:
。
(2)由B(2,3),C(0,3),且对称轴为x=1,可知点B、C是关于对称轴x=1的对称点。
如图1所示,连接AC,交对称轴x=1于点M,连接MB,则MA+MB=MA+MC=AC,根据两点之间线段最短可知此时MA+MB的值最小。
设直线AC的解析式为y=kx+b,
∵A(4,0),C(0,3),∴,解得。
∴直线AC的解析式为:
y=x+3。
令x=1,得y=。
∴M点坐标为(1,)。
(3)结论:
存在。
如图2所示,在抛物线上有两个点P满足题意:
①若BC∥AP1,此时梯形为ABCP1。
由B(2,3),C(0,3),可知BC∥x轴,则x轴与抛物线的另一个交点P1即为所求。
在中令y=0,解得x1=-2,x2=4。
∴P1(-2,0)。
∵P1A=6,BC=2,∴P1A≠BC。
∴四边形ABCP1为梯形。
②若AB∥CP2,此时梯形为ABCP2。
设CP2与x轴交于点N,
∵BC∥x轴,AB∥CP2,∴四边形ABCN为平行四边形。
∴AN=BC=2。
∴N(2,0)。
设直线CN的解析式为y=k1x+b1,则有:
,解得。
∴直线CN的解析式为:
y=x+3。
∵点P2既在直线CN:
y=x+3上,又在抛物线:
上,
∴x+3=,化简得:
x2-6x=0,解得x1=0(舍去),x2=6。
∴点P2横坐标为6,代入直线CN解析式求得纵坐标为-6。
∴P2(6,-6)。
∵ABCN,∴AB=CN,而CP2≠CN,∴CP2≠AB。
∴四边形ABCP2为梯形。
综上所述,在抛物线上存在点P,使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形,点P的坐标为(-2,0)或(6,-6)。
25.(2012年孝感12分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0),与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)P为线段BD上的一个动点,过点P作PM⊥x轴于点M,求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标;
(3)点Q是抛物线第一象限上的一个动点,过点Q作QN∥AC交x轴于点N.当点Q的坐标为时,四边形QNAC是平行四边形;(直接写出结果,不写求解过程).
24.(2012•恩施州)如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(﹣1,0),C(2,3)两点,与y轴交于点N.其顶点为D.
(1)抛物线及直线AC的函数关系式;
(2)设点M(3,m),求使MN+MD的值最小时m的值;
(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值.
(4)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF∥BD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?
若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由;
考点:
二次函数综合题。
分析:
(1)利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式;
(2)根据两点之间线段最短作N点关于直线x=3的对称点N′,当M(3,m)在直线DN′上时,MN+MD的值最小;
(3)需要分类讨论:
①当点E在线段AC上时,点F在点E上方,则F(x,x+3)和②当点E在线段AC(或CA)延长线上时,点F在点E下方,则F(x,x﹣1),然后利用二次函数图象上点的坐标特征可以求得点E的坐标;
(4)方法一:
过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q;过点C作CG⊥x轴于点G,如图1.设Q(x,x+1),则P(x,﹣x2+2x+3).根据两点间的距离公式可以求得线段PQ=﹣x2+x+2;最后由图示以及三角形的面积公式知S△APC=﹣(x﹣)2+,所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值;
方法二:
过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,交x轴于点H;过点C作CG⊥x轴于点G,如图2.设Q(x,x+1),则P(x,﹣x2+2x+3).根据图示以及三角形的面积公式知S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC=﹣(x﹣)2+,所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值;
解答:
解:
(1)由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A(﹣1,0)及C(2,3)得,
,
解得,
故抛物线为y=﹣x2+2x+3
又设直线为y=kx+n过点A(﹣1,0)及C(2,3)得
,
解得
故直线AC为y=x+1;
(2)作N点关于直线x=3的对称点N′,则N′(6,3),由
(1)得D(1,4),
故直线DN′的函数关系式为y=﹣x+,
当M(3,m)在直线DN′上时,MN+MD的值最小,
则m=﹣×=;
(3)由
(1)、
(2)得D(1,4),B(1,2)
∵点E在直线AC上,
设E(x,x+1),
①当点E在线段AC上时,点F在点E上方,
则F(x,x+3),
∵F在抛物线上,
∴x+3=﹣x2+2x+3,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 二次 函数 平行四边形 中学 专题 复习