度苏教版八年级一次函数知识点整理.doc
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苏教版八年级上学期一次函数知识点整理(最新)
知识点1一次函数和正比例函数的概念
若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量),特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.例如:
y=2x+3,y=-x+2,y=x等都是一次函数,y=x,y=-x都是正比例函数.
【说明】
(1)一次函数的自变量的取值范围是一切实数,但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.
(2)一次函数y=kx+b(k,b为常数,b≠0)中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同,即自变量x的次数为1,一次项系数k必须是不为零的常数,b可为任意常数.
(3)当b=0,k≠0时,y=b仍是一次函数.
(4)当b=0,k=0时,它不是一次函数.
探究交流
有人说:
“正比例函数是一次函数,一次函数也是正比例函数,它们没什么区别.”
点拨这种说法不完全正确.正比例函数是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数,只有当b=0时,一次函数才能成为正比例函数.
知识点2确定一次函数的关系式
根据实际问题中的条件正确地列出一次函数及正比例函数的表达式,实质是先列出一个方程,再用含x的代数式表示y.
知识点3函数的图象
把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.画函数图象一般分为三步:
列表、描点、连线.
知识点4一次函数的图象
由于一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的图象是一条直线,所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b.
由于两点确定一条直线,因此在今后作一次函数图象时,只要描出适合关系式的两点,再连成直线即可,一般选取两个特殊点:
直线与y轴的交点(0,b),直线与x轴的交点(-,0).但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx的图象时,只要描出点(0,0),(1,k)即可.
知识点5一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的性质
(1)k的正负决定直线的倾斜方向;
①k>0时,y的值随x值的增大而增大;
②k﹤O时,y的值随x值的增大而减小.
(2)|k|大小决定直线的倾斜程度,即|k|越大,直线与x轴相交的锐角度数越大(直线陡),|k|越小,直线与x轴相交的锐角度数越小(直线缓);
(3)b的正、负决定直线与y轴交点的位置;
①当b>0时,直线与y轴交于正半轴上;
②当b<0时,直线与y轴交于负半轴上;
③当b=0时,直线经过原点,是正比例函数.
(4)由于k,b的符号不同,直线所经过的象限也不同;
①如图11-18(l)所示,当k>0,b>0时,直线经过第一、二、三象限(直线不经过第四象限);
②如图11-18
(2)所示,当k>0,b﹥O时,直线经过第一、三、四象限(直线不经过第二象限);
③如图11-18(3)所示,当k﹤O,b>0时,直线经过第一、二、四象限(直线不经过第三象限);
④如图11-18(4)所示,当k﹤O,b﹤O时,直线经过第二、三、四象限(直线不经过第一象限).
(5)由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小,k相同,说明这两个锐角的大小相等,且它们是同位角,因此,它们是平行的.另外,从平移的角度也可以分析,例如:
直线y=x+1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的.
知识点6正比例函数y=kx(k≠0)的性质
(1)正比例函数y=kx的图象必经过原点;
(2)当k>0时,图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大;
(3)当k<0时,图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小.
知识点7点P(x0,y0)与直线y=kx+b的图象的关系
(1)如果点P(x0,y0)在直线y=kx+b的图象上,那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b;
(2)如果x0,y0是满足函数解析式的一对对应值,那么以x0,y0为坐标的点P(x0,y0)必在函数的图象上.
例如:
点P(1,2)满足直线y=x+1,即x=1时,y=2,则点P(1,2)在直线y=x+l的图象上;点P′(2,1)不满足解析式y=x+1,因为当x=2时,y=3,所以点P′(2,1)不在直线y=x+l的图象上.
知识点8确定正比例函数及一次函数表达式的条件
(1)由于正比例函数y=kx(k≠0)中只有一个待定系数k,故只需一个条件(如一对x,y的值或一个点)就可求得k的值.
(2)由于一次函数y=kx+b(k≠0)中有两个待定系数k,b,需要两个独立的条件确定两个关于k,b的方程,求得k,b的值,这两个条件通常是两个点或两对x,y的值.
知识点9待定系数法
先设待求函数关系式(其中含有未知常数系数),再根据条件列出方程(或方程组),求出未知系数,从而得到所求结果的方法,叫做待定系数法.其中未知系数也叫待定系数.例如:
函数y=kx+b中,k,b就是待定系数.
知识点10用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤
(1)设函数表达式为y=kx+b;
(2)将已知点的坐标代入函数表达式,解方程(组);
(3)求出k与b的值,得到函数表达式.
例如:
已知一次函数的图象经过点(2,1)和(-1,-3)求此一次函数的关系式.
解:
设一次函数的关系式为y=kx+b(k≠0),
由题意可知,
解∴此函数的关系式为y=.
【说明】本题是用待定系数法求一次函数的关系式,具体步骤如下:
第一步,设(根据题中要求的函数“设”关系式y=kx+b,其中k,b是未知的常量,且k≠0);第二步,代(根据题目中的已知条件,列出方程(或方程组),解这个方程(或方程组),求出待定系数k,b);第三步,求(把求得的k,b的值代回到“设”的关系式y=kx+b中);第四步,写(写出函数关系式).
知识点11一次函数与一次方程(组)、不等式的关系
解一次方程(组)与不等式问题
一次函数问题
从“数”的角度
从“形”的角度
解一元一次方程
kx+b=0
当一次函数y=kx+b的函数值(y值)等于0时求自变量x的值
当直线y=kx+b上点的纵坐标为0时,求这个点的横坐标是什么?
(即求直线与x轴的交点坐标)
解一元一次方程
kx+b=c
当一次函数y=kx+b的函数值(y值)等于c时求自变量x的值
当直线y=kx+b上点的纵坐标为c时,求这个点的横坐标是什么?
解一元一次不等式
kx+b﹥0(或﹤0)
当一次函数y=kx+b的函数值(y值)大于0(或小于0)时求自变量x的值
当直线y=kx+b上的点的纵坐标大于0(或小于0)时,求这些点的横坐标在什么范围?
(即求直线与x轴的交点坐标的上方(或下方)的部分直线的横坐标的范围)
解一元一次不等式
kx+b﹥m(或﹤m)
当一次函数y=kx+b的函数值(y值)大于m(或小于m)时求自变量x的值
当直线y=kx+b上的点的纵坐标大于m(或小于m)时,求这些点的横坐标在什么范围?
解一元一次不等式
kx+b﹥mx+n
当一次函数y=kx+b的值大于mx+n的值时,对应的自变量x的范围是多少?
在相同横坐标的情况下,当直线y=kx+b上的点的纵坐标大于直线y=mx+n上的点的纵坐标时,求这些点的横坐标在什么范围?
解二元一次方程组
当一次函数y=kx+b与y=mx+n的值相等时,对应的自变量x的值是多少?
这个函数值是多少?
当直线y=kx+b与直线y=mx+n相交时求交点坐标
思想方法小结:
(1)函数方法.
函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系,抽象、升华为函数的模型,进而解决有关问题的方法.函数的实质是研究两个变量之间的对应关系,灵活运用函数方法可以解决许多数学问题.
(2)数形结合法.
数形结合法是指将数与形结合,分析、研究、解决问题的一种思想方法,数形结合法在解决与函数有关的问题时,能起到事半功倍的作用.
知识规律小结
(1)常数k,b对直线y=kx+b(k≠0)位置的影响.
①当b>0时,直线与y轴的正半轴相交;
当b=0时,直线经过原点;
当b﹤0时,直线与y轴的负半轴相交.
②当k,b异号时,即->0时,直线与x轴正半轴相交;
当b=0时,即-=0时,直线经过原点;
当k,b同号时,即-﹤0时,直线与x轴负半轴相交.
③当b>O,b>O时,图象经过第一、二、三象限;
当k>0,b=0时,图象经过第一、三象限;
当b>O,b<O时,图象经过第一、三、四象限;
当k﹤O,b>0时,图象经过第一、二、四象限;
当k﹤O,b=0时,图象经过第二、四象限;
当b<O,b<O时,图象经过第二、三、四象限.
(2)直线y=kx+b(k≠0)与直线y=kx(k≠0)的位置关系.
直线y=kx+b(k≠0)平行于直线y=kx(k≠0)
当b>0时,把直线y=kx向上平移b个单位,可得直线y=kx+b;
当b﹤O时,把直线y=kx向下平移|b|个单位,可得直线y=kx+b.
(3)直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2(k1≠0,k2≠0)的位置关系.
①k1≠k2y1与y2相交;
②y1与y2相交于y轴上同一点(0,b1)或(0,b2);
③y1与y2平行;
④y1与y2重合
典型例题
例1已知y-3与x成正比例,且x=2时,y=7.
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2)当x=4时,求y的值;
(3)当y=4时,求x的值.
[分析]由y-3与x成正比例,则可设y-3=kx,由x=2,y=7,可求出k,则可以写出关系式.
解:
(1)由于y-3与x成正比例,所以设y-3=kx.
把x=2,y=7代入y-3=kx中,得
7-3=2k,∴k=2.
∴y与x之间的函数关系式为y-3=2x,即y=2x+3.
(2)当x=4时,y=2×4+3=11.
(3)当y=4时,4=2x+3,∴x=.
学生做一做已知y与x+1成正比例,当x=5时,y=12,则y关于x的函数关系式是.
老师评一评由y与x+1成正比例,可设y与x的函数关系式为x=k(x+1).
再把x=5,y=12代入,求出k的值,即可得出y关于x的函数关系式.
设y关于x的函数关系式为y=k(x+1).
∵当x=5时,y=12,∴12=(5+1)k,∴k=2.
∴y关于x的函数关系式为y=2x+2.
【注意】y与x+1成正比例,表示y=k(x+1),不要误认为y=kx+1.
例2(2003·哈尔滨)若正比例函数y=(1-2m)x的图象经过点A(x1,y1)和点B(x2,y2),当x1﹤x2时,y1>y2,则m的取值范围是()
A.m﹤O B.m>0C.m﹤ D.m>
[分析]本题考查正比例函数的图象和性质,因为当x1<x2时,y1>y2,说明y随x的增大而减小,所以1-2m﹤O,∴m>,故正确答案为D项.
例3(2003·陕西)已知直线y=2x+1.
(1)求已知直线与y轴交点M的坐标;
(2)若直线y=kx+b与已知直线关于y轴对称,求k,b的值.
老师评一评
(1)令x=0,则y=2×0+1=1,∴M(0,1).
∴直线y=2x+1与y轴交点M的坐标为(0,1)
(2)∵直线y=kx+b与y=2x+l关于y轴对称,
∴两直线上的点关于y轴对称.
又∵直线y=2x+1与x轴、y轴的交点分别为A(-,0),B(0,1),
∴A(-,0),B(0,1)关于y轴的对称点为A′(-,0),B′(0,1).
∴直线y=kx+b必经过点A′(-,0),B′(0,1).
把A′(-,0),B′(0,1)代入y=kx+b中得
∴∴k=-2,b=1.
小结当两条直线关于x轴(或y轴)对称时,则它们图象上的点也必关于x轴(或y轴)对称.例如:
对于两个一次函数,若它们关于x轴对称,求出已知一个一次函数和x轴、y轴的交点,再分别求出这两个点关于x轴的对称点,利用求出的两个对称点,就可以求出另一个函数的解析式.
例4已知y+2与x成正比例,且x=-2时,y=0.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)画出函数的图象;
(3)观察图象,当x取何值时,y≥0?
(4)若点(m,6)在该函数的图象上,求m的值;
(5)设点P在y轴负半轴上,
(2)中的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,且S△ABP=4,求P点的坐标.
[分析]由已知y+2与x成正比例,可设y+2=kx,把x=-2,y=0代入,可求出k,这样即可得到y与x之间的函数关系式,再根据函数图象及其性质进行分析,点(m,6)在该函数的图象上,把x=m,y=6代入即可求出m的值.
解:
(1)∵y+2与x成正比例,
∴设y+2=kx(k是常数,且k≠0)
∵当x=-2时,y=0.∴0+2=k·(-2),∴k=-1.
∴函数关系式为x+2=-x,即y=-x-2.
(2)列表;
x
0
-2
y
-2
0
描点、连线,图象如图11-23所示.
(3)由函数图象可知,当x≤-2时,y≥0.
∴当x≤-2时,y≥0.
(4)∵点(m,6)在该函数的图象上,
∴6=-m-2,
∴m=-8.
(5)函数y=-x-2分别交x轴、y轴于A,B两点,
∴A(-2,0),B(0,-2).
∵S△ABP=·|AP|·|OA|=4,
∴|BP|=.∴点P与点B的距离为4.
又∵B点坐标为(0,-2),且P在y轴负半轴上,
∴P点坐标为(0,-6).
例5已知一次函数y=(3-k)x-2k2+18.
(1)k为何值时,它的图象经过原点?
(2)k为何值时,它的图象经过点(0,-2)?
(3)k为何值时,它的图象与y轴的交点在x轴的上方?
(4)k为何值时,它的图象平行于直线y=-x?
(5)k为何值时,y随x的增大而减小?
[分析]函数图象经过某点,说明该点坐标适合方程;图象与y轴的交点在y轴上方,说明常数项b>O;两函数图象平行,说明一次项系数相等;y随x的增大而减小,说明一次项系数小于0.
解:
(1)图象经过原点,则它是正比例函数.
∴∴k=-2.∴当k=-3时,它的图象经过原点.
(2)该一次函数的图象经过点(0,-2).
∴-2=-2k2+18,且3-k≠0,∴k=±
∴当k=±时,它的图象经过点(0,-2)
(3)∵图象与y轴的交点在x轴上方,即b>0.
∴-2k2+18>0,∴-3<k<3,
∴当-3﹤k﹤3时,它的图象与y轴的交点在x轴的上方.
(4)函数图象平行于直线y=-x,
∴3-k=-1,∴k=4.
∴当k=4时,它的图象平行于直线x=-x.
(5)∵随x的增大而减小,
∴3-k﹤O.∴k>3.∴当k>3时,y随x的增大而减小.
例6已知直线y=kx+b经过点(,0),且与坐标轴围成的三角形的面积为,求此直线的解析式.
错解:
∵直线经过点(,0),∴0=k+b,①
设直线y=kx+b与x轴、y轴的交点坐标分别为A(-,0),B(0,b),
又S△ABO=,∴S△ABO=|OA|·|OB|=·(-)·b=.
即,②
由①得b=-k,代入②中得k=-2,∴b=5.
∴所求直线的解析式为y=-2x+5.
[分析]上述解法出现了漏解的情况,由于解题时忽略了|OA|=|-|,|OB|=|b|中的绝对值符号,因此,也就漏掉了一个解析式.
正解:
∵直线经过点(,0),∴0=k+b,①
设直线y=kx+b与x轴、y轴的交点坐标分别为A(-,0),B(0,b),
∴|OA|=|-|=||,|OB|=|b|.
又∵S△AOB=,∴S△AOB=|OA|·|OB|=·||·|b|=,
即,②由①得b=-k,代入②中得|k|=2,
∴k1=2,k2=-2,∴b1=-5,b2=5.
∴所求直线的解析式为y=2x-5或y=-2x+5.
例7(2004·沈阳)某市的A县和B县春季育苗,急需化肥分别为90吨和60吨,该市的C县和D县分别储存化肥100吨和50吨,全部调配给A县和B县.已知C,D两县运化肥到A,B两县的运费(元/吨)如下表所示.
(1)设C县运到A县的化肥为x吨,求总运费W(元)与x(吨)的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)求最低总运费,并说明总运费最低时的运送方案.
[分析]利用表格来分析C,D两县运到A,B两县的化肥情况如下表.则总运费W(元)与x(吨)的函数关系式为:
W=35x+40(90-x)+30(100-x)+45[60-(100-x)]=10x+4800.
自变量x的取值范围是40≤x≤90.
解:
(1)由C县运往A县的化肥为x吨,则C县运往B县的化肥为(100-x)吨.
D县运往A县的化肥为(90-x)吨,D县运往B县的化肥为(x-40)吨.
由题意可知
W=35x+40(90-x)+30(100-x)+45(x-40)=10x+4800.
自变量x的取值范围为40≤x≤90.
∴总运费W(元)与x(吨)之间的函数关系式为
w=1Ox+480O(40≤x≤9O).
(2)∵10>0,∴W随x的增大而增大.
∴当x=40时,W最小值=10×40+4800=5200(元).
运费最低时,x=40,90-x=50(吨),x-40=0(吨).
∴当总运费最低时,运送方案是:
C县的100吨化肥40吨运往A县,60吨运往B县,D县的50吨化肥全部运往A县.
例8(2004·黑龙江)图11-30表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中,路程y(千米)随时间x(分)变化的图象(全程),根据图象回答下列问题.
(1)当比赛开始多少分时,两人第一次相遇?
(2)这次比赛全程是多少千米?
(3)当比赛开始多少分时,两人第二次相遇?
[分析]本题主要考查读图能力和运用函数图象解决实际问题的能力.解决本题的关键是写出甲、乙两人在行驶中,路程y(千米)随时间x(分)变化的函数关系式,其中:
乙的函数图象为正比例函数,而甲的函数图象则是三段线段,第一段是正比例函数,第二段和第三段是一次函数,需分别求出.
解:
(1)当15≤x<33时,设yAB=k1x+b1,把(15,5)和(33,7)代入,解得k1=,b1=,∴yAB=x+.
当y=6时,有6=x+,∴x=24。
∴比赛开始24分时,两人第一次相遇.
(2)设yOD=mx,把(4,6)代入,得m=,
当X=48时,yOD=×48=12(千米)∴这次比赛全程是12千米.
(3)当33≤x≤43时,设yBC=k2x+b2,把(33,7)和(43,12)代入,
解得k2=,b2=-.∴yBC=x-.
解方程组得得∴x=38.
∴当比赛开始38分时,两人第二次相遇.
例9(2004·济南)如图11-31所示,已知直线y=x+3的图象与x轴、y轴交于A,B两点,直线l经过原点,与线段AB交于点C,把△AOB的面积分为2:
1的两部分,求直线l的解析式.
[分析]设直线l的解析式为y=kx(k≠0),因为l分△AOB面积比为2:
1,故分两种情况:
①S△AOC:
S△BOC=2:
1;②S△AOC:
S△BOC=1:
2.求出C点坐标,就可以求出直线l的解析式.
解:
∵直线y=x+3的图象与x,y轴交于A,B两点.
∴A点坐标为(-3,0),B点坐标为(0,3).
∴|OA|=3,|OB|=3.∴S△AOB=|OA|·|OB|=×3×3=.
设直线l的解析式为y=kx(k≠0).
∵直线l把△AOB的面积分为2:
1,直线l与线段AB交于点C
∴分两种情况来讨论:
①当S△AOC:
S△BOC=2:
1时,设C点坐标为(x1,y1).
又∵S△AOB=S△AOC+S△BOC=,∴S△AOB==3.
即S△AOC=·|OA|·|y1|=×3×|y1|=3.
∴y1=±2,由图示可知取y1=2.
又∵点C在直线AB上,∴2=x1+3,∴x1=-1.
∴C点坐标为(-1,2).
把C点坐标(-1,2)代人y=kx中,得:
2=-1·k,∴k=-2.
∴直线l的解析式为y=-2x.
②当S△AOC:
S△BOC=1:
2时,设C点坐标为(x2,y2).
又∵S△AOC=S△AOC+S△BOC=,∴S△AOB=
即S△AOC=·|OA|·|y2|=·3·|y2|=.∴y2=±1,由图示可知取y2=1.
又∵点C在直线AB上,∴1=x2+3,∴x2=-2.
把C点坐标(-2,1)代入y=kx中,得:
1=-2k,∴k=-y2.
∴直线l的解析式为y=-x.
∴直线l的解析式为y=-2x或y=-x.
小结本题是一道综合一次函数与三角形相关知识的综合题,特别注意求正比例函数的解析式时,点C的坐标至关重要,要利用分类讨论的数学思想,全面的考虑问题,避免漏掉解的情况.
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