三角形中位线定理的证明.doc
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三角形中位线定理的证明.doc
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备课偶得——
三角形中位线定理的再证明
王贵林皖南陵县烟墩镇烟墩中心初级中学241313
三角形中位线定理:
三角形的中位线平行第三边且等于第三边长的半。
图1
B
C
A
D
E
关于它的证明方法,课本上给出了一种证法。
笔者在备课中发现它的证法有8种之多,而且非常有趣,这里写出来与同仁共享,企斧正。
已知:
如图1,△ABC中,D、E分别为AB、AC的中点,求证:
DE∥BC且
证法一、(构造法)如图2,延长DE到F,使EF=DE,连结AF、CF、
DC
图2
B
C
A
D
E
F
∵E为AC中点∴AE=CE∵EF=DE∴四边形ADCF为平行四边形∴CFAD∵D为AB中点∴AD=BD∴BDCF∴四边形DBCF为平行四边形
∴DFBC∴DE=EF∴DE∥BC且
证法二、(构造法)如图3,过CF作CF∥AB交DE的延长线于F,则
图3
B
C
A
D
E
F
∠A=∠ACF∵E为AC中点∴AE=CF
∴△ADE≌△CFE(ASA)∴CF=AD∵D为AB中点
∴AD=BD∴CF=BD∵CF∥BD∴CFBD
∴四边形DBCF为平行四边形∴DFBC∴△ADE≌△CFE∴DE=EF∴DE∥BC且
C
图4
B
A
D
E
F
E′
证法三、(同一法)如图4,过D作DE′∥BC,交AC于E′,过E′作E′F∥AB,交BC于F,则
图5
B
C
A
D
E
∠B=∠ADE′=∠E′FC,∠AE′D=∠C四边形DBFE′是平行四边形∴E′F=BD∵D为AB中点∴AD=BD∴E′F=AD∴△ADE′≌△E′FC(AAS)∴AE′=CE′即E′为AC中点∵E为AC中点
∴E与E′重合即DE∥BC,△ADE≌△EFC,四边形DBFE为平行四边形∴DE=CFDE=BF
即∴DE∥BC且
证法四、(相似法)如图5,
∵D、E分别为AB、AC中点∴∵∠A=∠A
∴△ADE∽△ABC∴∠ADE=∠B
∴DE∥BC且
图6
B
C
A
D
E
F
G
证法五、(旋转拼图法)如图6,以AC的中点E为中心,将△ABC绕点E旋转180°得△ACF,取CF中点G,连结EG、DG,则四边形ABCF为平行四边形
∴AFBC∵D、G分别为AB、CF的中点∴ADFG∴四边形ADGF为平行四边形
∴DGAFBC∵CF∥AB∴∠DAE=∠GCE∴△ADE≌△CGE(SAS)
∴∠AED=∠CEG∴D、E、G在一条直线上∴DE∥BC∵△ADE≌△CGE
H
G
图7
B
C
F
M
A
D
E
∴DE=EG∴∴DE∥BC且
证法六、(面积法)如图7,取BC中点F,连结AF、EF,分别过A、E作
AH⊥BC,EG⊥BC,垂足分别为H、G,过D作DM⊥BC于M,则
∴∵F为BC中点∴
同理∴DMEG∴四边形DMGE为矩形
O
(B)
C
A
D
E
图8
∴DE∥BC同理EF∥AB∴四边形DBFE为平行四边形
∴DE=BF∵∴DE∥BC且
证法七、(解析法)如图8,以点B为坐标原点,建立如图所示平面直角坐标系,不妨设A(a,b)C(c,0)(c>0)则,D(),E()
则DE∥x轴,DE=∵BC=c∴DE∥BC且
证法八、(三角法)如图9,取BC中点F,连结EF,设AB=2c,AC=2b
BC=2a,∠A=α则AD=c,AE=b,在△ADE中,
在△ABC中,
图9
B
C
A
D
E
F
∴∴BC=2DE∵F为BC的中点
∴DE=BF同理EF=BD∴四边形DBFE为平行四边形
∴DE∥BF即DE∥BC且
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