七年级几何证明压轴题.docx

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一、选择

1．如图，已知：

在△ABC中，AB=AC，D是BC边上任意一点，DF⊥AC于点F，E在AB边上，ED⊥BC于D，∠AED=155°，则∠EDF等于（　　）

A．50°B．65°C．70°D．75°

2．下列判断错误的是（）　

A.一条线段有无数条垂线；

B.过线段AB中点有且只有一条直线与线段AB垂直；

C.两直线相交所成的四个角中，若有一个角为90°，则这两条直线互相垂直；

D.若两条直线相交，则它们互相垂直.

3．下列判断正确的是（）　　

A.从直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到已知直线的距离；

B.过直线外一点画已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离；

C.画出已知直线外一点到已知直线的距离；

D.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短.

二、压轴题

1.（11分）如图12-1，点O是线段AD上的一点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC.

（1）求∠AEB的大小；

C

D

O

A

B

E

G

图12-2

（2）如图12-2，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小.

A

O

D

C

B

E

G

图12-1

2．（本题9分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E.

⑴若∠B=35°，∠ACB=85°,求∠E的度数；

⑵当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系.写出结论无需证明.

3如图1，△ABC的边BC直线上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线上，边EF与边AC重合，且EF=FP．

（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；

（2）将△EFP沿直线向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；

（3）将△EFP沿直线向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ．你认为

（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?

若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

4．（本题8分）如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，且直线CD经过∠BCA的内部，点E，F在射线CD上，已知CA=CB且∠BEC=∠CFA=∠．

（1）如图1，若∠BCA=90°，∠=90°，问EF=BE－AF，成立吗?

说明理由．

（2）将

（1）中的已知条件改成∠BCA=60°，∠=120°（如图2），问EF=BE－AF仍成立吗?

说明理由．

（3）若0°<∠BCA<90°，请你添加一个关于∠与∠BCA关系的条件，使结论EF=BE－AF仍然成立．你添加的条件是．（直接写出结论）

5．（本题6分）如图①，直线l过正方形ABCD的顶点B，A、C两顶点在直线l同侧，过点A、C分别作AE⊥直线l、CF⊥直线l．

（1）试说明：

EF＝AE＋CF；

图①

D

A

E

C

B

F

l

图②

A

B

E

F

C

l

D

（2）如图②，当A、C两顶点在直线两侧时，其它条件不变，猜想EF、AE、CF满足什么数量关系（直接写出答案，不必说明理由）．

6、P点是ABC和外角ACE的角平分线的交点，;如图3，若P点是外角CBF和BCE的角平分线的交点.分别指出每个图中∠BPC和∠A的关系,并选择其中一个加以证明.

7、（本题12分）如图，C是线段AB上一点，分别以AC、CB为边作等边三角形ACD和CBE，连结AE、BD，AE交DC、DB分别为F点、H点，BD交CE于G点，连结FG.

求证:

①∠FAC=∠HDC;②∠HFG=∠HAC;③∠BHA=120°.

B

A

C

D

第7题图

A1

A2

8、如图，在△ABC中，∠A＝．∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……；∠A2008BC与∠A2008CD的平分线相交于点A2009，得∠A2009．则∠A2009＝．

9．观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由．（每小题2分，观察得出结论与说明理由各占1分．）

（1）如图①，△ABC中，P为边BC上一点，试观察比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由．

图①

（2）将

（1）中点P移至△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．

图②

（3）将

（2）中点P变为两个点P1、P2得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．

图③

（4）将（3）中的点P1、P2移至△ABC外，并使点P1、P2与点A在边BC的异侧，且∠P1BC＜∠ABC，∠P2CB＜∠ACB，得图④，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．

图④

（5）若将（3）中的四边形BP1P2C的顶点B、C移至△ABC内，得四边形B1P1P2C1，如图⑤，试观察比较四边形B1P1P2C1的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．

图⑤

10、．

（1）BP+PC＜AB+AC，理由：

三角形两边之和大于第三边，或两点之间线段最短．

（2）△BPC的周长＜△ABC的周长．理由：

如图，延长BP交AC于M，在△ABM中，BP+PM＜AB+AM，在△PMC中，PC＜PM+MC，两式相加得BP+PC＜AB+AC，于是得：

△BPC的周长＜△ABC的周长．

（3）四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长．理由：

如图，分别延长BP1、CP2交于M，由

（2）知，BM+CM＜AB+AC，又P1P2＜P1M+P2M，可得，BP1+P1P2+P2C＜BM+CM＜AB+AC，可得结论．

或：

作直线P1P2分别交AB、AC于M、N（如图），△BMP1中，BP1＜BM+MP1，△AMN中，MP1+P1P2+P2M＜AM+AN，△P2NC中，P2C＜P2N+NC，三式相加得：

BP1+P1P2+P2C＜AB+AC，可得结论．

（4）四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长．理由如下：

将四边形BP1P2C沿直线BC翻折，使点P1、P2落在△ABC内，转化为（3）情形，即可．

（5）比较四边形B1P1P2C1的周长＜△ABC的周长．理由如下：

如图，分别作如图所示的延长线交△ABC的边于M、N、K、H，在△BNM中，NB1+B1P1+P1M＜BM+BN，又显然有，B1C1+C1K＜NB1+NC+CK，及C1P2+P2H＜C1K+AK+AH，及P1P2＜P2H+MH+P1M，将以上各式相加，得B1P1+P1P2+P2C+B1C1＜AB+BC+AC，于是得结论．

11．（本题12分）如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）

的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．

在图

（1）中，点P是边BC的中点，此时h3=0，可得结论：

．

在图

（2）--（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．

（1）请探究：

图

（2）--（5）中，h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论）

（2）证明图

（2）所得结论；

（3）证明图（4）所得结论．

（4）（附加题2分）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60o，RS=n，BC=m，

点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h1、h2、h3、h4，桥形的高为h，则h1、h2、h3、h4、h之间的关系为：

；图（4）与图（6）中的等式有何关系？

F

A

B

C

D

E

P

M

（4）

A

B

C

D

E

P

M

（3）

A

B

C

D

E

P

M

（2）

A

B

C

D

E

M（P）

（1）

A

B

C

D

E

P

M

（5）

F

A

B

C

D

E

P

M

（6）

R

S

12、已知：

如图①所示，在和中，，，∠BAC=∠DAE，，连接分别为的中点．

（1）当点在一条直线上，试说明：

；

（2）将绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到图②所示的图形．请判断AM=AN是否成立？

并说明你的理由；

（3）在旋转的过程中，设直线BE与CD相交于点P，当90°<∠BAC<180°时，请直接写出∠CPB与∠MAN之间的数量关系.

C

E

N

D

A

B

M

图①

C

A

E

M

B

D

N

图②

第27题图

13．如图，△ABC与△ADE都是等边三角形，连结BD、CE交点记为点F．

（1）BD与CE相等吗？

请说明理由．

（2）你能求出BD与CE的夹角∠BFC的度数吗？

（3）若将已知条件改为：

四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，连结BE、DG交点记为点M（如图）．请直接写出线段BE和DG之间的关系？

14．正方形四边条边都相等，四个角都是．如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，点E是直线MN上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．

（1）如图1，当点E在线段BC上（不与点B、C重合）时：

①判断△ADG与△ABE是否全等，并说明理由；

②过点F作FH⊥MN，垂足为点H，观察并猜测线段BE与线段CH的数量关系，并说明理由；

（2）如图2，当点E在射线CN上（不与点C重合）时：

①判断△ADG与△ABE是否全等，不需说明理由；

②过点F作FH⊥MN，垂足为点H，已知GD＝4，求△CFH的面积．

15.如图1，一等腰直角三角尺GEF（∠EGF=90°,∠GEF=∠GFE=45°,GE=GF）的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．

（1）如图2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN相等吗？

并说明理由；

图2

E

B

D

G

F

O

M

N

C

（2）若三角尺GEF旋转到如图3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，

（1）中的猜想还成立吗？

请说明理由．

图1

A（G）

B（E）

C

D（F）

图3

A

B

D

G

E

F

O

M

N

C

16如图，在R△ABC中，∠ACB=450，∠BAC=900，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：

BC垂直且平分DE.

17、如图，在△ABC中，AB=AC，P为底边上任意一点，PE⊥AB，PF⊥AC，BD⊥AC.

（1）求证：

PE+PF=BD；

（2）若点P是底边BC的延长线上一点，其余条件不变，

（1）中的结论还成立吗？

如果成立，请说明理由；如果不成立，请画出图形，并探究它们的关系.

18.（5分）已知：

如图，，AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD

（1）求的大小:

（2）当为任意角时,探索与间的数量关系,

并对你的结论加以证明