幂的运算法则逆用九类.doc
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幂的运算法则逆用九类
am·an=am+n
am÷an=am-n(a≠0,m、n为正整数),
(am)n=amn,(ab)n=anbn
是有关幂的运算的四条运算法则,逆用幂的这四条法则是一种常见的数学思想.巧用这种数学思想解决有关幂的问题,常可使问题得到简捷解决.下面通过举例说明其在九个方面的应用.
一、求整数的位数
例1:
求n=212×58是几位整数.
析解:
可逆用上述幂的运算法则第1、4条,把n写成科学记数法a×10n形式:
n=24×28×58=16×(2×5)8=1.6×109,
∴n是10位整数.
二、用于实数计算
例2:
计算:
(1)(-4)1995×0.251994
=(-4)×(-4)1994×0.251994
=(-4)×(-4×0.25)1994
=-4×(-1)1994=-4.
三、寻找除数
例3:
已知250-4能被60—70之间的两个整数整除,求这两个整数.
析解逆用幂的运算法则第一条将原数进行分解,就可找到解决此题的途径.
250-4=22·248-4
=4×248-4
=4(248-1)
=4(224+1)(212+1)(26-1)(26-1)
=4(224+1)(212+1)×65×63
∴这两个数是65、63.
四、判断数的整除性
例4:
若3n+m能被10整除,你能说明,3n+4+m也能被10整除.
析解:
若将3n+4+m变形成3n+m与10的整数倍的和的形式,此题就可迎刃而解.逆用幂的运算法则,有
3n+4+m=34×3n+m=81×3n+m
=80×3n+(3n+m),结论已明.
五、判定数的正、负
=(2m)2-2m+n+1+(2n)2
=(2m)2-2×2m×2n+(2n)2
=(2m-2n)2≥0,(逆用了第3、1条)
∴原数是非负的.
六、确定幂的末尾数字
例6:
求7100-1的末尾数字.
析解:
先逆用幂的运算法则第三条,确定7100的末尾数字.
∴7100-1=(72)50-1=4950-1
=(492)25-1=(2401)25-1,
而(2401)25的个位数字是1,
∴7100-1的末尾数字是0.
七、比较实数的大小
例7:
比较750与4825的大小.
析解:
750=(72)25=4925,可知前者大.
八、求代数式的值
例8:
已知10m=4,10n=5.求103m-2n+1的值.
析解:
逆用幂的运算法则.
103m-2n+1=103m×10-2n×10
=(10m)3×(10n)-2×10
九、求参数
例9:
已知:
2.54×210×0.1÷(5×106)=m×10n(1≤m<10).求m、n的值.
分解:
逆用幂的运算法则,把等式的左边也转化成科学记数法的形式,便可求出m、n的值.
原式=2.54×(22)5×10-1÷(5×106)
=2.54×44×4×10-1÷5×10-6
=(2.5×4)4×4×10-1÷5×10-6
=8×10-4=m×10n.
由科学记数法定义得m=8,n=-4.
综上所述可知,逆用幂的四条运算法则后,都在不同程度上降低了题目的难度,甚至使那看似束手无策的题目(如例3、例4),前景也变得柳暗花明了
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- 运算 法则 逆用九类