中考数学二次函数最后一道大题练习卷.doc
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中考数学二次函数最后一道大题练习卷.doc
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1、如图1,已知抛物线的顶点为,且经过原点,与轴的另一个交点为.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点在抛物线的对称轴上,点在抛物线上,且以四点为顶点的四边形为平行四边形,求点的坐标;
(3)连接,如图2,在轴下方的抛物线上是否存在点,使得与相似?
若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
2、如图9
(1),在平面直角坐标系中,抛物线经过A(-1,0)、B(0,3)两点,与x轴交于另一点C,顶点为D.
(1)求该抛物线的解析式及点C、D的坐标;
(2)经过点B、D两点的直线与x轴交于点E,若点F是抛物线上一点,以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形,求点F的坐标;
(3)如图9
(2)P(2,3)是抛物线上的点,Q是直线AP上方的抛物线上一动点,求△APQ的最大面积和此时Q点的坐标.
3、随着我市近几年城市园林绿化建设的快速发展,对花木的需求量逐年提高。
某园林专业户计划投资种植花卉及树木,根据市场调查与预测,种植树木的利润y1与投资成本x成正比例关系,如图①所示;种植花卉的利润y2与投资成本x成二次函数关系,如图②所示(注:
利润与投资成本的单位:
万元)
图① 图②
(1)分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式;
(2)如果这位专业户计划以8万元资金投入种植花卉和树木,请求出他所获得的总利润Z与投入种植花卉的投资量x之间的函数关系式,并回答他至少获得多少利润?
他能获取的最大利润是多少?
4、如图,为正方形的对称中心,,,直线交于,于,点从原点出发沿轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动,同时,点从出发沿方向以个单位每秒速度运动,运动时间为.求:
(1)的坐标为 ;
(2)当为何值时,与相似?
(3)求的面积与的函数关系式;并求以为顶点的四边形是梯形时的值及的最大值.
5、如图①,正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为,顶点C,D在第一象限.点P从点A出发,沿正方形按逆时针方向匀速运动,同时,点Q从点E(4,0)出发,沿x轴正方向以相同速度运动.当点P到达点C时,P,Q两点同时停止运动,设运动的时间为t秒.
(1)求正方形ABCD的边长.
(2)当点P在AB边上运动时,△OPQ的面积S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分(如图②所示),求P,Q两点的运动速度.
(3)求
(2)中面积S(平方单位)与时间t(秒)的函数关系式及面积取最大值时点的坐标.
(4)若点P,Q保持
(2)中的速度不变,则点P沿着AB边运动时,∠OPQ的大小随着时间的增大而增大;沿着BC边运动时,∠OPQ的大小随着时间的增大而减小.当点沿着这两边运动时,使∠OPQ=90°的点有 个.
6、如图,在梯形中,厘米,厘米,的坡度动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动,动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动,两个动点同时出发,当其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止.设动点运动的时间为秒.
(1)求边的长;
(2)当为何值时,与相互平分;
(3)连结设的面积为探求与的函数关系式,求为何值时,有最大值?
最大值是多少?
7、已知抛物线()与轴相交于点,顶点为.直线分别与轴,轴相交于两点,并且与直线相交于点.
(1)填空:
试用含的代数式分别表示点与的坐标,则;
(2)如图,将沿轴翻折,若点的对应点′恰好落在抛物线上,′与轴交于点,连结,求的值和四边形的面积;
(3)在抛物线()上是否存在一点,使得以为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求出点的坐标;若不存在,试说明理由.
8、已知抛物线y=ax2+bx+c的图象交x轴于点A(x0,0)和点B(2,0),与y轴的正半轴交于点C,其对称轴是直线x=-1,tan∠BAC=2,点A关于y轴的对称点为点D.
(1)确定A.C.D三点的坐标;
(2)求过B.C.D三点的抛物线的解析式;
(3)若过点(0,3)且平行于x轴的直线与
(2)小题中所求抛物线交于M.N两点,以MN为一边,抛物线上任意一点P(x,y)为顶点作平行四边形,若平行四边形的面积为S,写出S关于P点纵坐标y的函数解析式.
(4)当<x<4时,(3)小题中平行四边形的面积是否有最大值,若有,请求出,若无,请说明理由.
9、如图,直线AB过点A(m,0),B(0,n)(m>0,n>0)反比例函数的图象与AB交于C,D两点,P为双曲线一点,过P作轴于Q,轴于R,请分别按
(1)
(2)(3)各自的要求解答闷题。
(1)若m+n=10,当n为何值时的面积最大?
最大是多少?
(2)若,求n的值:
(3)在
(2)的条件下,过O、D、C三点作抛物线,当抛物线的对称轴为x=1时,矩形PROQ的面积是多少?
10、已知A1、A2、A3是抛物线上的三点,A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴,垂足为B1、B2、B3,直线A2B2交线段A1A3于点C。
(1)如图1,若A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3,求线段CA2的长。
(2)如图2,若将抛物线改为抛物线,A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数,其他条件不变,求线段CA2的长。
(3)若将抛物线改为抛物线,A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数,其他条件不变,请猜想线段CA2的长(用a、b、c表示,并直接写出答案)。
11、如图,现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ,Ⅱ,它们两直角边的长分别为1和2.将它们分别放置于平面直角坐标系中的,处,直角边在轴上.一直尺从上方紧靠两纸板放置,让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动.当纸板Ⅰ移动至处时,设与分别交于点,与轴分别交于点.
(1)求直线所对应的函数关系式;
(2)当点是线段(端点除外)上的动点时,试探究:
①点到轴的距离与线段的长是否总相等?
请说明理由;
②两块纸板重叠部分(图中的阴影部分)的面积是否存在最大值?
若存在,求出这个最大值及取最大值时点的坐标;若不存在,请说明理由.
12、OM是一堵高为2.5米的围墙的截面,小鹏从围墙外的A点向围墙内抛沙包,但沙包抛出后正好打在了横靠在围墙上的竹竿CD的B点处,经过的路线是二次函数图像的一部分,如果沙包不被竹竿挡住,将通过围墙内的E点,现以O为原点,单位长度为1,建立如图所示的平面直角坐标系,E点的坐标(3,),点B和点E关于此二次函数的对称轴对称,若tan∠OCM=1(围墙厚度忽略不计)。
(1)求CD所在直线的函数表达式;
(2)求B点的坐标;
(3)如果沙包抛出后不被竹竿挡住,会落在围墙内距围墙多远的地方?
13、已知:
在平面直角坐标系xOy中,一次函数的图象与x轴交于点A,抛物线经过O、A两点。
(1)试用含a的代数式表示b;
(2)设抛物线的顶点为D,以D为圆心,DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。
若将劣弧沿x轴翻折,翻折后的劣弧落在⊙D内,它所在的圆恰与OD相切,求⊙D半径的长及抛物线的解析式;
(3)设点B是满足
(2)中条件的优弧上的一个动点,抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P,使得?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。
14、如图,抛物线交轴于A.B两点,交轴于M点.抛物线向右平移2个单位后得到抛物线,交轴于C.D两点.
(1)求抛物线对应的函数表达式;
(2)抛物线或在轴上方的部分是否存在点N,使以A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点P是抛物线上的一个动点(P不与点A.B重合),那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线上,请说明理由.
15、已知四边形是矩形,,直线分别与交与两点,为对角线上一动点(不与重合).
(1)当点分别为的中点时,(如图1)问点在上运动时,点、、能否构成直角三角形?
若能,共有几个,并在图1中画出所有满足条件的三角形.
(2)若,,为的中点,当直线移动时,始终保持,(如图2)求的面积与的长之间的函数关系式.
答案解析
1、解:
(1)由题意可设抛物线的解析式为.
抛物线过原点,
.
.
抛物线的解析式为,
即.
(2)如图1,当四边形是平行四边形时,
.
由,
得,,
,.
点的横坐标为.
将代入,
得,
;
根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点,使得四边形是平行四边形,此时点的坐标为,
当四边形是平行四边形时,点即为点,此时点的坐标为.・・・・・
(3)如图2,由抛物线的对称性可知:
,.
若与相似,
必须有.
设交抛物线的对称轴于点,
显然,
直线的解析式为.
由,得,.
.
过作轴,
在中,,,
.
..
与不相似,
同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的点.
所以在该抛物线上不存在点,使得与相似.
2、解:
(1)∵抛物线经过A(-1,0)、B(0,3)两点,
∴ 解得:
抛物线的解析式为:
∵由,解得:
∴
∵由
∴D(1,4)
(2)∵四边形AEBF是平行四边形,
∴BF=AE.
设直线BD的解析式为:
,则
∵B(0,3),D(1,4)
∴ 解得:
∴直线BD的解析式为:
当y=0时,x=-3 ∴E(-3,0),∴OE=3,
∵A(-1,0)
∴OA=1, ∴AE=2 ∴BF=2,
∴F的横坐标为2, ∴y=3, ∴F(2,3);
(3)如图,设Q,作PS⊥x轴,QR⊥x轴于点S、R,且P(2,3),
∴AR=+1,QR=,PS=3,RS=2-a,AS=3
∴S△PQA=S四边形PSRQ+S△QRA-S△PSA
=
=
∴S△PQA=
∴当时,S△PQA的最大面积为,
此时Q
3、
(1)设y1=kx,由图①所示,函数y1=kx的图象过(1,2),
所以2=k•1,k=2,
故利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x,
∵该抛物线的顶点是原点,
∴设y2=ax2,
由图②所示,函数y2=ax2的图象过(2,2),
∴2=a•22,,
故利润y2关于投资量x的函数关系式是:
y2=x2;
(2)设这位专业户投入种植花卉x万元(0≤x≤8),则投入种植树木(8-x)万元,他获得的利润是z万元,根据题意,得z=2(8-x)+x2=x2-2x+16=(x-2)2+14,
当x=2时,z的最小值是14,
∵0≤x≤8,∴当x=8时,z的最大值是32.
4、
(1)C(4,1)...................2分
(2)当∠MDR=450时,t=2,点H(2,0).........................2分
当∠DRM=450时,t=3,点H(3,0).......................... 2分
(3)S=-t2+2t(0<t≤4);(1分)S=t2-2t(t>4)(1分)
当CR∥AB时,t=,(1分) S= (1分)
当AR∥BC时,t=, S= (1分)
当BR∥AC时,t=, S= (1分)
5、解:
(1)作BF⊥y轴于F。
因为A(0,10),B(8,4)
所以FB=8,FA=6
所以
(2)由图2可知,点P从点A运动到点B用了10秒。
又因为AB=10,10÷10=1
所以P、Q两点运动的速度均为每秒1个单位。
(3)方法一:
作PG⊥y轴于G
则PG//BF
所以,即
所以
所以
因为OQ=4+t
所以
即
因为
且
当时,S有最大值。
方法二:
当t=5时,OG=7,OQ=9
设所求函数关系式为
因为抛物线过点(10,28),(5,)
所以
所以
所以
因为
且
当时,S有最大值。
此时
所以点P的坐标为()。
(4)当点P沿AB边运动时,∠OPQ由锐角→直角→钝角;当点P沿BC边运动时,∠OPQ由钝角→直角→锐角(证明略),故符合条件的点P有2个。
6、解:
(1)作于点,
如图所示,则四边形为矩形.
又
在中,由勾股定理得:
(2)假设与相互平分.
由
则是平行四边形(此时在上).
即
解得即秒时,与相互平分.
(3)①当在上,即时,
作于,则
即
=
当秒时,有最大值为
②当在上,即时,
=
易知随的增大而减小.
故当秒时,有最大值为
综上,当时,有最大值为
7、
(1).
(2)由题意得点与点′关于轴对称,,
将′的坐标代入得,
(不合题意,舍去),.
,点到轴的距离为3.
,,直线的解析式为,
它与轴的交点为点到轴的距离为.
.
(3)当点在轴的左侧时,若是平行四边形,则平行且等于,
把向上平移个单位得到,坐标为,代入抛物线的解析式,
得:
(不舍题意,舍去),,
.
当点在轴的右侧时,若是平行四边形,则与互相平分,
.
与关于原点对称,,
将点坐标代入抛物线解析式得:
,
(不合题意,舍去),,.
存在这样的点或,能使得以为顶点的四边形是平行四边形.
8、解:
(1)∵点A与点B关于直线x=-1对称,点B的坐标是(2,0)
∴点A的坐标是(-4,0)
由tan∠BAC=2可得OC=8
∴C(0,8)
∵点A关于y轴的对称点为D
∴点D的坐标是(4,0)
(2)设过三点的抛物线解析式为y=a(x-2)(x-4)
代入点C(0,8),解得a=1
∴抛物线的解析式是y=x2-6x+8
(3)∵抛物线y=x2-6x+8与过点(0,3)平行于x轴的直线相交于M点和N点
∴M(1,3),N(5,3),=4
而抛物线的顶点为(3,-1)
当y>3时
S=4(y-3)=4y-12
当-1≤y<3时
S=4(3-y)=-4y+12
(4)以MN为一边,P(x,y)为顶点,且当<x<4的平行四边形面积最大,只要点P到MN的距离h最大
∴当x=3,y=-1时,h=4
S=•h=4×4=16
∴满足条件的平行四边形面积有最大值16
9、解:
(1)
所以n=5时,面积最大值是
(2)当时,有AC=CD=DB
过C分别作x轴,y轴的垂线可得c坐标为()
代入得
(3)当时,得
设解析式为得,
所以对称轴
因为P(x,y)在上
所以四边形PROQ的面积
10、解:
(1)∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3,
∴A1B1=,A2B2=,A3B3=
设直线A1A3的解析式为y=kx+b。
∴ 解得
∴直线A1A2的解析式为。
∴CB2=2×2-=
∴CA2=CB2-A2B2=-2=。
(2)设A1、A2、A3三点的横坐标依次n-1、n、n+1。
则A1B1=,A2B2=n2-n+1,
A3B3=(n+1)2-(n+1)+1。
设直线A1A3的解析式为y=kx+b
∴
解得
∴直线A1A3的解析式为
∴CB2=n(n-1)-n2+=n2-n+
∴CA2=CB2-A2B2=n2-n+-n2+n-1=。
(3)当a>0时,CA2=a;当a<0时,CA2=-a
11、解:
(1)由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2,知两点的坐标分别为.设直线所对应的函数关系式为.
有解得
所以,直线所对应的函数关系式为.
(2)①点到轴距离与线段的长总相等.
因为点的坐标为,
所以,直线所对应的函数关系式为.
又因为点在直线上,
所以可设点的坐标为.
过点作轴的垂线,设垂足为点,则有.
因为点在直线上,所以有.
因为纸板为平行移动,故有,即.
又,所以.
法一:
故,
从而有.
得,.
所以.
又有.
所以,得,而,
从而总有.
法二:
故,可得.
故.
所以.
故点坐标为.
设直线所对应的函数关系式为,
则有解得
所以,直线所对的函数关系式为.
将点的坐标代入,可得.解得.
而,从而总有.
②由①知,点的坐标为,点的坐标为.
.
当时,有最大值,最大值为.
取最大值时点的坐标为.
12、解:
(1)∵OM=2.5,tan∠OCM=1,
∴∠OCM=,OC=OM=2.5。
∴C(2.5,0),M(0,2.5)。
设CD的解析式为y=kx+2.5(k≠o),
2.5k+2.5=0,
k=一1。
∴y=―x+2.5。
(2)∵B、E关于对称轴对称,∴B(x,)。
又∵B在y=一x+2.5上,∴x=一l。
∴B(―1,)。
(3)抛物线y=经过B(一1,),E(3,),
∴
∴y=,
令y=o,则=0,解得或。
所以沙包距围墙的距离为6米。
13、
(1)解法一:
∵一次函数的图象与x轴交于点A
∴点A的坐标为(4,0)
∵抛物线经过O、A两点
解法二:
∵一次函数的图象与x轴交于点A
∴点A的坐标为(4,0)
∵抛物线经过O、A两点
∴抛物线的对称轴为直线
(2)解:
由抛物线的对称性可知,DO=DA
∴点O在⊙D上,且∠DOA=∠DAO
又由
(1)知抛物线的解析式为
∴点D的坐标为()
①当时,
如图1,设⊙D被x轴分得的劣弧为,它沿x轴翻折后所得劣弧为,显然所在的圆与⊙D关于x轴对称,设它的圆心为D'
∴点D'与点D也关于x轴对称
∵点O在⊙D'上,且⊙D与⊙D'相切
∴点O为切点 ∴D'O⊥OD
∴∠DOA=∠D'OA=45°
∴△ADO为等腰直角三角形
∴点D的纵坐标为-2
∴抛物线的解析式为
②当时,
同理可得:
抛物线的解析式为
综上,⊙D半径的长为,抛物线的解析式为或
(3)解答:
抛物线在x轴上方的部分上存在点P,使得
设点P的坐标为(x,y),且y>0
① 当点P在抛物线上时(如图2)
∵点B是⊙D的优弧上的一点
过点P作PE⊥x轴于点E
由解得:
(舍去)
∴点P的坐标为
②当点P在抛物线上时(如图3)
同理可得,
由解得:
(舍去)
∴点P的坐标为
综上,存在满足条件的点P,点P的坐标为:
或
二、计算题
14、解:
(1)令
抛物线向右平移2个单位得抛物线,
.
抛物线为
即。
(2)存在。
令
抛物线是向右平移2个单位得到的,
在上,且
又.
四边形为平行四边形。
同理,上的点满足
四边形为平行四边形
,即为所求。
(3)设点P关于原点得对称点
且
将点Q得横坐标代入,
得
点Q不在抛物线上。
15、解:
(1)能,共有4个.
点位置如图所示:
(2)在矩形中
,,.
∵S△ABC=BC・AB,
.
,.
在中
,
∴△BEF∽△BAC.
.
.
.
,,
∴S△AEP=S△CPF=CP・FC・sin∠ACB.
,
.
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