图形变换对称.知识精讲(2014-2015).doc
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图形变换对称.知识精讲(2014-2015).doc
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对称
中考大纲
中考内容
中考要求
A
B
C
图形的轴对称
了解图形的轴对称和轴对称图形,理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质
能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形;掌握简单图形之间的轴对称关系,并能指出对称轴;掌握基本图形(等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆)的轴对称性及其相关性质
能运用轴对称的知识解决简单问题
知识网络图
知识精讲
一、轴对称与轴对称图形:
1、轴对称:
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,两个图形中的对应点叫做对称点,对应线段叫做对称线段。
2、轴对称图形:
如果一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴。
【注意】对称轴是直线而不是线段
3、轴对称的性质:
(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;
(2)如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;
(3)两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上;
(4)如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。
二、线段垂直平分线:
1、定义:
垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。
2、性质:
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;
3、判定:
到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
【注意】1、据线段垂直平分线的这一特性可以推出:
三角形三边的垂直平分线交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。
2、垂直平分线中线段的中点的特殊性,常需要分类讨论.
三、角的平分线:
1、定义:
把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.
2、性质:
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
3、判定:
到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
【注意】根据角平分线的性质,三角形的三个内角的平分线交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.
3、角分线常见辅助线
(1)往角两边作垂线
用角平分线上的点往角两边作垂线,这是常用的辅助线,可以利用边角边构造全等
(2)往角两边截取相等的线段
在角两边截取相等的线段,这也是角平分线常用的辅助线,常用于解决线段和差问题
(3):
过角平分线上的点作垂线
过角平分线上的点作垂线,常用于构造三线合一,构造等腰三角形
(4):
过角平分线上的点作角一边的平行线
可以构造等腰三角形,可以记作口诀:
“角平分线+平行线,等角三角形现。
【注意】往角两边作垂线或平行线、及截取等线段,或用四点共圆
四、等腰三角形的性质与判定:
1、对称性:
等腰三角形是轴对称图形,等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴,或底边上的高所在的直线是它的对称轴,或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴;
2、三线合一:
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合;
3、等边对等角:
等腰三角形的两个底角相等。
【注意】等腰三角形的性质除“三线合一”外,三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质,如:
1、等腰三角形两底角的平分线相等;
2、等腰三角形两腰上的中线相等;
3、等腰三角形两腰上的高相等;
4、等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。
4、判定定理:
如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:
等角对等边)。
5、等边三角形的性质:
(1)等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°;
(2)等边三角形具有等腰三角形的所有性质,并且在每条边上都有“三线合一”。
因此等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,而等腰三角形(非等边三角形)只有一条对称轴。
6、判定定理:
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
【注意】等边三角形是一种特殊的三角形,容易知道等边三角形的三条高(或三条中线、三条角平分线)都相等。
解题方法技巧
1、见等腰构造三线合一.
2、见垂直平分线构造等腰三角形.
3、角分线辅助线技巧.
4、四大轴对称模型:
线段和最大最小问题、线段差最大最小问题、三角形周长最小问题,四边形周长最小问题
类型一、线段和最大最小问题
类型二、线段差最大最小问题
1、最小
2、最大
【变形】异侧时,也可以问:
在直线上是否存在一点使的直线为的角平分线
类型三、三角形周长最短
1、2、
类型四、四边形周长最短
1、2、过桥类型3、
轴对称秘籍:
①作中垂线然后作对称,构造轴对称图形②等腰三角形、角分线模型是天然的轴对称模型
③对称轴是对称点的连线的中垂线
易错点辨析
1、把轴对称与轴对称图形的概念、中心对称与中心对称图形的概念混淆.
2、把轴对称与全等混淆.
3、找轴对称图形的对称轴不全、不准.
4、在解有关等腰三角形问题时,没有进行分类讨论,造成漏解.
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