挑战中考数学压轴题第九版精选.doc
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挑战中考数学压轴题第九版精选.doc
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目录
第一部分函数图象中点的存在性问题
1.1因动点产生的相似三角形问题
例12015年上海市宝山嘉定区中考模拟第24题
例22014年武汉市中考第24题
例32012年苏州市中考第29题
例42012年黄冈市中考第25题
例52010年义乌市中考第24题
例62009年临沂市中考第26题
1.2因动点产生的等腰三角形问题
例12015年重庆市中考第25题
例22014年长沙市中考第第26题
例32013年上海市虹口区中考模拟第25题
例42012年扬州市中考第27题
例52012年临沂市中考第26题
例62011年盐城市中考第28题
1.3因动点产生的直角三角形问题
例12015年上海市虹口区中考模拟第25题
例22014年苏州市中考第29题
例32013年山西省中考第26题
例42012年广州市中考第24题
例52012年杭州市中考第22题
例62011年浙江省中考第23题
例72010年北京市中考第24题
1.4因动点产生的平行四边形问题
例12015年成都市中考第28题
例22014年陕西省中考第24题
例32013年上海市松江区中考模拟第24题
例42012年福州市中考第21题
例52012年烟台市中考第26题
例62011年上海市中考第24题
例72011年江西省中考第24题
1.5因动点产生的梯形问题
例12015年上海市徐汇区中考模拟第24题
例22014年上海市金山区中考模拟第24题
例32012年上海市松江中考模拟第24题
例42012年衢州市中考第24题
例52011年义乌市中考第24题
1.6因动点产生的面积问题
例12015年河南市中考第23题
例22014年昆明市中考第23题
例32013年苏州市中考第29题
例42012年菏泽市中考第21题
例52012年河南省中考第23题
例62011年南通市中考第28题
例72010年广州市中考第25题
1.7因动点产生的相切问题
例12015年上海市闵行区中考模拟第24题
例22014年上海市徐汇区中考模拟第25题
例32013年上海市杨浦区中考模拟第25题
1.8因动点产生的线段和差问题
例12015年福州市中考第26题
例22014年广州市中考第24题
例32013年天津市中考第25题
例42012年滨州市中考第24题
第二部分图形运动中的函数关系问题
2.1由比例线段产生的函数关系问题
例12015年呼和浩特市中考第25题
例22014年上海市徐汇区中考模拟第25题
例32013年宁波市中考第26题
例42012年上海市徐汇区中考模拟第25题
2.2由面积公式产生的函数关系问题
例12015年上海市徐汇区中考模拟第25题
例22014年黄冈市中考第25题
例32013年菏泽市中考第21题
例42012年广东省中考第22题
例52012年河北省中考第26题
例62011年淮安市中考第28题
第三部分图形运动中的计算说理问题
3.1代数计算及通过代数计算进行说理问题
例12015年北京市中考第29题
例22014年福州市中考第22题
例32013年南京市中考第26题
3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题
例12015年杭州市中考第22题
例22014年安徽省中考第23题
例32013年上海市黄浦区中考模拟第24题
第四部分图形的平移翻折与旋转
4.1图形的平移
例12015年泰安市中考第15题
例22014年江西省中考第11题
4.2图形的翻折
例12015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第18题
例22014年上海市中考第18题
4.3图形的旋转
例12015年扬州市中考第17题
例22014年上海市黄浦区中考模拟第18题
4.4三角形
例12015年上海市长宁区中考模拟第18题
例22014年泰州市中考第16题
4.5四边形
例12015年安徽省中考第19题
例22014年广州市中考第8题
4.6圆
例12015年兰州市中考第15题
例22014年温州市中考第16题
4.7函数图像的性质
例12015年青岛市中考第8题
例22014年苏州市中考第18题
第一部分函数图象中点的存在性问题
1.1因动点产生的相似三角形问题
例12015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题
如图1,在平面直角坐标系中,双曲线(k≠0)与直线y=x+2都经过点A(2,m).
(1)求k与m的值;
(2)此双曲线又经过点B(n,2),过点B的直线BC与直线y=x+2平行交y轴于点C,联结AB、AC,求△ABC的面积;
(3)在
(2)的条件下,设直线y=x+2与y轴交于点D,在射线CB上有一点E,如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似,且相似比不为1,求点E的坐标.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“15宝山嘉定24”,拖动点E在射线CB上运动,可以体验到,△ACE与△ACD相似,存在两种情况.
思路点拨
1.直线AD//BC,与坐标轴的夹角为45°.
2.求△ABC的面积,一般用割补法.
3.讨论△ACE与△ACD相似,先寻找一组等角,再根据对应边成比例分两种情况列方程.
满分解答
(1)将点A(2,m)代入y=x+2,得m=4.所以点A的坐标为(2,4).
将点A(2,4)代入,得k=8.
(2)将点B(n,2),代入,得n=4.
所以点B的坐标为(4,2).
设直线BC为y=x+b,代入点B(4,2),得b=-2.
所以点C的坐标为(0,-2).
由A(2,4)、B(4,2)、C(0,-2),可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2,B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4.
所以AB=,BC=,∠ABC=90°.图2
所以S△ABC===8.
(3)由A(2,4)、D(0,2)、C(0,-2),得AD=,AC=.
由于∠DAC+∠ACD=45°,∠ACE+∠ACD=45°,所以∠DAC=∠ACE.
所以△ACE与△ACD相似,分两种情况:
①如图3,当时,CE=AD=.
此时△ACD≌△CAE,相似比为1.
②如图4,当时,.解得CE=.此时C、E两点间的水平距离和竖直距离都是10,所以E(10,8).
图3图4
考点伸展
第
(2)题我们在计算△ABC的面积时,恰好△ABC是直角三角形.
一般情况下,在坐标平面内计算图形的面积,用割补法.
如图5,作△ABC的外接矩形HCNM,MN//y轴.
由S矩形HCNM=24,S△AHC=6,S△AMB=2,S△BCN=8,得S△ABC=8.
图5
例22014年武汉市中考第24题
如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0<t<2),连接PQ.
(1)若△BPQ与△ABC相似,求t的值;
(2)如图2,连接AQ、CP,若AQ⊥CP,求t的值;
(3)试证明:
PQ的中点在△ABC的一条中位线上.
图1图2
动感体验
请打开几何画板文件名“14武汉24”,拖动点P运动,可以体验到,若△BPQ可以两次成为直角三角形,与△ABC相似.当AQ⊥CP时,△ACQ∽△CDP.PQ的中点H在
△ABC的中位线EF上.
思路点拨
1.△BPQ与△ABC有公共角,按照夹角相等,对应边成比例,分两种情况列方程.
2.作PD⊥BC于D,动点P、Q的速度,暗含了BD=CQ.
3.PQ的中点H在哪条中位线上?
画两个不同时刻P、Q、H的位置,一目了然.
满分解答
(1)Rt△ABC中,AC=6,BC=8,所以AB=10.
△BPQ与△ABC相似,存在两种情况:
①如果,那么.解得t=1.
②如果,那么.解得.
图3图4
(2)作PD⊥BC,垂足为D.
在Rt△BPD中,BP=5t,cosB=,所以BD=BPcosB=4t,PD=3t.
当AQ⊥CP时,△ACQ∽△CDP.
所以,即.解得.
图5图6
(3)如图4,过PQ的中点H作BC的垂线,垂足为F,交AB于E.
由于H是PQ的中点,HF//PD,所以F是QD的中点.
又因为BD=CQ=4t,所以BF=CF.
因此F是BC的中点,E是AB的中点.
所以PQ的中点H在△ABC的中位线EF上.
考点伸展
本题情景下,如果以PQ为直径的⊙H与△ABC的边相切,求t的值.
如图7,当⊙H与AB相切时,QP⊥AB,就是,.
如图8,当⊙H与BC相切时,PQ⊥BC,就是,t=1.
如图9,当⊙H与AC相切时,直径,
半径等于FC=4.所以.
解得,或t=0(如图10,但是与已知0<t<2矛盾).
图7图8图9图10
例32012年苏州市中考第29题
如图1,已知抛物线(b是实数且b>2)与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位于点B是左侧),与y轴的正半轴交于点C.
(1)点B的坐标为______,点C的坐标为__________(用含b的代数式表示);
(2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?
如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)?
如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12苏州29”,拖动点B在x轴的正半轴上运动,可以体验到,点P到两坐标轴的距离相等,存在四边形PCOB的面积等于2b的时刻.双击按钮“第(3)题”,拖动点B,可以体验到,存在∠OQA=∠B的时刻,也存在∠OQ′A=∠B的时刻.
思路点拨
1.第
(2)题中,等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等.
2.联结OP,把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形,底边可以用含b的式子表示.
3.第(3)题要探究三个三角形两两相似,第一直觉这三个三角形是直角三角形,点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上.
满分解答
(1)B的坐标为(b,0),点C的坐标为(0,).
(2)如图2,过点P作PD⊥x轴,PE⊥y轴,垂足分别为D、E,那么△PDB≌△PEC.
因此PD=PE.设点P的坐标为(x,x).
如图3,联结OP.
所以S四边形PCOB=S△PCO+S△PBO==2b.
解得.所以点P的坐标为().
图2图3
(3)由,得A(1,0),OA=1.
①如图4,以OA、OC为邻边构造矩形OAQC,那么△OQC≌△QOA.
当,即时,△BQA∽△QOA.
所以.解得.所以符合题意的点Q为().
②如图5,以OC为直径的圆与直线x=1交于点Q,那么∠OQC=90°。
因此△OCQ∽△QOA.
当时,△BQA∽△QOA.此时∠OQB=90°.
所以C、Q、B三点共线.因此,即.解得.此时Q(1,4).
图4图5
考点伸展
第(3)题的思路是,A、C、O三点是确定的,B是x轴正半轴上待定的点,而∠QOA与∠QOC是互余的,那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况.
这样,先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来,再根据两直角边对应成比例确定点B的位置.
如图中,圆与直线x=1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢?
如果符合题意的话,那么点B的位置距离点A很近,这与OB=4OC矛盾.
例42012年黄冈市中考模拟第25题
如图1,已知抛物线的方程C1:
(m>0)与x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.
(1)若抛物线C1过点M(2,2),求实数m的值;
(2)在
(1)的条件下,求△BCE的面积;
(3)在
(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+EH最小,求出点H的坐标;
(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?
若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12黄冈25”,拖动点C在x轴正半轴上运动,观察左图,可以体验到,EC与BF保持平行,但是∠BFC在无限远处也不等于45°.观察右图,可以体验到,∠CBF保持45°,存在∠BFC=∠BCE的时刻.
思路点拨
1.第(3)题是典型的“牛喝水”问题,当H落在线段EC上时,BH+EH最小.
2.第(4)题的解题策略是:
先分两种情况画直线BF,作∠CBF=∠EBC=45°,或者作BF//EC.再用含m的式子表示点F的坐标.然后根据夹角相等,两边对应成比例列关于m的方程.
满分解答
(1)将M(2,2)代入,得.解得m=4.
(2)当m=4时,.所以C(4,0),E(0,2).
所以S△BCE=.
(3)如图2,抛物线的对称轴是直线x=1,当H落在线段EC上时,BH+EH最小.
设对称轴与x轴的交点为P,那么.
因此.解得.所以点H的坐标为.
(4)①如图3,过点B作EC的平行线交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′.
由于∠BCE=∠FBC,所以当,即时,△BCE∽△FBC.
设点F的坐标为,由,得.
解得x=m+2.所以F′(m+2,0).
由,得.所以.
由,得.
整理,得0=16.此方程无解.
图2图3图4
②如图4,作∠CBF=45°交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′,
由于∠EBC=∠CBF,所以,即时,△BCE∽△BFC.
在Rt△BFF′中,由FF′=BF′,得.
解得x=2m.所以F′.所以BF′=2m+2,.
由,得.解得.
综合①、②,符合题意的m为.
考点伸展
第(4)题也可以这样求BF的长:
在求得点F′、F的坐标后,根据两点间的距离公式求BF的长.
例52010年义乌市中考第24题
如图1,已知梯形OABC,抛物线分别过点O(0,0)、A(2,0)、B(6,3).
(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标;
(2)将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1,得到如图2的梯形O1A1B1C1.设梯形O1A1B1C1的面积为S,A1、B1的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).用含S的代数式表示x2-x1,并求出当S=36时点A1的坐标;
(3)在图1中,设点D的坐标为(1,3),动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动,动点Q从点D出发,以与点P相同的速度沿着线段DM运动.P、Q两点同时出发,当点Q到达点M时,P、Q两点同时停止运动.设P、Q两点的运动时间为t,是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似?
若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
图1图2
动感体验
请打开几何画板文件名“10义乌24”,拖动点I上下运动,观察图形和图象,可以体验到,x2-x1随S的增大而减小.双击按钮“第(3)题”,拖动点Q在DM上运动,可以体验到,如果∠GAF=∠GQE,那么△GAF与△GQE相似.
思路点拨
1.第
(2)题用含S的代数式表示x2-x1,我们反其道而行之,用x1,x2表示S.再注意平移过程中梯形的高保持不变,即y2-y1=3.通过代数变形就可以了.
2.第(3)题最大的障碍在于画示意图,在没有计算结果的情况下,无法画出准确的位置关系,因此本题的策略是先假设,再说理计算,后验证.
3.第(3)题的示意图,不变的关系是:
直线AB与x轴的夹角不变,直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变.变化的直线PQ的斜率,因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方,或者假设交点G在x轴的上方.
满分解答
(1)抛物线的对称轴为直线,解析式为,顶点为M(1,).
(2)梯形O1A1B1C1的面积,由此得到.由于,所以.整理,得.因此得到.
当S=36时,解得此时点A1的坐标为(6,3).
(3)设直线AB与PQ交于点G,直线AB与抛物线的对称轴交于点E,直线PQ与x轴交于点F,那么要探求相似的△GAF与△GQE,有一个公共角∠G.
在△GEQ中,∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角,为定值.
在△GAF中,∠GAF是直线AB与x轴的夹角,也为定值,而且∠GEQ≠∠GAF.
因此只存在∠GQE=∠GAF的可能,△GQE∽△GAF.这时∠GAF=∠GQE=∠PQD.
由于,,所以.解得.
图3图4
考点伸展
第(3)题是否存在点G在x轴上方的情况?
如图4,假如存在,说理过程相同,求得的t的值也是相同的.事实上,图3和图4都是假设存在的示意图,实际的图形更接近图3.
例62009年临沂市中考第26题
如图1,抛物线经过点A(4,0)、B(1,0)、C(0,-2)三点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上的一个动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P,使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似?
若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在直线AC上方的抛物线是有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“09临沂26”,拖动点P在抛物线上运动,可以体验到,△PAM的形状在变化,分别双击按钮“P在B左侧”、“P在x轴上方”和“P在A右侧”,可以显示△PAM与△OAC相似的三个情景.
双击按钮“第(3)题”,拖动点D在x轴上方的抛物线上运动,观察△DCA的形状和面积随D变化的图象,可以体验到,E是AC的中点时,△DCA的面积最大.
思路点拨
1.已知抛物线与x轴的两个交点,用待定系数法求解析式时,设交点式比较简便.
2.数形结合,用解析式表示图象上点的坐标,用点的坐标表示线段的长.
3.按照两条直角边对应成比例,分两种情况列方程.
4.把△DCA可以分割为共底的两个三角形,高的和等于OA.
满分解答
(1)因为抛物线与x轴交于A(4,0)、B(1,0)两点,设抛物线的解析式为,代入点C的坐标(0,-2),解得.所以抛物线的解析式为.
(2)设点P的坐标为.
①如图2,当点P在x轴上方时,1<x<4,,.
如果,那么.解得不合题意.
如果,那么.解得.
此时点P的坐标为(2,1).
②如图3,当点P在点A的右侧时,x>4,,.
解方程,得.此时点P的坐标为.
解方程,得不合题意.
③如图4,当点P在点B的左侧时,x<1,,.
解方程,得.此时点P的坐标为.
解方程,得.此时点P与点O重合,不合题意.
综上所述,符合条件的点P的坐标为(2,1)或或.
图2图3图4
(3)如图5,过点D作x轴的垂线交AC于E.直线AC的解析式为.
设点D的横坐标为m,那么点D的坐标为,点E的坐标为.所以.
因此.
当时,△DCA的面积最大,此时点D的坐标为(2,1).
图5图6
考点伸展
第(3)题也可以这样解:
如图6,过D点构造矩形OAMN,那么△DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去△CDN和△ADM的面积.
设点D的横坐标为(m,n),那么
.
由于,所以.
1.2因动点产生的等腰三角形问题
例12015年重庆市中考第25题
如图1,在△ABC中,ACB=90°,∠BAC=60°,点E是∠BAC的平分线上一点,过点E作AE的垂线,过点A作AB的垂线,两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点,DH⊥AC,垂足为H,连接EF,HF.
(1)如图1,若点H是AC的中点,AC=,求AB、BD的长;
(2)如图1,求证:
HF=EF.
(3)如图2,连接CF、CE,猜想:
△CEF是否是等边三角形?
若是,请证明;若不是,请说明理由.
图1图2
动感体验
请打开几何画板文件名“15重庆25”,拖动点E运动,可以体验到,△FAE与△FDH保持全等,△CMF与△CAE保持全等,△CEF保持等边三角形的形状.
思路点拨
1.把图形中所有30°的角都标注出来,便于寻找等角和等边.
2.中点F有哪些用处呢?
联想到斜边上的中线和中位线就有思路构造辅助线了.
满分解答
(1)如图3,在Rt△ABC中,∠BAC=60°,AC=,所以AB=.
在Rt△ADH中,∠DAH=30°,AH=,所以DH=1,AD=2.
在Rt△ADB中,AD=2,AB=,由勾股定理,得BD=.
(2)如图4,由∠DAB=90°,∠BAC=60°,AE平分∠BAC,得∠DAE=60°,
∠DAH=30°.
在Rt△ADE中,AE=.在Rt△ADH中,DH=.所以AE=DH.
因为点F是Rt△ABD的斜边上的中线,所以FA=FD,∠FAD=∠FDA.
所以∠FAE=∠FDH.所以△FAE≌△FDH.所以EF=HF.
图3图4图5
(3)如图5,作FM⊥AB于M,联结CM.
由FM//
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