Matlab优化工具箱基本用法共20页.docx
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Matlab优化工具箱基本用法共20页
Matlab优化工具箱
类型
模型
基本函数名
一元函数极小
MinF(x)s.t.x1 x=fminbnd(‘F’,x1,x2) 无约束极小 MinF(X) X=fminunc(‘F’,X0) X=fminsearch(‘F’,X0) 线性规划 Min s.t.AX<=b X=linprog(c,A,b) 二次规划 Min xTHx+cTx s.t.Ax<=b X=quadprog(H,c,A,b) 约束极小 (非线性规划) MinF(X) s.t.G(X)<=0 X=fmincon(‘FG’,X0) 达到目标问题 Minr s.t.F(x)-wr<=goal X=fgoalattain(‘F’,x,goal,w) 极小极大问题 Minmax{Fi(x)} X{Fi(x)} s.t.G(x)<=0 X=fminimax(‘FG’,x0) 变量 调用函数 描述 f linprog,quadprog 线性规划的目标函数f*X或二次规划的目标函数X’*H*X+f*X中线性项的系数向量 fun fminbnd,fminsearch,fminunc,fmincon,lsqcurvefit,lsqnonlin,fgoalattain,fminimax 非线性优化的目标函数.fun必须为行命令对象或M文件、嵌入函数、或MEX文件的名称 H quadprog 二次规划的目标函数X’*H*X+f*X中二次项的系数矩阵 A,b linprog,quadprog,fgoalattain,fmincon,fminimax A矩阵和b向量分别为线性不等式约束: 中的系数矩阵和右端向量 Aeq,beq linprog,quadprog,fgoalattain,fmincon,fminimax Aeq矩阵和beq向量分别为线性等式约束: 中的系数矩阵和右端向量 vlb,vub linprog,quadprog,fgoalattain,fmincon,fminimax,lsqcurvefit, lsqnonlin X的下限和上限向量: vlb≤X≤vub X0 除fminbnd外所有优化函数 迭代初始点坐标 x1,x2 fminbnd 函数最小化的区间 options 所有优化函数 优化选项参数结构,定义用于优化函数的参数 x=bintprog(f,A,b,Aeq,Beq,x0,options)0-1规划 用MATLAB优化工具箱解线性规划 minz=cX 1、模型: 命令: x=linprog(c,A,b) 2、模型: 命令: x=linprog(c,A,b,Aeq,beq) 注意: 若没有不等式: 存在,则令A=[],b=[].若没有等式约束,则令Aeq=[],beq=[]. 3、模型: 命令: [1]x=linprog(c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB) [2]x=linprog(c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,X0) 注意: [1]若没有等式约束,则令Aeq=[],beq=[].[2]其中X0表示初始点 4、命令: [x,fval]=linprog(…) 返回最优解x及x处的目标函数值fval. 例1max 解编写M文件小xxgh1.m如下: c=[-0.4-0.28-0.32-0.72-0.64-0.6]; A=[0.010.010.010.030.030.03;0.02000.0500;00.02000.050;000.03000.08]; b=[850;700;100;900]; Aeq=[];beq=[]; vlb=[0;0;0;0;0;0];vub=[]; [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 例2 解: 编写M文件xxgh2.m如下: c=[634]; A=[010]; b=[50]; Aeq=[111]; beq=[120]; vlb=[30,0,20]; vub=[]; [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub 例3(任务分配问题)某车间有甲、乙两台机床,可用于加工三种工件。 假定这两台车床的可用台时数分别为800和900,三种工件的数量分别为400、 600和500,且已知用三种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工 费用如下表。 问怎样分配车床的加工任务,才能既满足加工工件的要求,又使 加工费用最低? 解设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为x1、x2、x3,在乙车床上 加工工件1、2、3的数量分别为x4、x5、x6。 可建立以下线性规划模型: 编写M文件xxgh3.m如下: f=[1391011128]; A=[0.41.11000 0000.51.21.3]; b=[800;900]; Aeq=[100100 010010 001001]; beq=[400600500]; vlb=zeros(6,1); vub=[]; [x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 例4.某厂每日8小时的产量不低于1800件。 为了进行质量控制,计划聘请两种不同水平的检验员。 一级检验员的标准为: 速度25件/小时,正确率98%,计时工资4元/小时;二级检验员的标准为: 速度15小时/件,正确率95%,计时工资3元/小时。 检验员每错检一次,工厂要损失2元。 为使总检验费用最省,该工厂应聘一级、二级检验员各几名? 解设需要一级和二级检验员的人数分别为x1、x2人, 则应付检验员的工资为: 因检验员错检而造成的损失为: 故目标函数为: 约束条件为: 线性规划模型: 编写M文件xxgh4.m如下: c=[40;36]; A=[-5-3]; b=[-45]; Aeq=[]; beq=[]; vlb=zeros(2,1); vub=[9;15]; %调用linprog函数: [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 结果为: x= 9.0000 0.0000 fval=360 即只需聘用9个一级检验员。 Matlab优化工具箱简介 1.MATLAB求解优化问题的主要函数 2.优化函数的输入变量 使用优化函数或优化工具箱中其它优化函数时,输入变量见下表: 3.优化函数的输出变量下表: 4.控制参数options的设置 Options中常用的几个参数的名称、含义、取值如下: (1)Display: 显示水平.取值为’off’时,不显示输出;取值为’iter’时,显示每次迭代的信息;取值为’final’时,显示最终结果.默认值为’final’. (2)MaxFunEvals: 允许进行函数评价的最大次数,取值为正整数. (3)MaxIter: 允许进行迭代的最大次数,取值为正整数 控制参数options可以通过函数optimset创建或修改。 命令的格式如下: (1)options=optimset(‘optimfun’) 创建一个含有所有参数名,并与优化函数optimfun相关的默认值的选项结构options. (2)options=optimset(‘param1’,value1,’param2’,value2,...) 创建一个名称为options的优化选项参数,其中指定的参数具有指定值,所有未指定的参数取默认值. (3)options=optimset(oldops,‘param1’,value1,’param2’, value2,...) 创建名称为oldops的参数的拷贝,用指定的参数值修改oldops中相应的参数. 例: opts=optimset(‘Display’,’iter’,’TolFun’,1e-8) 该语句创建一个称为opts的优化选项结构,其中显示参数设为’iter’,TolFun参数设为1e-8. 用Matlab解无约束优化问题 一元函数无约束优化问题 常用格式如下: (1)x=fminbnd(fun,x1,x2) (2)x=fminbnd(fun,x1,x2,options) (3)[x,fval]=fminbnd(...) (4)[x,fval,exitflag]=fminbnd(...) (5)[x,fval,exitflag,output]=fminbnd(...) 其中(3)、(4)、(5)的等式右边可选用 (1)或 (2)的等式右边。 函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法,它要求目标函数必须是连续函数,并可能只给出局部最优解。 例1求 在0 主程序为wliti1.m: f='2*exp(-x).*sin(x)'; fplot(f,[0,8]);%作图语句 [xmin,ymin]=fminbnd(f,0,8) f1='-2*exp(-x).*sin(x)'; [xmax,ymax]=fminbnd(f1,0,8) 运行结果: xmin=3.9270ymin=-0.0279 xmax=0.7854ymax=0.6448 例2对边长为3米的正方形铁板,在四个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽,问如何剪法使水槽的容积最大? 解 先编写M文件fun0.m如下: functionf=fun0(x) f=-(3-2*x).^2*x; 主程序为wliti2.m: [x,fval]=fminbnd('fun0',0,1.5); xmax=x fmax=-fval 运算结果为: xmax=0.5000,fmax=2.0000.即剪掉的正方形的边长为0.5米时水槽的容积最大,最大容积为2立方米. 2、多元函数无约束优化问题 标准型为: minF(X) 命令格式为: (1)x=fminunc(fun,X0);或x=fminsearch(fun,X0) (2)x=fminunc(fun,X0,options); 或x=fminsearch(fun,X0,options) (3)[x,fval]=fminunc(...); 或[x,fval]=fminsearch(...) (4)[x,fval,exitflag]=fminunc(...); 或[x,fval,exitflag]=fminsearch (5)[x,fval,exitflag,output]=fminunc(...); 或[x,fval,exitflag,output]=fminsearch(...) 说明: •fminsearch是用单纯形法寻优.fminunc的算法见以下几点说明: [1]fminunc为无约束优化提供了大型优化和中型优化算法。 由options中的参数LargeScale控制: LargeScale=’on’(默认值),使用大型算法 LargeScale=’off’(默认值),使用中型算法 [2]fminunc为中型优化算法的搜索方向提供了4种算法,由 options中的参数HessUpdate控制: HessUpdate=’bfgs’(默认值),拟牛顿法的BFGS公式; HessUpdate=’dfp’,拟牛顿法的DFP公式; HessUpdate=’steepdesc’,最速下降法 [3]fminunc为中型优化算法的步长一维搜索提供了两种算法, 由options中参数LineSearchType控制: LineSearchType=’quadcubic’(缺省值),混合的二次和三 次多项式插值; LineSearchType=’cubicpoly’,三次多项式插 •使用fminunc和fminsearch可能会得到局部最优解. 例3minf(x)=(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1)*exp(x1) 1、编写M-文件fun1.m: functionf=fun1(x) f=exp(x (1))*(4*x (1)^2+2*x (2)^2+4*x (1)*x (2)+2*x (2)+1); 2、输入M文件wliti3.m如下: x0=[-1,1]; x=fminunc(‘fun1’,x0); y=fun1(x) 3、运行结果: x=0.5000-1.0000 y=1.3029e-10 例4Rosenbrock函数f(x1,x2)=100(x2-x12)2+(1-x1)2 的最优解(极小)为x*=(1,1),极小值为f*=0.试用 不同算法(搜索方向和步长搜索)求数值最优解. 初值选为x0=(-1.2,2). 1.为获得直观认识,先画出Rosenbrock函数的三维图形, 输入以下命令: [x,y]=meshgrid(-2: 0.1: 2,-1: 0.1: 3); z=100*(y-x.^2).^2+(1-x).^2; mesh(x,y,z) 2.画出Rosenbrock函数的等高线图,输入命令: contour(x,y,z,20) holdon plot(-1.2,2,'o'); text(-1.2,2,'startpoint') plot(1,1,'o') text(1,1,'solution') 3.用fminsearch函数求解 输入命令: f='100*(x (2)-x (1)^2)^2+(1-x (1))^2'; [x,fval,exitflag,output]=fminsearch(f,[-1.22]) 运行结果: x=1.00001.0000 fval=1.9151e-010 exitflag=1 output= iterations: 108 funcCount: 202 algorithm: 'Nelder-Meadsimplexdirectsearch' 4.用fminunc函数 (1)建立M-文件fun2.m functionf=fun2(x) f=100*(x (2)-x (1)^2)^2+(1-x (1))^2 (2)主程序wliti44.m Rosenbrock函数不同算法的计算结果 可以看出,最速下降法的结果最差.因为最速下降法特别不适合于从一狭长通道到达最优解的情况. 例5产销量的最佳安排 某厂生产一种产品有甲、乙两个牌号,讨论在产销平衡的情况下如何确定各自的产量,使总利润最大.所谓产销平衡指工厂的产量等于市场上的销量. 符号说明 z(x1,x2)表示总利润; p1,q1,x1分别表示甲的价格、成本、销量; p2,q2,x2分别表示乙的价格、成本、销量; aij,bi,λi,ci(i,j=1,2)是待定系数. 基本假设 1.价格与销量成线性关系 利润既取决于销量和价格,也依赖于产量和成本。 按照市场规律, 甲的价格p1会随其销量x1的增长而降低,同时乙的销量x2的增长也 会使甲的价格有稍微的下降,可以简单地假设价格与销量成线性关系, 即: p1=b1-a11x1-a12x2,b1,a11,a12>0,且a11>a12; 同理,p2=b2-a21x1-a22x2,b2,a21,a22>0 2.成本与产量成负指数关系 甲的成本随其产量的增长而降低,且有一个渐进值,可以假设为 负指数关系,即: 同理, 模型建立 总利润为: z(x1,x2)=(p1-q1)x1+(p2-q2)x2 若根据大量的统计数据,求出系数b1=100,a11=1,a12=0.1,b2=280, a21=0.2,a22=2,r1=30,λ1=0.015,c1=20,r2=100,λ2=0.02,c2=30,则 问题转化为无约束优化问题: 求甲,乙两个牌号的产量x1,x2,使 总利润z最大. 为简化模型,先忽略成本,并令a12=0,a21=0,问题转化为求: z1=(b1-a11x1)x1+(b2-a22x2)x2 的极值.显然其解为x1=b1/2a11=50,x2=b2/2a22=70, 我们把它作为原问题的初始值. 模型求解 1.建立M-文件fun.m: functionf=fun(x) y1=((100-x (1)-0.1*x (2))-(30*exp(-0.015*x (1))+20))*x (1); y2=((280-0.2*x (1)-2*x (2))-(100*exp(-0.02*x (2))+30))*x (2); f=-y1-y2; 2.输入命令: x0=[50,70]; x=fminunc(‘fun’,x0), z=fun(x) 3.计算结果: x=23.9025,62.4977,z=6.4135e+003 即甲的产量为23.9025,乙的产量为62.4977,最大利润为6413.5. 非线性规划 1、二次规划 用MATLAB软件求解,其输入格式如下: 1.x=quadprog(H,C,A,b); 2.x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq); 3.x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB); 4.x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,X0); 5.x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,X0,options); 6.[x,fval]=quaprog(...); 7.[x,fval,exitflag]=quaprog(...); 8.[x,fval,exitflag,output]=quaprog(...); 例1minf(x1,x2)=-2x1-6x2+x12-2x1x2+2x22 s.t.x1+x2≤2 -x1+2x2≤2 x1≥0,x2≥0 1、写成标准形式: s.t. 2、输入命令: H=[1-1;-12]; c=[-2;-6];A=[11;-12];b=[2;2]; Aeq=[];beq=[];VLB=[0;0];VUB=[]; [x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB) 3、运算结果为: x=0.66671.3333z=-8.2222 一般非线性规划 标准型为: minF(X) s.tAX<=b G(X) Ceq(X)=0VLB X VUB 其中X为n维变元向量,G(X)与Ceq(X)均为非线性函数组成的向量,其它变量的含义与线性规划、二次规划中相同.用Matlab求解上述问题,基本步骤分三步: 1.首先建立M文件fun.m,定义目标函数F(X): functionf=fun(X); f=F(X); 2.若约束条件中有非线性约束: G(X) 或Ceq(X)=0,则建立M文件nonlcon.m定义函数G(X)与Ceq(X): function[G,Ceq]=nonlcon(X) G=... Ceq=... 3.建立主程序.非线性规划求解的函数是fmincon,命令的基本格式如下: (1)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b) (2)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq) (3)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB) (4)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’) (5)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options) (6)[x,fval]=fmincon(...) (7)[x,fval,exitflag]=fmincon(...) (8)[x,fval,exitflag,output]=fmincon(...) 注意: [1]fmincon函数提供了大型优化算法和中型优化算法。 默认时,若在fun函数中提供了梯度(options参数的GradObj设置为’on’),并且只有上下界存在或只有等式约束,fmincon函数将选择大型算法。 当既有等式约束又有梯度约束时,使用中型算法。 [2]fmincon函数的中型算法使用的是序列二次规划法。 在每一步迭代中求解二次规划子问题,并用BFGS法更新拉格朗日Hessian矩阵。 [3]fmincon函数可能会给出局部最优解,这与初值X0的选取有关。 例2 s.t. 1、写成标准形式: s.t. 2、先建立M-文件fun3.m: functionf=fun3(x); f=-x (1)-2*x (2)+(1/2)*x (1)^2+(1/2)*x (2)^2 3、再建立主程序youh2.m: x0=[1;1]; A=[23;14];b=[6;5]; Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0];VUB=[]; [x,fval]=fmincon('fun3',x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB) 4、运算结果为: x=0.76471.0588 fval=-2.0294 例3 1.先建立M文件fun4.m,定义目标函数: functionf=fun4(x); f=exp(x (1)) *(4*x (1)^2+2*x (2)^2+4*x (1)*x (2)+2*x (2)+1); 2.再建立M文件mycon.m定义非线性约束: function[g,ceq]=mycon(x) g=[x (1)+x (2);1.5+x (1)*x (2)-x (1)-x (2);-x (1)*x (2)-10]; 3.主程序youh3.m为: x0=[-1;1]; A=[];b=[]; Aeq=[11];beq=[0]; vlb=[];vub=[]; [x,fval]=fmincon('fun4',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,'mycon') 3.运算结果为: x=-1.22501.2250 fval=1.8951 例4.资金使用问题 设有400万元资金,要求4年内使用完,若在一年内使用资金x万元,则可得效益 万元(效益不能再使用),当年不用的资
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- Matlab 优化 工具箱 基本 用法 20
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