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物理导学案
第七章 机械能守恒定律
第1节 追寻守恒量
第2节 功
要点一能及其转化与守恒的认识
能是描述物质(或系统)运动状态的一个物理量,是物质运动的一种量度.任何物质都离不开运动,在自然界中物质的运动是多种多样的,相对于各种不同的运动形式,就有各种不同形式的能量.自然界中主要有机械能、热能、光能、电磁能和原子能等.各种不同形式的能可以相互转化,而在转化过程中,能的总量是不变的,这是能的最基本的性质.
图7-(1、2)-1为伽利略的理想斜面示意图.伽利略发现:
无论斜面B比斜面A陡些还是缓些,小球最后总会在斜面上的某点速度变为0,这点距斜面底端的竖直高度与它出发时的高度相同.这个过程中势能先转化为动能,动能又转化为势能,动能和势能的总量保持不变,因此小球才能上升到与出发点等高处.
图7-(1、2)-1
能量守恒告诉我们,尽管物质世界千变万化,但这种变化不是没有规律的,基本的规律就是守恒定律,也就是说,一切运动变化无论属于什么形式,反映什么样的物质特性,都要满足一定的守恒定律.机械能守恒定律是人们在认识到动能和势能的具体形式,以及探索了它们之间能以一定的数量关系相互转化之后建立起来的.
要点二对功的公式W=Flcosα的理解
1.F表示力的大小,l表示力的作用点相对于地面位移的大小,当力的作用点的位移与物体的位移相同时,也常常说是物体相对地面的位移大小,α表示力与位移方向间的夹角.
2.公式仅适用于求恒力的功.
3.计算功时首先要分清是求单个力做功还是求合力做功.
(1)求单个力做功时,某一个力做的功,不受其它力的影响.例如从斜面上滑下的物体,重力对物体做的功与斜面是光滑的还是粗糙的没有关系.
(2)求解合力做功时,有两种方法,一种方法是合力做的总功等于各个力做功的代数和,另一种方法是先求出物体所受各力的合力,再用公式W总=F合lcosα计算.
4.功是过程量,是力在空间的积累量.功只有大小,没有方向,是标量.
5.实际计算时,不必生搬硬套公式W=Flcosα,一般通过分解力或分解位移的方法求解.
要点三关于正功、负功的理解
功是标量,但有正功、负功之分,功的正负既不表示大小,也不表示方向,只表示两种相反的做功效果,即为动力功还是阻力功.
1.当0≤α<
,cosα>0,W>0,力对物体做正功,力是物体运动的动力,使物体的动能增加.
2.当α=
时,cosα=0,W=0,表示力对物体不做功,力对物体既不起动力作用,也不起阻力作用,力没有使物体的动能发生变化.
3.当
<α≤π时,cosα<0,W<0,力对物体做负功(或者说物体克服阻力做功),力是物体运动的阻力,使物体的动能减少.
对以上特别说明的是:
当力对物体做负功时,常常说成“物体克服某力做功”,这两种说法是等效的.
要点四变力做功的求法
1.图象法
我们可以用图象来描述力对物体做功的大小.以Fcosα为纵坐标,以l为横坐标.当恒力F对物体做功时,由Fcosα和l为邻边构成的矩形面积,即表示功的大小,如图7-(1、2)-2甲所示.
图7-(1、2)-2
如果外力不是恒力,外力做功就不能用矩形表示.不过可以将位移划分为等距的小段,当每一小段足够小时,力的变化很小,就可以认为是恒定的,该段内所做功的大小即为此小段对应的小矩形的面积,整个过程外力做功的大小就等于全体小矩形面积之和,如图7-(1、2)-2乙所示.
2.分段法(或微元法)
当力的大小不变,力的方向时刻与速度同向(或反向)时,把物体的运动过程分为很多小段,这样每一小段可以看成直线,先求力在每一小段上的功,再求和即可.
图7-(1、2)-3
例如:
用水平拉力,拉着一物块沿半径为R的水平圆轨道运动一周,如图7-(1、2)-3所示,已知物块与轨道间的动摩擦因数为μ,物块的质量为m,求此过程中摩擦力做的功.
由题意知,物块受到的摩擦力在整个过程中大小不变为F=μmg、方向时刻变化,是变力,把圆轨道分成l1、l2、l3、…、ln微小段,摩擦力在每一段上可视为恒力,则在每一段上做的功W1=μmgl1,W2=μmgl2,W3=μmgl3,…,Wn=μmgln,摩擦力在一周内所做的功W=W1+W2+W3+…,Wn=μmg(l1+l2+l3+…+ln)=μmg·2πR.
从上述例子,可得到大小恒定的空气阻力、滑动摩擦力做功的大小,计算式为W=-Fl,其中l为路程.
3.平均值法
当力F的大小发生变化,但F、l成线性关系时,可以代入F的平均值计算F做的功.
例如:
如图7-(1、2)-4所示,
图7-(1、2)-4
轻弹簧一端与竖直墙壁连接,另一端与一质量为m的物块连接,物块放在光滑的水平面上,弹簧的劲度系数为k,弹簧处于自然状态,用水平力缓慢拉物块,使物块前进的位移为l,求这一过程中拉力对物体做了多少功?
缓慢拉动物块,可认为物块处于平衡状态,故拉力等于弹力,大小为F=kl.
因该力与位移成正比,可用平均力
=
求功W=
·l=
kl2.
1.一个力是否对物体做功,如何判断?
公式中W=Flcosα的位移l是以哪个物体为参考系的?
判断一个力对物体是否做功,可根据该力和物体位移方向的夹角是否为90°,或力与物体速度方向的夹角是否总是90°判断.
例如:
如图7-(1、2)-5所示,
图7-(1、2)-5
斜面体a放在光滑水平桌面上,物体b由光滑斜面的顶端从静止开始下滑,由题意可知物体b下滑的同时,斜面体a将沿桌面向右运动,由图可知,物体b所受斜面的弹力FN虽然垂直斜面,但它与物体b的位移l的夹角大于90°,所以弹力FN对物体b做负功.同理,b对a的弹力FN′对a做正功.
上述例子中b物体的位移l是以大地为参考系的,若误以斜面为参考系,则会错误的判断出FN对b不做功.公式中位移l必须是受力物体相对大地的位移.
2.摩擦力一定对物体做功吗?
一对相互作用力的功也一定相等吗?
不一定.
(1)摩擦力做功有以下特点:
①静摩擦力和滑动摩擦力都可以对物体做正功,也可以做负功,还可以不做功.
例如:
汽车载着集装箱加速前进,集装箱与汽车间无相对滑动,则汽车施于集装箱的静摩擦力对集装箱做正功,集装箱施于汽车的静摩擦力对汽车做负功;物体在水平转台上随转台一起匀速转动,物体与转台间无相对滑动,则转台施于物体的静摩擦力对物体就不做功.
又如,将工件放在运转中的传送带上,传送带施于工件的
滑动摩擦力将对工件做正功,而工件施于传送带的滑动摩擦力将对传送带做负功;物体在粗糙地面上滑动,物体施于地面的滑动摩擦力对地面就不做功.
②一对静摩擦力做功的过程中,只有机械能的相互转移(静摩擦力起着传递机械能的作用),而没有机械能转化为其他形式的能.一对滑动摩擦力做功的过程中,能量的转化有两种情况同时发生:
一是相互摩擦的物体之间机械能的转移;二是机械能转化为内能.
③相互摩擦的系统内,一对静摩擦力所做的功的总和等于零;一对滑动摩擦力所做的功的总和总是负值,其绝对值恰好等于滑动摩擦力与相对位移的乘积,即恰等于系统损失的机械能.
(其中,机械能、内能在后面将会学到)
(2)一对相互作用力做功的特点
①作用力与反作用力的特点:
大小相等、方向相反,且作用在不同物体上.
②作用力、反作用力作用下的物体运动的特点:
可能向相反方向运动,也可能向同一方向运动,也可能一个运动,而另一个静止,还可能两物体都静止.
③由W=Flcosα不难判断,作用力做的功与反作用力做的功,没有必然的关系,可能相等,也可能不等;可能同为正功,也可能一正一负;可能一个为零,另一个不为零.
一、功的公式W=Flcosα的基本应用
例1
质量m=3kg的物体,受到与斜面平行向下的拉力F=10N,沿固定斜面下滑距离l=2m,斜面倾角θ=30°,物体与斜面间的动摩擦因数μ=
.求各力对物体所做的功,以及力对物体所做的总功.(g取10m/s2)
解析 物体所受到的各个力均为恒力,
可用功的公式进行计算.
如右图所示,物体受到重力、拉力、斜面的支持力和摩擦力的作用,做单向直线运动,其位移的大小与移动的距离相等.所以,重力所做的功为
WG=mglcosα=mglcos(90°-θ)
=3×10×2×cos60°J=30J
拉力所做的功WF=Fl=10×2J=20J
支持力与物体运动方向垂直,它所做的功WN=0
滑动摩擦力的方向与位移方向相反,做功为
WFf=-(μmgcosθ)l=-
×3×10×2×
J=-30J
总功W=WG+WF+WN+WFf
=30J+20J+(-30)J=20J
答案 WG=30J,WF=20J,WN=0,WFf=-30J W总=20J
方法总结
求力的功,首先对物体受力分析,明确求哪个力的功,如果此力是恒力,可应用W=Flcosα求功.
二、有关摩擦力的功的计算
例2
如图7-(1、2)-6所示的水平传送装置,
图7-(1、2)-6
AB间距为l,传送带以速度v匀速运转.把一质量为m的零件无初速地放在传送带的A处,已知零件与传送带之间的动摩擦因数为μ,试求从A到B的过程中,摩擦力对零件所做的功.
解析 要求摩擦力对零件做的功,关键是要弄清零件在摩擦力方向上的位移是多少.由于题中没有给出各物理量之间的定量关系,故存在两种可能.
当零件与传送带之间存在摩擦力时,摩擦力的大小为
F=μmg.
分两种情况进行讨论:
(1)零件在到达B处时的速度小于或刚好等于传送带的速度v,零件在从A到B的过程中一直受摩擦力作用,则摩擦力对零件所做的功W=Fl=μmgl.
(2)零件在到达B处之前已经达到传送带的速度v,零件只是在达到速度v之前的一段时间内受摩擦力作用,此后零件与传送带以相同的速度v运动,零件就不受摩擦力作用,即无滑动摩擦力存在,也无静摩擦力存在,则摩擦力对零件所做的功W′=Fl′=μmg
=
mv2.
答案 见解析
方法总结
1.摩擦力做功可以是正,也可以是负,也可以是零.
2.在传送带上分析摩擦力做的功,有可能出现两种情况:
一种情况是物体在传送带上一直加速运动,另一种情况是物体在传送带上先加速,后匀速,匀速时不受摩擦力作用.
三、变力做功问题
例3
如图7-(1、2)-7所示,
图7-(1、2)-7
摆球质量为m,悬线的长为l,把悬线拉到水平位置后放手.设在摆球运动过程中空气阻力Ff的大小不变,求摆球从A运动到竖直位置B时,重力mg、绳的拉力FT、空气阻力Ff各做了多少功?
解析 因为拉力FT在运动过程中,始终与运动方向垂直,故不做功,即WFT=0.
重力在整个运动过程中始终不变,小球在重力方向上的位移为AB在竖直方向上的投影OB,且OB=l,所以WG=mgl.
空气阻力虽然大小不变,但方向不断改变,且任何时刻都与运动方向相反,即沿圆弧的切线方向,因此属于变力做功问题.如果将
分成许多小弧段,使每一小段弧小到可以看成直线,在每一小段弧上Ff的大小、方向可以认为不变(即为恒力),这样就把变力做功的问题转化为恒力做功的问题,如右图所示.因此Ff所做的总功等于每一小段弧上Ff所做功的代数和.即
WFf=-(FfΔl1+FfΔl2+…)=-
Ffπl
故重力mg做的功为mgl,绳子拉力FT做功为零,空气阻力Ff做的功为-
Ffπl.
答案 WFT=0,WG=mgl,WFf=-
Ffπl
方法总结
1.求变力做功有微元法,图象法,有时可通过转换研究对象,转换为恒力的功来计算.
2.滑动摩擦力、空气阻力总与物体相对运动的方向相反,物体做曲线运动时,可把运动过程细分,其中每一小段做功为Fl,整个过程中所做的功是力与各小段位移大小之积的
和.
1.伽利略的斜面实验反映了一个重要的事实:
如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略,小球必将准确地到达同它出发时相同高度的点,决不会更高一点,也不会更低一点.这说明,小球在运动过程中有一个“东西”是不变的,这个“东西”应是( )
A.弹力 B.势能 C.速度 D.能量
答案 D
解析 在伽利略的斜面实验中,小球从一个斜面滚到另一个斜面,斜面弹力是不同的,势能先减小后增大,速度先增大后减小,所以A、B、C错,不变的“东西”应是能量,包括动能和势能,D对.
2.下列关于做功的说法中正确的是( )
A.凡是受力作用的物体,一定有力对物体做功
B.凡是发生了位移的物体,一定有力对物体做功
C.只要物体受力的同时又有位移发生,则一定有力对物体做功
D.只要物体受力,又在力的方向上发生位移,则力一定对物体做功
答案 D
解析 做功有两个要素,第一要有力,第二在力的方向上物体要发生位移.A项错在物体可能没有发生位移,B项错在物体可能没受力,C项错在位移和力可能垂直,D项正确.
3.如图7-(1、2)-8所示,
图7-(1、2)-8
木块A放在木块B的左上端,用恒力F拉至B的右端,第一次将B固定在地面上,F做的功为W1;第二次让B可以在光滑地面上自由滑动,F做的功为W2,比较两次做功,可能是( )
A.W1 C.W1>W2D.无法比较 答案 AB 解析 若A、B间接触面光滑,则第二次即使B不固定,用水平力F拉木块A时,木块B也会静止,则W1=W2;若A、B间接触面粗糙,则把A拉至B的右端时,A相对地面的位移大于第一种情况下的位移,所以W1 4.人以20N的恒力推着小车在粗糙的水平面上前进了5.0m,人放手后,小车还前进了2.0m才停下来,则小车在运动过程中,人的推力所做的功为( ) A.100JB.140JC.60JD.无法确定 答案 A 5. 图7-(1、2)-9 质量是2kg的物体置于水平面上,在运动方向上受拉力F作用沿水平面做匀变速运动,物体运动的速度—时间图象如图7-(1、2)-9所示,若物体受摩擦力为10N,则下列说法正确的是( ) A.拉力做功150J B.拉力做功100J C.摩擦力做功250J D.物体克服摩擦力做功250J 答案 AD 解析 由图可知: a= = m/s2=2m/s2,物体做匀减速运动,故Ff-F=ma,F=Ff-ma=(10-2×2)N=6N,由图可知: l= t= ×5m=25m,故拉力做的功: WF=Fl=6×25J=150J,摩擦力做的功WFf=-Ffl=-10×25J=-250J,故物体克服摩擦力做功250J. 6.如图7-(1、2)-10所示, 图7-(1、2)-10 在光滑水平面上,物体受两个相互垂直的大小分别为F1=3N和F2=4N的恒力,其合力在水平方向上,从静止开始运动10m,求: (1)F1和F2分别对物体做的功是多少? 代数和为多大? (2)F1和F2合力为多大? 合力做功是多少? 答案 (1)18J 32J 50J (2)5N 50J 解析 (1) 力F1做的功 W1=F1lcosθ1=3×10×cos53°J=18J 力F2做的功 W2=F2lcosθ2=4×10×cos37°J=32J W1与W2的代数和 W=W1+W2=18J+32J=50J (2)F1与F2的合力 F= = N=5N 合力F做的功W′=Fl=5×10J=50J 7.如图7-(1、2)-11所示, 图7-(1、2)-11 磨杆长为L,在杆端施以与杆垂直且大小不变的力F,求杆绕轴转动一周的过程中力F所做的功. 答案 F·2πL 解析 磨杆绕轴转动过程中,力的方向不断变化,不能直接用公式W=Flcosα进行计算.这时,必须把整个圆周分成许多小弧段,使每一小段弧都可以看作是这段弧的切线即可以看成是这段的位移,这样,由于F的大小不变,加之与速度的方向相同,因而对于每一小段圆弧均可视为恒力做功.杆绕轴转动一周所做功的总和为 W=W1+W2+…+Wn=F·Δl1+F·Δl2+…+F·Δln 因为Δl1+Δl2+…+Δln=2πL 所以W=F·2πL. 8.如图7-(1、2)-12所示,是一个物体受到的力F与位移l的关系图象,由图象求力F对物体所做的功. 图7-(1、2)-12 答案 -20J 解析 F—l的面积表示F做的功: 0~2m内: W1=20J;2m~5m: W2=-60J;5m~6m: W2=20J,故整个过程W=W1+W2+W3=-20J. 题型①功的正负判断及计算 如图1所示, 图1 质量m=2kg的物体静止在水平地面上,受到与水平面成θ=37°,大小F=10N的拉力作用,物体移动了l=2m,物体与地面间的动摩擦因数μ=0.3,g取10m/s2.求: (1)拉力F所做的功W1. (2)摩擦力Ff所做的功W2. (3)重力G所做的功W3. (4)弹力FN所做的功W4. (5)合力F合所做的功W. 答案 (1)16J (2)-8.4J (3)0 (4)0 (5)7.6J 解析 (1)对物体进行受力分析,如右图所示. W1=Flcosθ=10×2×0.8J=16J (2)FN=G-Fsinθ=20N-10×0.6N=14N Ff=μFN=0.3×14N=4.2N W2=Fflcos180°=-4.2×2J=-8.4J (3)W3=Glcos90°=0 (4)W4=FNlcos90°=0 (5)W=W1+W2+W3+W4=7.6J 或由合力求总功 F合=Fcosθ-Ff=10×0.8N-4.2N=3.8N F合与l方向相同,则W=F合l=3.8×2J=7.6J 拓展探究 若上例中物体运动的加速度为4.9m/s2,则合外力F合所做的功是多少? 答案 19.6J 解析 由牛顿第二定律F合=ma W合=F合·l=mal=2×4.9×2J=19.6J 归纳总结 1.计算力的功,首先明确是哪个力做的功. 2.判断功的正负与力的性质无关,只看F与l的夹角α.若0≤α<90°,则W>0;α=0,则W=0;90°<α≤180°,则W<0. 3.求总功有两种方法,可灵活选择. 题型②摩擦力做功的特点 质量为M的长木板放在光滑水平地面上,如图2所示.一个质量为m的滑块以某一速度沿木板表面从A端滑到B点,在木板上前进的距离为L,而木板前进的距离为x,若滑块与木板间的动摩擦因数为μ,求: 图2 (1)摩擦力对滑块所做的功多大? (2)摩擦力对木板所做的功多大? 答案 (1)-μmg(l+L) (2)μmgl 解析 由题图可知,木板的位移为l时,滑块的位移为l+L,m与M之间的滑动摩擦力Ff=μmg. 由公式W=Flcosα可得摩擦力对滑块所做的功为Wm=μmglmcos180°=-μmg(l+L),负号表示做负功.摩擦力对木板所做的功为WM=μmglM=μmgl. 拓展探究 如图3所示, 图3 质量为M的长木板B被固定在水平面上,一个质量为m的滑块A以某一速度沿木板表面由C点滑至D点,在木板上前进了L,若滑块与木板间动摩擦因数为μ,求摩擦力对滑块、对木板做功各为多少? 答案 -μmgL 0 解析 对滑块W1=-μmg·L 对木板: 因为板对地的位移为0,故摩擦力对木板做功W2=0. 归纳总结 1.不能认为摩擦力总是做负功,摩擦力可以做正功,可以做负功也可以不做功,要搞清摩擦力与物体位移之间的关系,其中位移是相对地面的位移. 2.作用力与反作用力同时存在,作用力做功时,反作用力可能做功,也可能不做功,可以做正功,也可以做负功. 题型③变力做功的计算 如图4所示, 图4 一质量为m=2.0kg的物体从半径为R=5.0m的圆弧的A端,在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端(圆弧AB在竖直平面内).拉力F大小不变始终为15N,方向始终与物体在该点的切线成37°角.圆弧所对应的圆心角为60°,BO边为竖直方向,g取10m/s2.求这一过程中: (1)拉力F做的功. (2)重力mg做的功. (3)圆弧面对物体的支持力FN做的功. (4)圆弧面对物体的摩擦力Ff做的功. 答案 (1)62.8J (2)-50J (3)0 (4)-12.8J 解析 (1)将圆弧 分成很多小段l1,l2,…ln,拉力在每小段上做的功为W1,W2,…Wn,因拉力F大小不变,方向始终与物体在该点的切线成37°角,所以: W1=Fl1cos37°,W2=Fl2cos37°,…,Wn=Flncos37°,所以 WF=W1+W2+…+Wn=Fcos37°(l1+l2+…+ln) =Fcos37°· R=20πJ=62.8J (2)重力mg做的功WG=-mgR(1-cos60°)=-50J (3)物体受的支持力FN始终与物体的运动方向垂直,所以WFN=0. (4)因物体在拉力F作用下缓慢移动,合外力做功为零,所以WF+WG+WFf=0.所以WFf=-WF-WG=(-62.8+50)J=-12.8J 归纳总结 将变力的功转化为恒力的功的常用方法: 1.当力的大小不变,而方向始终与运动方向相同或相反时,这类力的功等于力和路程(不是位移)的乘积,如滑动摩擦力、空气阻力做功等等. 2.当力的方向不变,大小随位移做线性变化时,可先求出力对位 移的平均值 = ,再由W= lcosα计算,如弹簧弹力做功. 3.作出变力F随位移变化的图象,图线与横轴所夹的“面积”即为变力所做的功.如 图所示. 1.如图5所示, 图5 电动小车沿斜面从A匀速运动到B,则在运动过程中( ) A.动能减少,势能增加 B.动能不变,势能增加 C.动能减少,势能不变 D.动能不变,势能减少 答案 B 2.下列说法正确的是( ) A.功是矢量,正、负表示方向 B.功是标量,正、负表示外力对物体做功还是物体克服外力做功 C.力对物体做正功还是负功,取决于力和位移的方向关系 D.力做功总是在某过程中完成的,所以功是一个过程量 答案 BCD 解析 功是标量,功的正、负表示力对物体做正功还是做负功,功是力在位移上的积累,功是过程量. 3.关于摩擦力对物体做功,下列说法中正确的是( ) A.滑动摩擦力总是做负功 B.滑动摩擦力可能做负功,也可能做正功 C.静摩擦力对物体一定做负功 D.静摩擦力对物体总是做正功 答案 B 4.如图6所示, 图6 在加速向左运动的车厢中,一个人用力沿车前进的方向推车厢,已知人与车厢始终保持相对静止,那么人对车厢做功的情况是( ) A.做正功 B.做负功 C.不做功 D.无法确定 答案 B 解析 先分析水平方向车厢对人的作用力的合力的方向.人随车厢加速运动,车厢对人的作用力的合力方向向左,则人对车厢的作用力方向向右,故人对车厢做负功.正确选项为B. 5.如图7所示, 图7 重物P放在一长木板OA上,将长木板绕O端转过一个小角度的过程中,重物P相对于木板始终保持静止,关于木板对重物P的摩擦力和支持力做功的情况是( ) A.摩擦力对重物做正功 B.摩擦力对重物做负功 C.支持力对重物不做功 D.支持力对重物做正功 答案 D 解析 重物P受到的摩擦力方向始终与速度方向垂直,故不做功,支持力的方向始终与速度方向相同,故做正功,只有D项正确. 6.如图8所示, 图8 质量为m的物体,受水平力F的作用,在粗糙的水平面上运动,下列说法中正确的
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