学年高一数学上册课后导练习题13.docx
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学年高一数学上册课后导练习题13
同步测控
我夯基,我达标
1.函数y=3x+2的单调增区间是()
A.(-∞,
]B.[
]C.[
+∞)D.(-∞,+∞)
解析:
对于a>0的一次函数,它在定义域范围内为增函数.
答案:
D
2.关于函数y=x2-2x+10的单调性的表述正确的是()
A.在(-∞,+∞)上递增B.在(-∞,1]上递增
C.在(-∞,1)上递减D.在[1,+∞)上递减
解析:
对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),对称轴为x=
当a>0时,在区间(-∞,
]上是单调递减函数,在区间[
+∞)上是单调递增函数.简称为“a>0,左减右增”;当a<0时,在区间(-∞,
]上是单调递增函数,在区间[
+∞)上是单调递减函数.简称为“a<0,左增右减”.
答案:
C
3.关于函数y=
的单调性的表述正确的是…()
A.在(-∞,0)上增加,在(0,+∞)上减少B.在(-∞,0)∪(0,+∞)上减少
C.在[0,+∞)上减少D.在(-∞,0)和(0,+∞)上都减少
解析:
对于反比例函数y=
(k≠0),当k>0时,在区间(-∞,0)上是单调递减函数,在区间(0,+∞)上也是单调递减函数,这种函数的单调区间只能分开写;当k<0时,在区间(-∞,0)上是单调递增函数,在区间(0,+∞)上也是单调递增函数.
答案:
D
4.关于函数y=kx+b,下列论述错误的是()
A.单调性只与k有关B.不论k>0,还是k<0,函数的单调性不变
C.在(-∞,0]上单调增加的前提是k>0D.当k>0时,函数在(-∞,+∞)上增加
解析:
根据一次函数的单调情况,它与x的系数k的符号有关,当k>0时,它在(-∞,+∞)上是单调递增函数;当k<0时,它在(-∞,+∞)上是单调递减函数.
答案:
B
5.函数y=x2+ax+7在[1,+∞)上增加,则实数a的取值范围是___________.
解析:
二次函数的单调区间取决于该函数的二次项系数a的符号以及它的对称轴.a>0,左减右增,所给区间为其单调增区间的一个子区间,即
≤1.所以a≥-2.
答案:
a≥-2
6.已知函数y=
在(0,+∞)上单调增加,则实数k的取值范围是___________.
解析:
反比例函数的单调区间取决于该函数的系数k的符号.当k<0时,在区间(-∞,0)上是单调递增函数,在区间(0,+∞)上也是单调递增函数.所以该函数的系数2k-1<0.
答案:
k<
7.求函数f(x)=x+
的单调区间.
分析:
按照定义去判断单调性时,我们可以用口诀“同向则增,异向则减”帮助理解.
解:
设x1、x2∈(0,1],且x1 . ∵0 ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x)在(0,1]上是减函数,同理可证f(x)在[1,+∞)及(-∞,-1]上是增函数,f(x)在[-1,0)上是减函数. 我综合,我发展 8.函数f(x)是[0,+∞)上的单调递减函数,f(x)≠0且f (2)=1,求函数F(x)=f(x)+ 在[0,2]上的单调性. 分析: 函数f(x)没有给出解析式,因此对F(x)的函数值作差后,需由f(x)的单调性,确定作差后的符号. 解: 任取0≤x1 F(x1)-F(x2)=f(x1)+ -f(x2) =f(x1)-f(x2)+ =[f(x1)-f(x2)]·[1 ]. ∵0≤x1 ∴f(x1)>f(x2)≥f (2)=1. ∴f(x1)-f(x2)>0,f(x1)·f(x2)>1, <1,1 >0. ∴F(x1)-F(x2)>0,F(x1)>F(x2). ∴F(x)是[0,2]上的单调递减函数. 9.已知f(x)是定义在[-1,1]上的函数,且f (1)=1,f(x)=-f(-x),若m、n∈[-1,1],m+n≠0, >0. (1)用定义证明f(x)在[-1,1]上是增函数; (2)若f(x)≤t2-2at+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数t的范围. 分析: 本题给出的是抽象函数,进行适当的转化是解题的关键. (1)证明: >0说明f(m)+f(n)与m+n同号, ①如果m+n>0,则f(m)+f(n)>0,也即m>-n时有f(m)>-f(n)=f(-n); ②如果m+n<0,则f(m)+f(n)<0,也即m<-n时有f(m)<-f(n)=f(-n); 显然只要m>-n就有f(m)>f(-n),根据m、n的任意性知函数在[-1,1]上是增函数. (2)解: f(x)在[-1,1]上是增函数,所以f(x)≤f (1)=1, 显然t=0时f(x)≤1成立; t≠0时,f(x)≤t2-2at+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立, 即转化为1≤t2-2at+1对所有a∈[-1,1]恒成立, 即转化为0≤t2-2at对所有a∈[-1,1]恒成立, 所以只要 即可,解得t≤-2或t≥2. 所以t≤-2或t=0或t≥2. 10.设f(x)=x2+1,g(x)=f[f(x)],F(x)=g(x)-λf(x),问是否存在实数λ,使F(x)在区间(-∞, )上是减函数且在区间( 0)上是增函数? 分析: 这是一个存在性问题,我们处理这种题型时,应当首先假设所求参数存在. 解: f(x)=x2+1,g(x)=f[f(x)],F(x)=g(x)-λf(x), 由f(x)=x2+1,g(x)=f[f(x)],得g(x)=(x2+1)2+1, ∴F(x)=g(x)-λf(x)=x4+(2-λ)x2+2-λ. 不妨设存在实数λ的值,使F(x)满足题设,则任取x1 F(x1)-F(x2)=(x12-x22)(x12+x22+2-λ). (1)当x1、x2∈(-∞, )时,∵F(x)单调递减, ∴F(x1)>F(x2). ∴x12+x22+2-λ>0, 而x12+x22> + =1,所以只需λ≤3. (2)当x1、x2∈( 0)时, ∵F(x)单调递增, ∴F(x1) 而x12+x22<1,所以只需λ≥3. 综合 (1) (2)知,当λ=3时,F(x)符合题意. 11.某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图2-1-15 (1)的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2-1-15 (2)的抛物线段表示. (1)写出图 (1)表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t);写出图 (2)表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t); (2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大? 图2-1-15 (注: 市场售价和种植成本的单位: 元/102kg,时间单位: 天) 分析: 本题主要考查由一次、二次函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题,考查运用所学知识解决实际问题的能力. (1)由函数的图象,可知函数P=f(t)是分段函数,并且每一段上均是一次函数,函数Q=g(t)是二次函数,故用待定系数法求函数关系式; (2)纯收益是上市时间的函数,这个函数也是分段函数,其最值是在每段上的最大值中的最大值. 解: (1)由图 (1)可得市场售价与时间的函数关系为 f(t)= 由图 (2)可得种植成本与时间的函数关系为g(t)= (t-150)2+100,0≤t≤300. (2)设西红柿上市t天后的纯收益为h(t),则由题意得h(t)=f(t)-g(t). h(t)= 当0≤t≤200时,配方整理得h(t)= (t-50)2+100, 所以,当t=50时,h(t)取得区间[0,200]上的最大值100; 当200 (t-350)2+100, 所以,当t=300时,h(t)取得区间(200,300]上的最大值87.5. 综上所得,由100>87.5,可知h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100,此时t=50,即从二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益最大. 我创新,我超越 12.如图2-1-16,正方形ABCD的顶点 图2-1-16 A(0, ),B( 0),顶点C、D位于第一象限.直线l: x=t(0≤t≤2)将正方形ABCD分成两部分,记位于直线l左侧部分的面积为f(t),则函数S=f(t)的图象大致是() 图2-1-17 解析: 判断函数S=f(t)的图象可以用“观察法”,直线l在运动到点B之前,左侧的面积增大的速度是越来越快,而过了点B之后,左侧的面积增大的速度是越来越慢.而速度的快慢反映在图象上就是陡与缓.当然也可以根据题意求出函数解析式,用描点法画出函数图象. 答案: C 13.设0 + 的最小值是____________. 解析: y= 当0 )2+ ≤ ∴y≥4. 答案: 4 14.设f(x)是定义在[0,1]上的函数,若存在x*∈(0,1),使得f(x)在[0,x*]上单调递增,在[x*,1]上单调递减,则称f(x)为[0,1]上的单峰函数,x*为峰点,包含峰点的区间为含峰区间.对任意的[0,1]上的单峰函数f(x),下面研究缩短其含峰区间长度的方法(区间长度等于区间的右端点与左端点之差). 求证: 对任意的x1、x2∈(0,1),x1 分析: 因为f(x)为[0,1]上的单峰函数,故含峰区间内必含有峰点x*,若不是含峰区间,则必然单调,而单调性便于研究自变量大小与函数值大小的相关性,因此本题可采用反证法证明. 证明: 设x*为f(x)的峰点,则由单峰函数定义,可知f(x)在[0,x*]上单调递增,在[x*,1]上单调递减. 当f(x1)≥f(x2)时,假设x* (0,x2),则x1 这与f(x1)≥f(x2)矛盾,所以x*∈(0,x2),即(0,x2)是含峰区间. 当f(x1)≤f(x2)时,假设x* (x1,1),则x* 这与f(x1)≤f(x2)矛盾,所以x*∈(x1,1),即(x1,1)是含峰区间. 沁园春·雪<毛泽东> 北国风光,千里冰封,万里雪飘。 望长城内外,惟余莽莽; 大河上下,顿失滔滔。 山舞银蛇,原驰蜡象, 欲与天公试比高。 须晴日,看红装素裹,分外妖娆。 江山如此多娇,引无数英雄竞折腰。 惜秦皇汉武,略输文采; 唐宗宋祖,稍逊风骚。 一代天骄,成吉思汗, 只识弯弓射大雕。 俱往矣,数风流人物,还看今朝。
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- 学年 数学 上册 课后 练习题 13